数学素材：点、线、面之间的位置关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨思考与讨论答：都共面，如图,a∩b＝A，过b上任意一点B作c∥a,则a、c可确定一个平面α.因为A∈a，所以A∈α.又因为B∈c,所以B∈α，所以AB⊂α，即b⊂α.所以a、b、c共面．同理在a上任取一点作b的平行线,都与a、b共面，所以这些平行线都共面．练习A1．(1)真命题；（2)真命题；(3）假命题;(4）假命题．2．由基本性质1可知,直线AB在平面α内．3．说明基本性质2不共线的三点确定一个平面这一道理．4．因为平行四边形和梯形中都有一组对边平行，由平面基本性质的推论3得:由这组平行对边可确定一个平面,再由基本性质1不难证出另一组对边也在这个平面内．5．在空间，两条直线的位置关系有平行、相交和异面三种情况．6．略．练习B1．可以用细线分别连接相对的两条腿下端，若两条连线能交于一点,说明四条腿的下端在同一个平面内，否则不在同一个平面内．2．点M在交线BD上．∵EF∩GH＝M，∴M∈EF,M∈GH.又∵EF、GH分别在平面ABD和平面CBD内，∴M∈平面ABD，且M∈平面CBD。又∵平面ABD∩平面CBD＝BD，∴M∈BD。3．一个平面能把空间分成2部分；两个平面能把空间分成3或4部分;三个平面能把空间分成4或6或7或8部分．4．一个角一定是平面图形，由平面基本性质和推论2直接能得到．圆是平面图形由圆的定义得到．5．三棱锥SABC如图所示，其中SA与BC、SB与AC、SC与AB都是异面直线．6．(1）A∈l,B∉l;(2）l⊂α，m⊄α,m∩α＝M；（3)α∩β＝l,A∈l。7．略．思考与讨论结论1：空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且对应边的方向都相反，那么这两个角相等．结论2：空间中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，那么这两个角互补．证明:对于结论1,如图（1)，延长CA到C2，延长BA到B2。由于BA∥B1A1，∴B1A1∥AB2,同理A1C1∥AC2.易知∠BAC＝∠C2AB2，且AB与AB2,AC与AC2方向相反,可知AB2与A1B1,AC2与A1C1方向相同，由等角定理可知,∠B2AC2＝∠B1A1C1.从而有∠BAC＝∠B1A1C1.所以结论1是成立的．对于结论2，如图(2)，AC与A1C1平行且方向相同,AB与A1B1平行且方向相反，延长BA到B2，就有AB2∥A1B1,且AB2与A1B1方向相同．由等角定理可知∠B2AC＝∠B1A1C1，由于∠B2AC＋∠BAC＝180°，∴∠BAC与∠B1A1C1互补．练习A1．把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形,每个矩形的竖直边是互相平行的，再应用基本性质4，可知它们的折痕是互相平行的．2．证明：eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(AA′∥BB′,AA′＝BB′))⇒四边形AA′B′B是平行四边形⇒AB＝A′B′。同理可证BC＝B′C′,AC＝A′C′.因此△ABC≌△A′B′C′。练习B1．（1）×如图所示长方体ABCD－A′B′C′D′，则∠ABC＝∠BB′C′且BC∥B′C′,但AB与BB′不平行．（2)×因为在空间四边形中，若四条边不共面则一定不是菱形．2．证明:在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，所以EF∥AC,EF＝eq\f（1，2）AC.同理HG∥AC，HG＝eq\f(1，2）AC，所以EF∥HG,EF＝HG,所以四边形EFGH是平行四边形．又因为EF＝eq\f(1，2)AC，且EH＝eq\f（1,2)BD，AC＝BD。所以EF＝EH。所以四边形EFGH是菱形．探索与研究答:图形经过平移后与原图形是全等的,只是位置发生了变化，对应角的大小和对应两点的距离保持不变．练习A1．直线在平面内,直线与平面相交，直线与平面平行．2．过平面外一点可以作无数条直线与这个平面平行．3．是,因为CD∥AB，由直线和平面平行的判定定理可知CD与桌面所在的平面平行．4．(1）平面A′B′C′D′，平面DCC′D′；(2）平面BCC′B′，平面DCC′D′；(3）平面A′B′C′D′，平面BCC′B′.练习B1．（1）×当a在经过b的平面内时，结论不成立．(2)√经过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行，在所作的平面内，经过该点存在着无数多条直线与已知平面平行．2．(1）×直线不在平面内有两种情形:直线与平面平行，直线与平面相交．