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文档简介
高职实用数学思考题:
将来你想干什么?
你对高数了解多少?打算如何学好高数?中山火炬职业技术学院李开复给大学生的六封信
/html/2006-09/7552.html李开复给大学生的第四封信大学是人一生中最为关键的阶段。从入学的第一天起,你就应当对大学四年有一个正确的认识和规划。为了在学习中享受到最大的快乐,为了在毕业时找到自己最喜爱的工作,每一个刚进入大学校园的人都应当掌握七项学习:学习自修之道、基础知识、实践贯通、兴趣培养、积极主动、掌控时间、为人处事。只要做好了这七点,大学生临到毕业时的最大收获就绝不会是“对什么都没有的忍耐和适应”,而应当是“对什么都可以有的自信和渴望”。只要做好了这七点,你就能成为一个有潜力、有思想、有价值、有前途的快乐的毕业生。大学:人生的关键。中山火炬职业技术学院
李开复简历:祖籍四川,1961年12月3日出生于台湾
毕业院校:美国哥伦比亚大学(计算机系、学士学位)曾就读于卡耐基梅隆大学,获计算机学博士学位;在苹果公司工作了六年,主管该公司的多媒体部门;
1998年7月加盟微软公司,并于11月出任微软中国研究院(现微软亚洲研究院)院长;
2000年升任公司副总裁,调回总部负责自然界面部。
2005年7月加盟Google,担任中国区总裁一职。
2009年9月,李开复创办“创新工场”李开复是国际知名的语音识别技术专家,原为卡耐基梅隆大学副教授,曾获《商业周刊》1988年“年度最重要的科学创新”称号。现在手机上用到的语音拨号功能就是李博士的在卡内基梅隆大学研发出来的。
李开复的腾讯博客http://622005008.
给女儿的一封信
李开复
发表于2009年10月12日中山火炬职业技术学院大学数学有哪些?理工类:高等数学;
线性代数、概率与数理统计、复变函数与积分变换经济类:经济应用数学、概率与数理统计、运筹学数学建模1.1.1一元函数1.1.2复合函数与反函数1.1.3基本初等函数1.1.4初等函数1.1函数第1章函数、极限与连续定义1设是一非空的数集,如果存在对应规律,使得对,都有唯一的实数与之对应,就称是
的一个一元函数,记为
称为自变量,为函数(因变量),为定义域,
称为值域.1.1函数1.1.1一元函数1.一元函数的概念如果对于确定的x0∈D,记为,或者.(1)公式法:自变量与因变量的关系用数学式子表示出来的方法称为公式法.例如,函数,,以及分段函数2.函数的三种表示法都是用公式法表示出来的.(2)列表法:自变量与因变量的关系用表格列出来的方法称为列表法.例如,经过对广州市气象台每天播报的天气情况统计,得到广州市某年8月份平均每天早晨7时至下午17时温度变化情况如下表:
时间t7891011121314151617气温T()2426283032333535343331(3)图象法:自变量与因变量的关系用图象表示出来的方法称为图象法.例如,水文站用自动水流仪记录一昼夜某河流水流情况的变化如图1-1所示.3、函数的几种特性(1)单调性使若对任意正数M,均存在称为有上界称为有下界当时,称为I
上的称为I
上的单调增函数;单调减函数.设函数且有区间(2)单调性设函数y=f(x)在区间I上有定义(即I是函数y=f(x)的定义域或者是定义域的一部分).如果对于任意的,当时,均有则称函数y=f(x)在区间I上单调增加(或单调减少).单调增加(或单调减少)的函数又称为单调递增(单调递减)函数,统称为单调函数,使函数保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单调区间.函数内是单调减少的,在区间上是单调增加的,而在区间内则不是单调函数.单调增加的函数的图形是沿x
轴正向上升的;单调减少的函数的图形是沿x
轴正向下降的;例如,函数内是单调增加的.(2)奇偶性且有若则称
f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.
例如,
偶函数双曲余弦记奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.(3)偶(奇)函数的和或差仍为偶(奇)函数;(2)一个函数可以既不是奇函数,也不是偶函数,如函数.注(1)奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称;(4)两个偶(奇)函数的积或商为偶函数;(5)一偶一奇两个函数的积或商为奇函数。(3)周期性且则称为周期函数
,若称
T
为周期(一般指最小正周期
).周期为
周期为注:
周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数例如,通常所说的“的周期为”,指的就是它的最小正周期,事实上任意的(k为非零整数)均是它的周期.例1
求函数的周期.证∵
∴周期:(4)有界性使称使称说明:
还可定义有上界、有下界、无界为有界函数.在I
上有界.例1一般的的周期是:1.1.2基本初等函数1.基本初等函数
⑴幂函数(为实数);⑵指数函数(是常数且);⑶对数函数(是常数且);⑷三角函数⑸反三角函数arccot
(为实数).
