经济应用数学电子教案 3.6假设检验

经济应用数学课题假设检验（2学时）时间年月日教学目的要求1.假设检验的思路。2.假设检验的步骤。3.掌握不同类型问题的假设检验。重点假设检验的思路和方法。难点不同类型问题的假设检验。教学方法手段结合案例，讲授为主。主要内容时间分配引例10分钟假设检验的基本思想5分钟二、统计结论的两类错误5分钟三、假设检验的步骤10分钟1.单正态总体均值的检验15分钟20分钟2.单正态总体方差的检验10分钟例55分钟练习5分钟小结5分钟作业备注【引例】设一箱中有红白两种颜色的球共100个，甲说这里有98个白球，乙从箱中任取一个，发现是红球，问甲的说法是否正确？先作假设：箱中有98个白球．如果假设正确，则从箱中任取一个球是红球的概率只有0.02，是小概率事件，通常认为在一次随机试验中，概率小的事件不易发生，因此，若乙从箱中任取一个，发现是白球，则没有理由怀疑假设的正确性．今乙从箱中任取一个，发现是红球，即小概率事件竟然在一次试验中发生了，故有理由拒绝假设，即认为甲的说法不正确．【主要内容】一、假设检验的基本思想假设检验的思想实质上是带有某种概率性质的反证法．为了验证一个假设是否正确，首先假定该假设正确，然后根据抽取到的样本对假设作出接受或拒绝的决策．如果样本观察值导致了不合理的现象发生，就应拒绝假设，否则接受假设．假设检验中所谓“不合理”，并非逻辑中的绝对矛盾，而是基于人们在实践中广泛采用的原则，即小概率事件在一次试验中是几乎不发生的．但概率小到什么程度才能算作“小概率事件”？显然，“小概率事件”的概率越小，否定原假设就越有说服力．常记这个概率值为，称为检验的显著性水平．对不同的问题，检验的显著性水平不一定相同，但一般应取为较小的值，如0.1，0.05，0.01等．一般情况下，假设检验的步骤如下：（1）根据实际问题的要求，充分考虑和利用已知的背景知识，提出原假设；（2）选取适当的统计量，并在假设成立的条件下确定该统计量的分布；（3）对于给定的显著性水平，并根据统计量的分布查表，确定对应于的临界值；（4）根据样本观测值计算出统计量的实际值，并与临界值比较，从而对拒绝或接受原假设，作出判断．二、统计结论的两类错误采用假设检验的方法，其目的在于判断总体是否具有某种性质，或者判断两个独立的总体是否具有相同的参数，由于通过样本来推断总体的性质，而抽取样本具有随机性，因此存在错判的可能．错判的种类可分为两种：（1）当假设正确时，小概率事件也有可能发生，此时，我们会拒绝假设，因而犯了“弃真”的错误，称此为第一类错误．犯第一类错误的概率恰好就是“小概率事件”发生的概率，即．（2）反之，若假设不正确，但一次抽样检验未发生不合理结果，这时我们就会接受，因而犯了“取伪”的错误，称此为第二类错误．记为犯第二类错误的概率，即．三、假设检验的步骤1.检验法设总体～，其中总体方差已知，是取自总体的一个样本，为样本均值．（1）提出原假设，其中为已知常数．（2）选取样本的统计量在成立的条件下，～．（3）对于给定的显著性水平，查标准正态分布表确定临界值使得，因此得拒绝域．（4）根据样本观测值计算出统计量的值．若则拒绝原假设，即认为总体均值与有显著差异；若则接受原假设，即认为总体均值与无显著差异．这种方法称为检验法．【例1】某电视机生产厂家生产的电视机质量指标服从正态分布，标准差.今抽取了一个容量为26的样本，计算样本均值.问在显著性水平为5%的情况下，能否认为这批电视机的质量指标数学期望值？解本题是一个正态总体在方差已知的情况下，对总体均值是否等于进行检验．所以，采用检验法．（1）提出原假设.（2）选择统计量～.（3）由，查表得，使得.（4）已知，计算.所以，接受原假设，即认为这批电视机质量指标的均值为1600．【例2】某电器零件的电阻服从正态分布，且平均电阻一直保持在，改变加工工艺后，测得100个零件的平均电阻为，如改变工艺前后的电阻标准差保持不变，为，问新工艺对此零件的电阻有无显著性影响？解本题是一个正态总体在方差已知的情况下，对总体均值是否等于2.64进行检验．所以，采用检验法．（1）提出原假设.（2）选择统计量～.（3）由，查表得，使得.（4）已知，计算.所以，拒绝原假设，即认为新工艺对此零件的电阻有影响．2.检验法设总体～，其中总体方差未知，是取自的一个样本，和分别为样本均值和样本方差．（1）提出原假设，其中为已知常数．（2）选取样本的统计量在成立的条件下，～.（3）对于给定的显著性水平，查分布表确定临界值，使得，因此得拒绝域．（4）根据样本观测值计算出统计量的值．若，则拒绝原假设，即认为总体均值与有显著差异；若则接受原假设，即认为总体均值与无显著差异．这种检验方法称为检验法．【例3】某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准重量为500克.每隔一段时间检查机器工作情况，现抽得10罐，测得其重量为（单位：克）：195,510,505,498,503,492,792,672,407,506.假定重量服从正态分布，试问在显著性水平为95%的情况下，机器工作是否正常？解本题是一个正态总体在方差未知的情况下，对总体均值是否等于500进行检验．所以，采用检验法．（1）提出原假设.（2）选取统计量～.（3）由，查表得，使得.（4）已知，计算.所以，接受原假设，即认为机器工作正常．【例4】某汽车零件的重量服从正态分布，现从一批零件中随机抽取16个，测得平均重量为820克，标准差为60克.试以显著性水平的情况下，检测这批产品的平均重量是否是800克？解本题是一个正态总体在方差未知的情况下，对总体均值是否等于800进行检验．所以，采用检验法．（1）提出原假设.（2）选取统计量～.（3）由，查表得，使得.（4）根据样本观测值计算得，于是.所以，接受原假设，可以认为这批产品的平均重量为800克．3.检验法设总体～，其中总体均值未知，是取自的一个样本，和分别为样本均值和样本方差．（1）提出原假设.（2）选取样本的统计量：=在成立的条件下，～．（3）对于给定的显著性水平，查分布表确定临界值及，使得因此得拒绝域．（4）根据样本观测值计算出统计量的值．若或，则拒绝原假设；若，则接受原假设．这种检验法称为检验法．【例5】某电工器材厂生产一种保险丝，测得熔化时间，依通常情况下方差为400.今从某天产品中抽取容量为25的样本，测其熔化时间并计算得到.假定保险丝熔化时间服从正态分布，问这天保险丝熔化时间的方差与通常有无显著差异？解本题是一个正态总体均值未知的情况下，对总体方差是否等于进行检验．所以，采用检验法．（1）提出原假设.（2）选取统计量=～.（3）由，查分布表得，（4）由样本观测值计算，于是.所以，接受原假设，即可认为该天保险丝熔化时间方差与通常无显著差异．【课堂练习】1.由经验知某零件质量（单位：克），技术革新后，抽取6个零件，测得质量为：14.7，15.1，14.8，15.0，15.2，14.6.已知方差不变，问平均质量是否仍为1