（2)√因为由平行公理知，过直线外一点可以作唯一一条直线与已知直线平行，过所作的直线可以存在无数个平面，只要这些平面不过已知直线就与已知直线平行．（3)×过直线作一平面与已知平面相交得一交线，已知平面内与交线平行的直线都与已知直线平行,但在已知平面内与交线相交的直线与已知直线不平行．3．证明：∵AC∥BD，∴由AC、BD可确定一平面β。∴α∩β＝CD,且AB⊂β。∵AB∥α，∴AB∥CD。∴四边形ABDC为平行四边形，∴AC＝BD。4．证明：连接BD，由长方体性质知BB′DD′，∴四边形BB′D′D为平行四边形,∴B′D′∥BD.∵BD⊂平面ABCD，B′D′⊄平面ABCD，∴B′D′∥平面ABCD。思考与讨论1．答：不一定，还有可能相交，如图所示,a∥a′，b∥b′,a与b确定α，a′与b′确定β，α与β相交．2．答：平行，因为若α∥β，则α与β无公共点，则α内的直线a与β无公共点，所以α∥β。练习A1．（1)√(2)×（3)√(4)×(5）×2．若平面α∥平面β,平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ.如图,作相交平面ρ,π，分别与平面α,β，γ相交于直线a1，b1；a2，b2;a3，b3.因为α∥β，所以a1∥a2，b1∥b2。又β∥γ，所以a2∥a3，b2∥b3，所以a1∥a3，b1∥b3。所以平面α∥平面γ.评注：平面ρ、π是根据两个平面平行的性质定理而作的两个辅助平面，此法可称作“辅助平面法"．3．平面与平面有两种位置关系：一种是相交，此时两个平面有无数多个公共点,且这些公共点的集合是一条直线；另一种是平行，此时两个平面无公共点．4．（1）证明：∵PA∩PC＝P,∴由PA、PC可确定一平面γ。由条件知γ与α、β分别交于AC、BD，∵α∥β，∴AC∥BD。（2）解:由（1）知△PAC∽△PBD，∴eq\f(PA，PB）＝eq\f(PC,PD).∴PD＝eq\f（PB·PC,PA)＝eq\f(（4＋5)×3，4)＝eq\f(27,4）（cm)．答：PD的长为eq\f(27，4)cm。练习B1．（1)√(2)×只有直线与平面平行时,过直线与平面平行的平面有且只有一个；当直线与平面相交时，过直线不能作出与已知平面平行的平面．2．已知：平面α∥平面β，AB和CD为夹在α，β间的平行线段．求证：AB＝CD。证明：因为AB∥CD，所以AB和CD确定平面AC.又因为直线AD,BC分别是平面AC与平面α，β的交线，所以AD∥BC，四边形ABCD是平行四边形．因此AB＝CD。3．由平行平面截线段对应成比例知AB＝eq\f(15，4)cm，BC＝eq\f(45,4)cm。∵eq\f(AB，BC）＝eq\f（DE,EF），∴EF＝3DE＝15cm。注意：两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例．思考与讨论1．垂直于同一条直线的两个平面平行．已知：AA′⊥α,AA′⊥β，求证：α∥β.证明：如图，设经过直线AA′的两个平面γ、δ分别与平面α、β相交于直线b、b′和a、a′。∵AA′⊥α，AA′⊥β，∴AA′⊥a,AA′⊥a′，AA′、a、a′都在平面δ内，由平面几何知识:在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行．∴a∥a′，∴a′∥α（线面平行的判定定理)．同理b′∥α.又∵a′∩b′＝A′，∴α∥β。2．我们可以这样定义两平行平面的距离．由问题1可知，对于两个平行的平面α,β，一定存在着与它们都垂直的直线，设为l，这样的直线l称为两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段，如图，如果AA′、BB′都是平面α与β的公垂线段，那么AA′∥BB′.根据两个平面平行的性质定理，有AB∥A′B′，所以四边形AA′B′B是平行四边形，故AA′＝BB′.由此我们得到,两个平行平面的公垂线段都相等．因此，我们可以把公垂线段的长度定义为两个平行平面间的距离．练习A1．在空间中，过任意一点都存在与已知直线垂直的直线，但不只有一条，事实上，有无数多条．因经过一点可以作一个与已知直线垂直的平面,根据线面垂直的定义，在这个平面内的任何直线都与已知直线垂直．2．如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中与AA1垂直的平面:平面ABCD，平面A1B1C1D1；与AB垂直的平面：平面ADD1A1，平面BCC1B1；与B1C1垂直的平面:平面ABB1A1，平面DCC1D1.3．如图所示，将矩形ABCD对折后，折痕为EF，则四边形AEFD和四边形EBCF也为矩形，∴EF⊥AE，EF⊥EB。又AE∩BE＝E,∴EF⊥平面AEB，即折痕和桌面垂直．4．（1)垂直．