形式:
定义域、图像及性质依不同而不同.(1)幂函数
(,).
形式:
定义域:.
值域:.
图像:
过点,位于轴的上方.
单调减少
单调增加
·常用以为底的指数函数.
是一个无理数,=2.718281828459…..本课程:(2)指数函数
(,).
形式:
定义域:.
值域:.
图像:
过点,位于轴的右方.
单调减少
单调增加
·(3)对数函数(ⅰ)正弦函数
形式:
定义域:.
值域:.几何特性:奇函数;内非单调函数;周期;有界函数.(4)三角函数(ⅱ)余弦函数
形式:
定义域:.
值域:.几何特性:奇函数;内非单调函数;周期;有界函数.(ⅲ)正切函数
形式:
定义域:.
值域:.几何特性:奇函数;在内单调增加;周期;无界函数.1.1.3复合函数与反函数1.复合函数设有两个函数
,.如果函数g的值域g(Dg)包含在函数f的定义域Df内,亦即,则可将代入中,得到新的函数我们称此函数
y为f和g
复合而成的复合函数,u称为中间变量.复合函数的概念通俗地理解,就是函数套函数.任意两函数f和g能否都构成复合函数?例如,对于函数和函数,构成复合函数而对于和,由于的值域为,不包含于的定义域内,所以该两个函数不能构成复合函数.复合函数也可以由两个以上的函数复合而成.例如:,是由三个函数复合而成的.例2指出下列函数的复合过程。
(1)(2)(3)解(1)由复合而成.(2)由复合而成.(3)由复合而成.2.反函数将给定函数反解,得我们称此函数为的反函数。习惯上以字母x作为自变量,y作为因变量,所以的反函数又记为
此时其定义域为,值域为.解
由解出,将x与y互换,就得到的反函数为
注意:是和所表示的变量x和y之间的关系是相同的的关系,因而它们的图象是同一条曲线.
而和的图象是关于直线y=x对称的.例3
求的反函数.1.1.4初等函数
由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和复合所构成并能用一个函数表达式表示的函数统称为初等函数。例如下列函数都是初等函数:例4
求下列函数的定义域:(1)(2)(3) (4)(5)解(1)要使函数有意义,必须 或者,所以函数的定义域为.(2)要使函数有意义,必须或者.所以函数的定义域为.(3)要使函数有意义,必须,
,所以函数的定义域为.(4)要使函数有意义,必须所以函数的定义域为.(5)该函数的定义域为.例5在半径为R的球内嵌入一内接圆柱,试将圆柱的体积V表示为其高h的函数,并确定该函数的定义域.解如图1-5所示,假设圆柱的底面半径为r,则有所以,
显然,,所以该函数的定义域为.习题1.11.求下列函数的值:(1),求.(2),求.(3),求.2.下列各对函数是否相同,为什么?(1)(2)(3)(4)3.求下列函数的定义域:(1)(2)(3)(4)(5)(6)如果的定义域为,求的定义域.4.确定函数的定义域并作出函数图形.5.有一个上下都有底的圆柱形容器,容积为定值.试写出其表面积与底面半径之间的函数关系.6.判断下列函数的奇偶性:(1)(2)(3)(4)7.求下列函数的反函数:(1)(2)(3)(4)8.求下列函数的周期:(1)(2)(3)(4)9.下列函数是由哪些简单函数复合而成的?(1)(2)2.1极限定义2.2无穷小与无穷大2.3极限运算法制2.4两个重要性极限2.4函数的连续性第2章极限与连续第二章
极限与连续2.1数列的极限我们先从前人计算圆周率的方法上说起.什么叫圆周率呢?我们从简单的几何图形(如三角形,矩形等)知道,平面图形的面积与其边长的平方成正比,所以圆的面积A应与其半径R成正比,这个比值就称为圆周率.那么是多少呢?为了求出,就得先求出圆的面积A与其半径R的关系.但是,在不知道是多少时,我们也就不知道怎样计算圆的面积.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中创造了割圆术,刘徽注意到圆内接正多边形的面积小于圆的面积,当正多边形的边数屡次加倍时,圆内接多边形的面积就会增大,并且随着边数的增加,正多边形的面积就会越来越接近圆的面积.刘徽在割圆术中从圆内接正三角形开始,推算了圆内接正12边形,正24边形,正48边形直至正96边形的面积,得出了的值约为3.14.“割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”这句话明确地表明了刘徽使圆内接正多边形的边数无限增加的极限思想.*古希腊的伟大学者阿基米德想要求出由抛物线,x轴和直线所围成的平面图形的面积S(见图1-6).他天才地想到可以用许多内接窄条矩形的面积之和作为S的近似值.具体做法是将底边
