通信数学教程 第二章 极限与连续

第2章极限与连续极限运算法则两个重要极限函数的连续性§2·1§2·2§2·3§2·4§2·5无穷小与无穷大极限的概念§2·1极限的概念极限的思维

1．割圆术

——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽庄子§2·1极限的概念2．截丈问题

——“一尺之棰，日取其半，万世不竭”——“一尺之棰，日取其半，万世不竭”2.1.1数列的极限数列的定义:

考察下面几个数列{an}，当项n数无限增大（记作n

）时，对应的项值的变化情况：

如果一个数列没有极限，就称该数列是的。

说明：发散

例2.1观察下列各数列的变化趋势，并写出他们的极限。（1）发散（2）收敛，1（3）收敛，1（4）发散(5）收敛，8

例2.1观察下列各数列的变化趋势，并写出他们的极限。

（6）收敛，0（7）收敛，2（8）收敛，0（9）收敛，5由例2.1归纳出一般结果如下：

2.1.1数列的极限例2.2.观察数列的变化趋势，写出他们的极限。

（1）发散，无极限；（2）发散，无极限。2.1.2函数的极限1.自变量趋向于无穷大时函数的极限

或当x

时，f(x)

A．1.自变量趋向于无穷大时函数的极限

或当x

（或x)时，f(x)

A．

1.自变量趋向于无穷大时函数的极限

符号说明：

例2.3讨论下列函数的极限。解：（1）1

;（2）极限不存在。

2.1.2函数的极限2.自变量趋向于有限值时函数的极限

思考：2.1.2函数的极限2.自变量趋向于有限值时函数的极限

2.1.2函数的极限2.自变量趋向于有限值时函数的极限

2.1.2函数的极限2.自变量趋向于有限值时函数的极限

符号说明：2.1.2函数的极限

2.1.2函数的极限

例2.5讨论在点处的极限.解：作出这个分段函数的图形.

2.1.2函数的极限巩固题

2.1.3极限的性质

§2·2无穷小与无穷大2.2.1无穷小1.无穷小的定义【定义2.4】极限是零的变量，称为无穷小量，简称无穷小。例：2.2.1无穷小（2）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（3）零是可以作为无穷小的唯一的数.（1）无穷小必须指明自变量的变化趋势;注意2.2.1无穷小有限个无穷小的乘积仍是无穷小。有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。常数与无穷小的乘积仍是无穷小。有限个无穷小的代数和仍是无穷小。【性质2.5】【性质2.4】【性质2.6】【推论2.2】2.无穷小的性质2.2.1无穷小2.无穷小的性质

注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小2.2.1无穷小2.无穷小的性质注意：有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小。推论2常数与无穷小的乘积是无穷小

。推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小

。

2.2.1无穷小2.无穷小的性质例解：由无穷小性质得原式=0。2.2.1无穷小2.无穷小的性质例解：原式=0。2.2.1无穷小3.无穷小与函数极限之间的关系

2.2.2无穷大1.无穷大的定义

2.2.2无穷大2.无穷大的性质有限个无穷大的乘积仍是无穷大无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.312无穷大是变量,不能与很大的数混淆2.2.2无穷大2.无穷大的性质

2.2.2无穷大3.无穷大与无穷小的关系

2.2.2无穷大3.无穷大与无穷小的关系例解：原式=由无穷小与无穷大的倒数关系得2.2.3无穷小的比较

2.2.3无穷小的比较例1.比较下列无穷小的阶数的高低

2.2.3无穷小的比较

常见的等价无穷小：2.2.3无穷小的比较例

§2·3极限运算法则2.3.1极限的四则运算法则

利用以上法则计算极限时，每个函数都必须有极限，并且分母的极限不能为0，否则不能用.注意：2.3.1极限的四则运算法则例

2.3.1极限的四则运算法则例

2.3.1极限的四则运算法则例

综合上述两个例题，可以得到这样的结论：

2.3.2复合函数的极限法则

结论：就是说，在上述条件下，求极限时可以换元。2.3.2复合函数的极限法则

§2·4两个重要极限

解观察下表：

0.50.10.050.010.958850.998330.999580.99998可以看到

-100-1000-10000-1000002.732002.719642.718422.71830表(1)

1001000100001000002.704812.716922.718152.71827表(2)

注意：

有“1”有“+”有“无穷小”有“互为倒数”复习旧识:

小结

3、第二个重要极限注意：有“1”；有“+”；有“无穷小”；有“互为倒数”。§2·5函数的连续性2.5.1.函数的增量

111.011.02010.010.020121.95-1-0.87413.80250.7569-0.05000.1300-0.1975-0.24312.5.1.函数的增量

2.5.2函数的连续性1.函数连续的定义

图1图22.5.2函数的连续性1.函数连续的定义

2.5.2函数的连续性1.函数连续的定义

2.5.2函数的连续性1.函数连续的定义

2.5.2函数的连续性2.函数的间断点

2.5.2函数的连续性2.函数的间断点

2.5.2函数的连续性2.函数的间断点

间断点的分类：

2.5.2函数的连续性

2.5.3函数在区间上的连续性

2.5.4初等函数的连续性

基本初等函数的连续性：由于基本初等函数在其定义域的每一个区间上的图像都是一条连续的曲线，因此基本初等函数在其定义域内是连续的.

以上两个法则同时也说明：一切初等函数在其定义区间内部都是连续的。2.5.4初等函数的连续性