5.1.1变化率问题课件高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1变化率问题（1）复习引入17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分牛顿偏重从物理问题出发，应用了运动学的原理，如瞬时速度中的“微分”、运动变量的“积分”等概念.莱布尼茨从几何学问题出发，用分析法引进微积分，得出运算法则，比牛顿的更为规范和严密.微积分的创立与处理四类科学问题直接相关1求物体在任意时刻的速度与加速度2求曲线的切线3求函数的最大值与最小值4求长度、面积、体积和重心等导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法.导数的本质是什么？在必修第一册中，我们知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？探究：平均速度与瞬时速度问题1高台跳水运动员的速度追问1：如何求运动员从起跳到0.5秒，起跳后1秒到2秒这两段时间的平均速度？追问2：如何求运动员起跳后t1秒到t2秒这段时间的平均速度？（1）运动员在这段时间里是静止的吗?（2）平均速度能准确反映运动员的运动状态吗?显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这段时间内里的运动状态.为了精确刻画运动员的运动状态，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度，需要引入瞬时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.追问3：计算运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度，你发现了什么？思考2：

瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系，求运动员在t＝1s时的瞬时速度吗？平均速度缩短时间段长度瞬时速度v(t0)我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+Δt，Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0Δt<0Δt>0-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001-0.0000010.000001给出Δt更多的值，计算-4.951-4.9951-4.99951-4.999951-4.9999951-5.049-5.0049-5.00049-5.000049-5.0000049因此，运动员在t=1s时的瞬时速度v(1)=－5m/s.思考3:(1)求运动员在t=2s时的瞬时速度；思考3:(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度?平均速度与瞬时速度的关系：1.平均速度：运动员在时间段[t0,t0＋Δt]内的平均速度为当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为2.瞬时速度：两者都刻画物体的运动状态，瞬时速度是平均速度的极限值．归纳总结例题例：火箭发射ts后，其高度(单位:m)为h(t)=0.9t2.求：(1)在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度；(2)发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度.课本P61练习1.求问题1中高台跳水运动员在t=0.5s时的瞬时速度.课本P612.一个小球从5m的高处自由下落，其位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y(t)=－4.9t2.求t=1s时小球的瞬时速度.课本P62随堂检测2.(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则（

）A.该物体在1≤t≤3时的平均速度是28B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56C.该物体位移的最大值为43D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70解析：该物体在1≤t≤3时的平均速度是物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误；3.一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是_____.乙5.一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值.解：质点M在t＝2s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.∵质点M在t＝2附近的平均速度为