分成n等份,分点依次为再在每一小段上做内接矩形,第i个矩形的底宽为,高为,,则这n个小矩形面积之和为当n无限增大时(即分点越来越密时),可以看出这个值是.于是阿基米德得出结论:该平面图形得面积为.即当(趋于正无穷)时,下面我们就来讨论极限的概念.为了给出极限的定义,首先要引入数列,并讨论数列的极限.无穷多个按自然数顺序排列的数称为数列,记为,其中每一个数称为数列的项.对任意的自然数n
,以n为变量的第n项称为数列的通项.例如:(1)(2)(3)(4)(5)都是数列,它们的通项依次为在几何上,通常用数轴上的点列来表示数列,如图1-8所示.下面介绍两类具有特殊性质的数列:(1)如果有,则称该数列是单调递增数列.反之,如果有,则称该数列是单调递减数列。(2)如果存在正数M,使对一切,均有成立,则称该数列为有界数列.具有性质(1)、(2)的数列称为单调有界数列.对于数列,我们总是在考虑当自变量n无限增大时它的变化趋势.考察数列:有
或.若数列没有极限时,则称该数列发散.例1
观察下列数列并求其极限:(1)(2)(3)(4)还是采用列表的方法:(1)—(2)题
n值110100100010000100000…0.000000.818180.980200.998000.999800.99998…211101100110001100001…可以看出,当n逐渐增大时,越来越接近1,而越来越大,不接近任何常数,因此有:(1)(2)不存在.(3)—(4)题
n值1234567…0.50.250.1250.06250.031250.0156250.0078125…-11-11-11-1…可以看出,(3)(4)不存在.的程度,越小就表示越接近.只有这样不等式才能表达与A可以无限接近.另外定义中的正整数N显然与正数有关,它将随着的给定而确定.一般地,当给得越小,相应的N就越大,而描述了增大n的程度.下面给出数列极限的几何意义:将常数A及数列的项在数轴上用对应点表示,如果数列以A为极限,就表示对于任意给定的正数,总存在着正整数N,使从数列的第
项开始,也就是从点开始,它及其后所有的点,即,,,都落在点A的邻域内,见图1-9.定义6设函数在内有定义(为一确定实数),当自变量x的值无限增大时,函数的值无限接近一个确定的常数A
,则称A是当时函数的极限.记为.例3
观察函数,当时的极限.解由的图象(图1-12)可知,用数学语言来描述“无限增大”和“无限接近”,就有如下的定义.定义7对任意给定的正数(无论它多么小),如果定义6设函数在内有定义(为一确定实数),当自变量x的值无限增大时,函数的值无限接近一个确定的常数A
,则称A是当时函数的极限.记为.例3
观察函数,当时的极限.解由的图象(图1-12)可知,用数学语言来描述“无限增大”和“无限接近”,就有如下的定义.定义7对任意给定的正数(无论它多么小),如果总存在着正数M,使得当时,恒有
,则称A为x趋向于正无穷大时函数的极限.记为定义8
设函数在内有定义(为一确定实数),当x自变量的值无限变小时,函数的值无限接近一个确定的常数A,则称A是当时函数的极限.记为例4
观察函数,当时的极限.解由的图象(图1-13)可知,.定义9对任意给定的正数(无论它多么小),如果总存在着正数,使当时,恒有
,则称A为x趋向于负无穷大时函数的极限.记为2.当时函数的极限.先来看一个例子:函数在处没有定义,但是在点的附近有定义(只要).定义10设f(x)在点的某去心邻域内有定义,如果当x
无限接近于时,f(x)无限地接近一个常数A,则称A为当时函数的极限,记为例5
观察函数,当时的极限.解由的图象可以看出,
