2024-2025学年新教材高中数学第六章导数及其应用6.2.2.1函数的导数与极值课时素养评价含解析新人教B版选择性必修第三册

PAGE课时素养评价十八函数的导数与极值(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下列说法正确的是()A.x=a是函数y=f(x)的微小值点B.当x=-a或x=b时,函数f(x)的值为0C.函数y=f(x)关于点(0,c)对称D.函数y=f(x)在(b,+∞)上单调递增【解析】选D.结合导数与函数单调性的关系可知,A中,在x=a旁边,f′(x)<0,故x=a不是微小值点;B中,导数为0时,函数值不肯定为0;C中,导函数的对称性与原函数的对称性没有关系;D中,当x>b时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.2.(2024·张家界高二检测)函数f(x)=(x2-3x+1)ex的极大值是 ()A.-3e B.-e2 C.2e2 D.QUOTE【解析】选D.f(x)=(x2-3x+1)ex,x∈R.f′(x)=(2x-3)ex+(x2-3x+1)ex=(x2-x-2)ex=(x-2)(x+1)ex.令f′(x)=0,解得x=-1,2.令f′(x)>0,解得x>2,或x<-1.令f′(x)<0,解得-1<x<2.所以函数f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减.所以x=-1时,函数f(x)取得极大值,f(-1)=QUOTE.3.(多选题)对于函数f(x)=x3-3x2,给出选项中正确的是 ()A.f(x)是增函数,无极值B.f(x)是减函数,无极值C.f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞),单调递减区间为(0,2)D.f(0)=0是极大值,f(2)=-4是微小值【解析】选CD.f′(x)=3x2-6x.令f′(x)=3x2-6x>0,得x>2或x<0;令f′(x)=3x2-6x<0,得0<x<2,所以函数f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减.当x=0和x=2时,函数分别取得极大值0和微小值-4.所以CD正确.4.(2024·荆州高二检测)若函数f(x)=(x-a)3-3x+b的极大值为M,微小值为N,则M-N ()A.与a有关,且与b有关 B.与a无关,且与b有关C.与a无关,且与b无关 D.与a有关,且与b无关【解析】选C.f′(x)=3(x-a)2-3,令f′(x)=0,得x=a-1,或x=a+1,当x改变时,f′(x)的改变状况如下表:x(-∞,a-1)a-1(a-1,a+1)a+1(1+a,+∞)f′(x)+0-0+因此,函数f(x)在x=a+1处取得微小值,函数f(x)在x=a-1处取得极大值,M-N=f(a-1)-f(a+1)=-1-3(a-1)+b-1+3(a+1)-b=4.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中正确的是________(填写序号).

①当x=QUOTE时函数取得微小值;②f(x)有两个极值点;③当x=2时函数取得微小值;④当x=1时函数取得极大值.【解析】从题中图象上可以看到:当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,2)时,f′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)有两个极值点1和2,且当x=2时函数取得微小值,当x=1时函数取得极大值.只有①不正确.答案:②③④6.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为________.

【解析】因为x=2是f(x)的极大值点,又f(x)=x(x2-2cx+c2),所以f′(x)=x(2x-2c)+x2-2cx+c2=3x2-4cx+c2.所以f′(2)=c2-8c+12=0.得c=2或c=6.当c=2时,不能取极大值,故c=6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)7.设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R,求f(x)的单调区间与极值.【解析】由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.令f′(x)=0,得x=ln2.于是当x改变时,f′(x),f(x)的改变状况如下表:x(-∞,ln2)ln2(ln2,+∞)f′(x)-0+f(x)↘2(1-ln2+a)↗故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞);且f(x)在x=ln2处取得微小值.微小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a),无极大值.8.设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与y=0在原点相切,若函数的微小值为-4.(1)求a,b,c的值.(2)求函数的递减区间.【解析】(1)因为函数的图象经过点(0,0),易得c=0.又图象与x轴相切于点(0,0),且y′=3x2+2ax+b,故0=3×02+2a×0+b,解得b=0.所以y=x3+ax2,则y′=3x2+2ax.令y′=0,解得x=0或x=-QUOTEa,即x=0和x=-QUOTEa是极值点.由图象知函数在x=0处取极大值,故在x=-QUOTEa处取微小值.当x=-QUOTEa时,函数有微小值-4,所以QUOTE+aQUOTE=-4,整理得a3=-27,解得a=-3.故a=-3,b=0,c=0.(2)由(1)得y=x3-3x2,则y′=3x2-6x,令y′<0,即3x2-6x<0,解得0<x<2,所以函数的递减区间是(0,2).(15分钟·30分)1.(5分)如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则QUOTE+QUOTE等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点(0,0),(1,0),(2,0),得d=0,b+c+1=0,4b+2c+8=0,则b=-3,c=2,f′(x)=3x2+2bx+c=3x2-6x+2,且x1,x2是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的两个极值点,即x1,x2是方程3x2-6x+2=0的实根,所以QUOTE+QUOTE=(x1+x2)2-2x1x2=4-QUOTE=QUOTE.2.(5分)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得微小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是 ()【解析】选C.由题意可得f′(-2)=0,而且当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,此时xf′(x)>0;当x∈(-2,+∞)时,f′(x)>0,此时若x∈(-2,0),xf′(x)<0,若x∈(0,+∞),xf′(x)>0,所以函数y=xf′(x)的图象可能是C.3.(5分)(2024·福州高二检测)设a<0,若函数y=ex+2ax,x∈R有小于零的极值点,则实数a的取值范围是________.