因为三角形的任意两条边都相交，根据直线和平面垂直的判定定理可知，这条直线与这个平面垂直．(2）不一定垂直．若这条直线垂直于梯形的相邻两条边，则该直线与梯形所在的平面垂直；若这条直线垂直于梯形的上、下底所在的直线,则该直线不一定与梯形所在的平面垂直．（3)垂直．因为圆的任意两条直径都相交，根据直线和平面垂直的判定定理可知，这条直线与这个平面垂直．5．不可以．若三角形的两条边能垂直同一个平面，根据直线和平面垂直的性质可知这两条边平行，与三角形的性质相矛盾．6．(1)√（2)√(3）×练习B1．不正确．因为直线b有可能在平面内,也可能与平面相交，可能与平面平行．2．已知:OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊥OC，求证：OA⊥平面BOC。证明：因为OA⊥OB,OA⊥OC,又OB∩OC＝O，所以OA⊥平面BOC。3．证明:∵O为▱ABCD的对角线的交点，∴OA＝OC，OB＝OD。∵PA＝PC,∴PO⊥AC。∵PB＝PD,∴PO⊥BD.∵AC∩BD＝O,∴PO⊥平面α.4．证明：如图所示,取BC的中点O,连接AO、DO.∵AB＝AC，∴AO⊥BC。又∵DB＝DC,∴DO⊥BC。又∵AO∩DO＝O，∴BC⊥平面AOD.又∵AD⊂平面AOD,∴BC⊥AD.5．垂直．如图所示，设α∥β，l⊥α,过l作两个平面，分别与α、β交于a，a′和b，b′。∵α∥β，∴a∥a′，b∥b′.∵l⊥α，∴l⊥a，l⊥b，∴l⊥a′，l⊥b′.又a′∩b′＝O′,∴l⊥β。探索与研究答：（1）由图可知，平面α是线段AA′的中垂面，根据定义可知，平面α内的所有点到A、A′两点的距离相等;平面α内所有过点O的直线都是AA′的垂直平分线；平面α内的任何一条直线都与AA′垂直．(2）我们所学过的空间图形可以分为两类：一是多面体，二是旋转体．多面体中，所有的直棱柱(包括常见的正方体、长方体等）都是镜面对称图形．旋转体中,圆柱和球都是镜面对称图形．练习A1．如图所示．过B点作BO⊥AC，连接DO，折叠后，只要∠BOD＝90°,则平面ABC⊥平面DAC。2．垂直．3．(1)不正确．（2)不正确．当直线与平面斜交时，只能作一个．4．证明：∵OX⊥OY，OX⊥OZ,OY∩OZ＝O，∴OX⊥平面YOZ.而OX⊂平面XOY，OX⊂平面XOZ，∴平面XOY⊥平面YOZ，平面XOZ⊥平面YOZ.又∵∠YOZ＝90°，∴平面XOY⊥平面XOZ.练习B1．如图所示，它们分别把空间分成4部分、8部分．2．因为曲尺在转动过程中，转动的一边始终与不转的一边垂直，所以不转的一边垂直于平面,而不转的一边又在另一个平面内，所以两平面垂直，若不转动，则不能确定两平面垂直．3．过P点作直线l∥CD即可．取CD的中点O，连接AO、BO.由正三棱锥的性质得AO⊥CD，BO⊥CD。而AO∩BO＝O，∴CD⊥平面AOB。又∵AB⊂平面AOB，∴CD⊥AB.又∵l∥CD，∴l⊥AB。习题12A1．(1）不正确．因为平面是无限延展的．（2）不正确．因为两个相交平面的公共点是由无数个点组成的，且它们的集合是两个平面的交线．（3)不正确．因为过不共线的三点有且只有一个平面．（4)正确．因为不共线的三点确定一个平面．2．（1)不共线(2)相交，平行(3）过该点的（4)异面3．不一定是平面图形,因为有可能四个顶点不共面．4．一条直线与两条平行直线都相交,则这三条直线共面．5．(1）√（2）×6．证明:∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC,EH∥BD。∵AC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，∴AC∥平面EFG。∵BD⊄平面EFG,EH⊂平面EFG，∴BD∥平面EFG。7．（1）√（2)×（3)×（4）√8．证明：∵AB∥α，过AB作三个平面与α交于a、b、c，∴AB∥a，AB∥b,AB∥c，∴a∥b∥c。9．证明:连接EE′，FF′.由正方体的性质知AE∥A′E′.又∵AE＝A′E′，∴四边形AEE′A′为平行四边形，∴EE′AA′。同理FF′AA′，∴EE′FF′。∴四边形EFF′E′为平行四边形．∴EF∥E′F′且EF＝E′F′.10．AA′、BB′、CC′、DD′、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′。11．证明:∵a∥b，a⊄β，b⊂β，∴a∥β.又a⊂α,α∩β＝l，∴a∥l.∴b∥l。12．证明：∵α∩β＝CD，∴CD⊂α,CD⊂β.∵EA⊥α,∴EA⊥CD.∵EB⊥β，∴EB⊥CD。∵EA∩EB＝E,∴CD⊥平面ABE。∵AB⊂平面ABE，∴CD⊥AB.习题12B1．过一个点可以有无数个平面；过两个点可以有无数个平面；过不共线的三个点有且只有一个平面．2．(1)√（2）×3．不能共线．4．三条直线两两平行且