等.简而言之,所谓无穷小量,就是在某一变化过程中以零为极限的变量.2.2无穷小量与无穷大量1无穷量小1.无穷小量的概念定义11若,则称函数在的过程中为无穷小量.上述定义中,,可以换成注意,无穷小量是一个变量;常数中只有0是一个特殊的无穷小量。下述结论都是成立的.例1
因为当时,,所以是当时的无穷小量.例2
由于当时,,所以是当时的无穷小量.例3在怎样的变化过程中,下列函数是无穷小量?性质1
有限个无穷小量的和是无穷小量.性质2
有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量.推论1常量与无穷小量的乘积是无穷小量.推论2
有限个无穷小量的乘积是无穷小量.例3
证明证因为当时,是无穷小量.而,即是有界变量,故2.无穷小量的性质3.无穷小量的比较两个无穷小量的和、积都是无穷小量,那么,两个无穷小量的商是否还是无穷小量呢?先来看下面的例子.当时,都是无穷小量,可是即当时是无穷小量,而,均不是无穷小量.定义12
设在时为无穷小量,且.(1)如果,则称是比高阶的无穷小量,记作.(2)如果,则称与是同阶的无穷小量.特别地,如果,则称与是等价的无穷小量,记作.以上定义是针对给出的,同样地,在其他的极限过程中也可以给出上述类似的定义.例4
证明:当时,与是等价无穷小量.证因为所以2.3极限的运算法则定理设则有:(1)(2)(3),其中为常数.(4),一、极限的运算法则定理若,则(3)(1)(2),则有(若)常数因子可以提到极限记号外面例3求解原式例4求
解原式其中.的极限,有下面结论:一般地,对于有理函数(即两个多项式函数的商)例5
求极限.解
例6求极限.解例7
求极限.解
例8求极限.解(9)(5). (6).(7).(8).(9).(10).2.若已知,试求a,b的值.2.4极限存在准则及两个重要极限2.4.1极限存在准则准则1(单调有界有极限)若函数在区间内单调上升(或单调下降),且有界,则存在,(其中也可改为).若函数在区间内单调上升(或单调下降),且有界,则存在,(其中也可改为).准则2(两边夹准则)设函数在点
的某去心邻域内满足:2.4.2
两个重要极限1.极限我们已知,,可见这是一个无法直接利用极限运算法则计算的极限,下面用极限存在准则2来证明这个极限.如图1-20,做一个单位圆,圆心角,且设,容易看出:即有故有对上述不等式各项除以后取倒数,即得由于都是偶函数,所以上述不等式对
也是成立的.又,由两边夹准则得:这个极限可以形象地表示成如下的形式:例1求极限.解例2
求解例3
求解
例4求极限解例5
求极限解令则当时,有于是例6
求极限解2极限先证明:当时,有极限.为此,只须原式=即证明当n增大时单调上升且有上界.事实上,由均值不等式,有两边次方即得所以当n增大时单调上升.下面证明它有上界:由上所述,根据数列单调有界有极限的公理,当
时,有极限,我们把这一极限定义为数,即
是一个无理数,在高等数数学中它是所有无理数中最为重要且十分有用的无理数.利用数的定义和数列两边夹的准则,我们还能证明例9
求解
或例5
求解例6
求解练习例7
求解例8
求极限解当时,,这是一个“”未定型.于是,习题1.41.求下列极限:(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.求下列极限:(1)(2)(3)(4)(4)3*.求极限
等.简而言之,所谓无穷小量,就是在某一变化过程中以零为极限的变量.1.5无穷小量与无穷大量1.5.1无穷量小1.无穷小量的概念定义12若,则称函数在的过程中为无穷小量.上述定义中,,可以换成注意,无穷小量是一个变量;常数中只有0是一个特殊的无穷小量。下述结论都是成立的.例1
因为当时,,所以是当时的无穷小量.例2
由于当时,,所以是当时的无穷小量.例3在怎样的变化过程中,下列函数是无穷小量?性质1
有限个无穷小量的和是无穷小量.性质2
有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量.推论常量与无穷小量的乘积是无穷小量.性质3
有限个无穷小量的乘积是无穷小量.例3