【解析】因为y=ex+2ax,a<0,所以y′=ex+2a.由题意知ex+2a=0有小于0的实根,令y1=ex,y2=-2a,则两曲线交点在其次象限,结合图象:易得0<-2a<1⇒-QUOTE<a<0,故实数a的取值范围是QUOTE.答案:QUOTE4.(5分)若函数y=x·2x在x=x0时取微小值,则x0=________.

【解析】令y′=2x+x·2xln2=2x(1+xln2)=0,得x=-QUOTE.所以当x>-QUOTE时,y′>0,函数递增;当x<-QUOTE时,y′<0,函数递减.所以当x=-QUOTE时函数取微小值.答案:-QUOTE【加练·固】三次函数当x=1时有极大值4,当x=3时,有微小值0,且函数过原点,则此函数是 ()A.y=x3+6x2+9x B.y=x3-6x2+9xC.y=x3-6x2-9x D.y=x3+6x2-9x【解析】选B.三次函数过原点,结合选项,可设f(x)=x3+bx2+cx,f′(x)=3x2+2bx+c,由题设知,f′(1)=3+2b+c=0,f′(3)=27+6b+c=0,解得b=-6,c=9.所以f(x)=x3-6x2+9x;f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).当x=1时,f(x)极大值=4;当x=3时,f(x)微小值=0,满意条件.5.(10分)已知函数f(x)=x2-2lnx,h(x)=x2-x+a.(1)求函数f(x)的极值.(2)设函数k(x)=f(x)-h(x),若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域是(0,+∞).令f′(x)=2x-QUOTE=0,得x=1.当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;所以f(x)在x=1处取得微小值,又f(1)=1,所以f(x)的微小值为1,无极大值.(2)k(x)=f(x)-h(x)=x-2lnx-a(x>0),所以k′(x)=1-QUOTE,令k′(x)>0,得x>2,令k′(x)<0,得0<x<2,所以k(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.要使函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,则需QUOTE解得2-2ln2<a≤3-2ln3.1.若函数f(x)=alnx-ex有极值点,则实数a的取值范围是 ()A.(-e,+∞) B.(1,e)C.(1,+∞) D.(0,+∞)【解析】选D.因为函数f(x)=alnx-ex,x∈(0,+∞),所以f′(x)=QUOTE-ex,①当a≤0时,f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,无极值点,②当a>0时,依据y=QUOTE与y=ex的图象,如图所示,设两个函数在第一象限的交点的横坐标为x0,当x∈(0,x0)时,QUOTE>ex,f′(x)>0,函数f(x)在区间(0,x0)上单调递增;当x∈(x0,+∞)时,QUOTE<ex,f′(x)<0,所以函数f(x)在(x0,+∞)上单调递减,所以当a>0时,函数f(x)有一个极大值点.2.设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间.(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.【解析】(1)由f′(x)=lnx-2ax+2a,可得g(x)=lnx-2ax+2a,x∈(0,+∞),则g′(x)=QUOTE-2a=QUOTE,当a≤0,x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;当a>0,x∈QUOTE时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,x∈QUOTE时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.所以当a≤0时,g(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>0时,g(x)的单调递增区间为QUOTE,单调递减区间为QUOTE.(2)由(1)知,f′(1)=0.①当a≤0时,f′(x)单调递增.所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得微小值,不合题意.②当0<a<QUOTE时,QUOTE>1,由(1)知f′(x)在QUOTE内单调递增,可得当x∈(0,1)时,f′(x)<0,x∈QUOTE时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)内单调递减,