证明证因为当时,是无穷小量.而,即是有界变量,故2.无穷小量的性质3.无穷小量的比较两个无穷小量的和、积都是无穷小量,那么,两个无穷小量的商是否还是无穷小量呢?先来看下面的例子.当时,都是无穷小量,可是即当时是无穷小量,而,均不是无穷小量.定义13
设在时为无穷小量,且.(1)如果,则称是比高阶的无穷小量,记作.(2)如果,则称与是同阶的无穷小量.特别地,如果,则称与是等价的无穷小量,记作.以上定义是针对给出的,同样地,在其他的极限过程中也可以给出上述类似的定义.例4
证明:当时,是比高阶的无穷小量.证因为所以当时,是比高阶的无穷小量.例5
证明:当时,与是等价无穷小量.证当时,与显然都是无穷小量,而例5
证明:当时,与是等价无穷小量.证因为所以1.5.2无穷大量无穷大量是与无穷小量相对的概念.定义14
当时,如果函数的绝对值大于任意预先给定的正数M,则我们称函数为当时的无穷大量,记为.无穷大量是指绝对值可以任意变大的量,决不能与任何常数(即使它的绝对值非常大)混为一谈.在自变量的某一变化过程中,如果函数的值本身无限变小(其绝对值则无限变大),此时称为该自变量变化过程中的负无穷大量,记为负无穷大量,记为同样正无穷大量,记为重要结论:无穷小量与无穷大量有如下的关系:在自变量的同一变化过程中,如果(1)为非零的无穷小量,则是无穷大量;(2)为无穷大量,则是无穷小量.例6
求极限解考虑函数的倒数,因为所以习题1.51.下列各题中给出的无穷小量是同阶无穷小量,等价无穷小量还是高阶无穷小量?(1)当时,.(2)当时,.(3)当时,.2.设的极限值为l,试求的值.3.证明:当时,是等价无穷小量.1.6函数的连续性1.6.1函数的连续性1.函数在一点处的连续性定义15
如果自变量从初值变到终值,对应的函数值由变化到,则称为自变量的增量,记为,即.相应地称为函数的增量,记为,即由于,所以函数的增量又可以表示为定义16
如果函数在点的某邻域内有定义,且有就称函数在点处连续.显然,函数在点处连续,还可以等价地表达成例1
证明函数在点处是连续的.证因为,而,即
所以函数在点处连续.2.函数在区间上的连续性定义3
如果函数在区间内的每个点上都连续,就称函数在区间内是连续的.左连续:显然,函数在点处连续的充分必要条件是:它在点处既是左连续同时又是右连续:例2
证明函数在其定义域内是连续的.右连续:证任取一点,因为所以即函数在点处是连续的.再由点的任意性可得:函数在内是连续的.例2
证明在内是连续的.同理可证在内是连续的.例3
证明在内是连续的.证任取一点,因为且,所以有故在内是连续的.故函数在其定义域内是连续的.同理可以证明一般的指数函数在其定义域内是连续的.1.6.2函数的间断点函数在点处连续,必须同时满足下列三个条件:(1)有意义;(2)存在;(3)。如果函数不能同时满足上述的三个条件,这时我们就说函数在点处是间断的,点称为间断点.例4
讨论符号函数在点处的连续性.解因为所以不存在,故该函数在处是间断的(见图).是函数的间断点.例5
考察函数在处的连续性.解为函数的第一类间断点,且为可去间断点.例5
讨论函数在点处的连续性.解因为所以,故该函数在处是连续的.1.6.3连续函数的运算1.连续函数的四则运算设函数均在点处连续,则:(1)在点处连续.(2)在点处连续.(3)若,则在点处连续.2.复合函数的连续性设函数在点处连续,在点处连续,则复合函数在点处连续.因为在点处连续,所以,即.又因为在点处连续,所以上式可以等价地改写为例6
求极限解3.反函数的连续性设函数在某区间上连续且严格单调递增(或严格单调递减),则它的反函数也在对应区间上连续,且是严格单调递增(或严格单调递减)的.例如,在上是连续的并且严格单调递增.这是因为其原函数在上是连续的并且严格单调递增.同理可知,,
,在它们各自的定义区间上是连续的.4.初等函数的连续性定理初等函数在其定义区间内都是连续的.1.6.4闭区间上连续函数的性质性质1(最大最小值定理)设函数在[a,b]上连续,则它在上一定可以取到最大值和最小值.即至少存在一点,使得对任意的都有.推论1
设函数在闭区间上连续,则它在上一定是有界的.
在上的最大值与最小值分别为M和m,那么令,则函数在区间上一定满足,即函数在闭区间上有界.该推论的几何解释见图1-24.性质2(介值性定理)设函数在闭区间上连续,则它在上一定可以取到最大值和最小值之间的任何一个中间值.即如果设最大值与最小值分别为M和m
,且,则至少存在一点,使得.性质2的几何解释见图1-25所示.推论2(零点存在定理)设函数在闭区间上连续,且,则在区间内至少存在一点,使得.由于,所以的最大值,而最小值,即,所以在区间内至少存在一点,使得.该推论的几何解释证作,它在上连续.因为则至少存在一点,使得,即方程
在区间内至少有一个根。见图1-26.例8
证明方程在区间内至少有一个根.习题1.61.求下列函数的连续区间,并求相应的极限:(1)(2)2.求下列函数的间断点:(1)(2)(3)(4)3.定义的值,使在处连续.4.下列函数中,a取什么值时函数在点是连续的?5.设问当a为何值时,是的连续点?6.求下列极限:(1)(2)(3)(4)(5)(6)解(5)(3)(4)(5)(6)7.证明:方程至少有一个小于3的正根.证设在上连续,则所以,存在,使故原方程至少有一个小于3的正根.1.7数学实验:MATLAB初步及极限运算1.7.1
MATLAB软件简介MATLAB语言是一脚本解释执行语言,边解释边执行.与其他语言相比,它把编辑、编译、连接和执行在一起.目前,MATLAB已经成为国际上最流行的科学与工程计算的软件工具,是研究和解决工程计算问题的一种标准软件,也是大学生必须掌握的一种基本工具.MATLAB具有以下几个特点:一是智能化的程序设计语言.MATLAB语言简洁、运算灵活、数据类型描述简单.用户不必考虑数据类型,即操作的对象无须事先设置其类型及结构.二是良好的符号运算功能.对一些公式演绎、微积分解析运算、表达式的合并与化简,代数方程、微分方程的求解,用户均可通过简单程序设计加以实现.三是强大的图形功能.MATLAB提供了多种绘图函数.可对二维图形在绘制时设置线型、点标记、线宽和颜色以及多种图形格式等.四是较强的文字处理功能.由于MATLAB与MicrosoftWord有接口,通过Note-book命令与Word环境建立关联,这样在MATLAB环境中生成的一切命令能够随时在Word环境中被激活、修改、重新运算.这无疑大大增加了MATLAB文字编辑处理功能,不愧为编辑科技文档的理想工具.1.7.2MATLAB程序设计基础1.变量.MATLAB中,变量在使用前无需定义其维数和每维的大小.全局变量适用于所有函数体和工作空间的访问,要在函数体的变量赋值语句之前说明,并用global进行声明.变量的命名规则如下:①变量名和函数名要区分字母大小写.②变量名的第一个字符必须是英文字母,最多可达31个字符.并可由英文字母、数字及下划线组成.③变量名中不得包含空格和标点.在MATLAB工作空间中,有几个特殊的变量值,如下表:变量名ans当在命令窗口中输入表达式而不赋值给任何变量时,MATLAB自动将该值赋给ans.变量ans保存其最近一次被使用的值.epsMATLAB计算浮点数的误差限.realmaxMATLAB所能表示的最大浮点数.realminMATLAB所能表示的最小浮点数.pi圆周率i,j虚数单位inf无穷大,如计算n/0(n非0)NaN非数,如计算0/0,inf/inf.computer计算机的类型和操作系统.flops统计该工作空间中浮点数的计算次数.version所用MATLAB的版本.例1在MATLAB中显示特殊变量pi,i,j和version的值.解在命令窗口中分别输入pi,i,j和version,并每输完一个变量按回车键,可以看到MATLAB在表达式不赋值任何变量时自动赋值给ans.显示结果如下图:2.表达式.表达式是组成MATLAB语句基本元素之一.有两种最常见的语句表达形式:①表达式,②变量=表达式.书写表达式时,赋值符“=”和运算符两侧允许有空格.其表达式末尾加上“;”时,系统不显示计算结果,没有“;”时显示运算结果.例2
计算解可以在命令行中直接输入表达式,或给表达式赋值一个变量x,MATLAB运算界面如下图(其中命令formatshort和formatlong分别是将显示结果用短位和长位显示出来):3.运算符.MATLAB的运算符为三类:算术运算符、关系运算符和逻辑运算符.优先级为算术、关系和逻辑运算.(1)算术运算符.MATLAB算术符可分为以下几类:①加法(+)、减法(-)、乘法(*)右除法(/)左除(\)、乘方(^).②向量乘法(.*)、向量右除(./)、向量左除(.\)、矩阵乘法(*)、矩阵右除(/)、矩阵左除(\).③转置符(.')、幂符(.^)复共轭转置(')矩阵幂符(^)、……④冒号运算符,它用于创建向量.(2)关系运算符.MATLAB提供了6种关系运算.它们分别是:<(小于),<=(小于或等于),>(大于),>=(大于或等于),==(恒等于),~=(不等于).(3)逻辑运算符.MATLAB提供了4种关系运算:&(与),|(或),~(非),xor(异或).4.常用数学函数.MATLAB提供了一些基本的数学函数,常用函数如下表:abs(x)求绝对值sqrt(x)求平方根fix(x)求不大于x的最大整数round(x)求x四舍五入得到的整数pow2(x)求2的指数exp(x)求以e底的指数log10(x)求10为底的常用对数log(x)求e为底的自然对数sin(x)求正弦函数cos(x)求余弦函数tan(x)求正切函数asin(x)求反正弦函数acos(x)求反余弦函数atan(x)求反正切函数5.MATLAB程序流程控制语句.MATLAB提供了赋值语句结构、循环语句结构、条件语句结构、开关语句结构、转移语句及试探语句结构.(1)赋值语句结构.格式为:变量名=赋值表达式(2)条件语句结构.条件语句结构又称分支结构,格式一:if条件表达式语句体
end也就是说如果条件为真(非零),就执行语句体.格式二:
if条件表达式语句体1eiseif
条件表达式语句体2
eise
语句体3end(3)开关语句结构.其格式为:switch开关表达式
case表达式1
语句体1case表达式2语句体2┆otherwise语句体nend(4)循环语句结构.格式一:for变量名=表达式(注:该表达式通常为冒号表达式)
循环语句体
end格式二:while表达式循环语句体
end另外,MATLAB中的有多种转移语句,如break语句,continue语句和return语句.而且,MATLAB中也有交互式命令,其用法可参考相关专门的MATLAB程序设计书.6.命令行方式和M文件.MATLAB有两种工作模式:一种是在工作区间中直接输入命令,这种方式叫做命令行方式,如例1和例2就是采用这种方式.命令行方式是打开进入到命令窗,同时出现命令提示符“》”.在命令窗的操作区可逐行编辑运行MATLAB程序代码.键入一行语句并按下Ente键,系统便对该行代码进行解释之后即运行.如果语句不以分号结束,则执行后随即可显示运行结果.例如:>>x=5↙x=5>>y=sin(x)↙
y=-0.9589如果语句以分号结束,则执行后不显示运行结果.例如:>>x=5;>>y=sin(x)y=-0.9589另一种是利用程序编辑器编缉M文件的工作方式.MATLAB提供了一个内置的具有编辑和调试功能的程序编辑器.在MATLAB的命令窗口中有三种方式可以进入程序编辑器:①选择菜单栏的“File”项中的“New”或“Open”项;②选择工具栏的“New”或“Open”项;③在命令窗口中输入edit命令.MATLAB的程序编辑器如图所示在程序编辑器中编写的M文件有两类:命令文件和函数文件.两者区别在于:命令文件没有输入参数,也不返回输出参数,而函数文件可以输入参数,也可返回输出参数;命令文件对工作空间中的变量进行操作,而函数文件的变量为局部变量,只有其输入、输出变量保留在工作空间中.一般来说,命令文件用于很多需在命令窗口输入的命令放在一起,以便于修改;而函数文件用于把重复的程序封段起来,使程序更加简洁.下面通过一些实例来说明MATLAB程序设计的基本方法.例3
求方法一:命令行方式.在命令窗口输入命令(↙表示回车键)>>sum=0;↙>>fori=1:1000sum=sum+i;end↙>>sum↙sum=500500方法二:M文件方式在程序编辑器中编写程序如下:sum=0;fori=1:1000sum=sum+i;endsum在编辑器中菜单Debug→SaveandRun,将所写文件自动保存磁盘目录\MATLAB12\work上,并命名为example1_3.m.在命令窗口中可看到如下结果sum=500500也可以在命令窗口中直接键入文件名example1_3运行后得到>>example1_3.m↙sum=
500500在本例中给出了两种命令输入方式,大家可以采用上述两种方式之一.例4根据公式求e的近似值,要求直到最后一项小于为止.解在程序编辑器编写如下M文件:item;
sem=1;N=0;sum=1;
while(item>10∧(-5))N=N+1;sum=sem*N;item=1/sem;sum=sum+item;enditemsum保存为example1_4.m,并运行得到如下结果:item=2.755731922398589e-006sum=2.718281525573191.7.3MATLAB绘图简介MATLAB具有强大的图形绘制功能,它可以绘制二维、三维甚至四维图形.而且能对图形进行线型、立面、色彩、渲染、光线及视角等控制.下面仅讲述MATLAB绘图的部分功能.1.绘制二维图形.MATLAB绘图时使用的一些基本颜色代码和标记符号如下表:表一线型和颜色控制符代表字符颜色代表符号线型c青-实线(默认)m洋红--虚线y黄:点连线r红-.点划线g绿+加号线b蓝*星型线w白.小黑点线k黑none无线MATLAB二维绘图命令一般有以下两种:plot(x,y)
plot(x1,y1,x2,y2,…)例5
绘出函数曲线.解在程序编辑器编写如下M文件:x=0:0.1:2*pi;y=sin(x);plot(x,y)保存为example1_5.m,并运行得到如下图像:例6
分别绘出的图形.解在程序编辑器编写如下M文件:x=0.1:0.2:2*pi;y=sin(x);z=cos(x);
plot(x,y,x,z)保存为example1_6.m,并运行得到图形如下:在绘图时可对其线型\颜色进行设置,命令格式如下:plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,…)若对sin(x)曲线指定红色,线型为虚线,cos(x)曲线指定为黑色,线型为点划线,且指定线宽,则其命令如下:plot(x,y1,‘r:’,x,y2,’k-.’,‘linewidth’,4)坐标网格设定命令如下:gridon附加网格线
gridoff去掉网格线标注命令如下:tittle(‘test’)当前坐标系顶部加个文字串‘test’为图形标题.
xlabel(‘testx’)和ylabel(‘testy’)分别在x,y轴旁边附加一个文字串‘test’作为轴标注.text(x,y,‘string’)在x,y指定坐标处附加一个字串string说明图形.图例说明命令为
legend(‘string1’,‘string2’)例7
分别绘出的图形,并加以适当的线型颜色、线型和标注说明.解在程序编辑器编写如下M文件:x=linspace(0,2*pi,30);y1=sin(x);y2=cos(x);
plot(x,y1,‘r:’,x,y2,’k-.’,‘linewidth’,4)
xlabel(‘xaxis’)
ylabel(‘functiony1andy2’)
title(‘sin(x)andcos(x)’)grid
ontext(3.3,0.1,‘sinx’)
legend(‘sin(x)’,‘cos(x)‘)保存为example1_7.m,并运行得到图形如下:在绘制图形时,利用坐标轴命令可以屏蔽坐标轴的显示
axis(‘off’),移去坐标轴
axis(‘on’),附加坐标轴holdon保留当前图形及坐标的全部属性,使得随后绘制的图形附加到已存在的图形上去.holdoff则不保留当前图形及坐标的全部属性.在同一个图形窗口中,使用subplot命令建几个不同的坐标系统,格式如下:
subplot(m,n,p)该命令将当前的图形窗口划成m×n个子坐标系统并选择其中的第p个坐标系统为当前坐标系统.例8
在一个图形窗口中分别绘出,和的图形.解在程序编辑器编写如下M文件:x=linspace(0,2*pi,30);y1=sin(x);y2=cos(x);t=linspace(-2,2,60);y3=t.^2;s=linspace(-2,2,60);y4=pow2(s);subplot(2,2,1)plot(x,y1)subplot(2,2,2)plot(x,y2)subplot(2,2,3)plot(t,y3)subplot(2,2,4)plot(s,y4)保存为example1_8.m,并运行得到图形如下:2.绘制三维图形.MATLAB提供了多种绘制三维图形函数,而且还有一系列的图形操作命令.这里仅介绍基本三维曲线的绘制命令:plot3(x,y,z)其作用为绘制由向量x,y,z确定的空间曲线.例9
画出由参数方程确定的空间曲线.解在程序编辑器编写如下M文件:t=linspace(0,2*pi,60);x=sin(t);y=cos(t);z=t保存为example1_9.m,并运行得到图形如下:例10画出函数的图像.解在程序编辑器编写如下M文件:hol
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