2024-2025学年高中数学单元素养评价第四章复数含解析北师大版选修2-2

PAGE单元素养评价(四)(第五章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.由题意可得复数z=-2+i，故在复平面内对应的点为(-2，1)，在其次象限.2.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i，m∈R，z2=3-2i，则“m=1”是“z1=z2”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】选A.因为z1=z2，所以QUOTE解得m=1或m=-2，所以m=1是z1=z2的充分不必要条件.3.设z1=3-4i，z2=2+3i，则z1-2z2在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选C.因为z1-2z2=3-4i-2(2+3i)=-1-10i，在复平面内对应的点(-1，-10)位于第三象限.4.已知a是实数，QUOTE是纯虚数，则a等于()A.1 B.-1 C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.QUOTE=QUOTE=QUOTE是纯虚数，则a-1=0，a+1≠0，解得a=1.5.若i(x+yi)=3+4i(x，y∈R)，则复数x+yi的模是 ()A.2 B.3 C.4 【解析】选D.由i(x+yi)=3+4i，得-y+xi=3+4i，解得x=4，y=-3，所以复数x+yi的模为QUOTE=5.6.在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为-2+i，3+2i，1+5i，那么对应的复数为()A.4+7i B.1+3iC.4-4i D.-1+6i【解析】选C.因为，，对应的复数分别为-2+i，3+2i，1+5i，=-=-(+)，所以对应的复数为3+2i-[(-2+i)+(1+5i)]=4-4i.7.在复平面内，复数z=QUOTE所对应的点位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选C.在复平面内，复数z=QUOTE=QUOTE=-QUOTE-QUOTEi，所对应的点QUOTE位于第三象限.8.若复数z=a+QUOTE的实部与虚部相等，其中a是实数，则a=()A.1 B.0 C.-1 【解析】选A.因为z=a+QUOTE=a+QUOTE=a+i的实部与虚部相等，所以a=1.9.设复数z=1-QUOTEi(i是虚数单位)，则QUOTE的虚部为()A.QUOTEi B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTEi【解析】选C.因为z=1-QUOTEi，所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE+QUOTEi.所以QUOTE的虚部为QUOTE.10.当z=-QUOTE时，z100+z50+1的值是()A.1 B.-1 C.i 【解析】选D.原式=QUOTE+QUOTE+1=QUOTE+QUOTE+1=(-i)50+(-i)25+1=-i.11.已知复数QUOTE的实部与虚部互为相反数，那么实数b等于()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.-QUOTE【解析】选D.复数QUOTE=QUOTE=QUOTE，由于复数的实部与虚部互为相反数，那么(2-2b)+(-4-b)=0⇒b=-QUOTE.12.已知复数z满意|z|2-2|z|-3=0，则复数z在复平面内对应点的轨迹是()A.1个圆 B.线段C.2个点 D.2个圆【解析】选A.由题意知(|z|-3)(|z|+1)=0，即|z|=3或|z|=-1，因为|z|≥0，所以|z|=3，所以复数z在复平面内对应点的轨迹是1个圆.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上)13.复数QUOTE(i是虚数单位)的虚部是_________.

【解析】因为QUOTE=QUOTE=1-i，所以复数QUOTE的虚部是：-1.答案：-114.-3的平方根是_________.

【解析】由(±QUOTEi)2=-3得解.答案：±QUOTEi15.设z∈C，|z|=1，则|z-(1+i)|的最大值是_________.

【解析】由题意可知，复数z的轨迹为单位圆，如图，|z-(1+i)|的几何意义为单位圆上的动点到定点P的距离，由图可知，|z-(1+i)|的最大值为|AP|=1+QUOTE.答案：1+QUOTE16.下列说法中正确的序号是_________.

①若(2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x∈R，y∈CR，则必有QUOTE②2+i>1+i；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z=QUOTE，则z3+1对应的点在复平面内的第一象限.【解析】由y∈CR，知y是虚数，则QUOTE不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3+1=QUOTE+1=i+1，对应点在第一象限，故⑤正确.答案：⑤三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(10分)计算：(1)QUOTE(1+i).(2)QUOTE.(3)QUOTE.【解析】(1)QUOTE(1+i)=QUOTE(1+i)=QUOTE(1+i)=QUOTE+QUOTEi=-QUOTE+QUOTEi.(2)QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi.(3)QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1-i.18.(12分)已知复数z1满意(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.【解题指南】解题的关键就在于“z1·z2是实数”这一条件，可得z1·z2的虚部为零，进而求出结果.【解析】可以结合复数z2的虚部为2，设z2=a+2i，由已知复数z1满意(z1-2)(1+i)=1-i，得z1=2-i，又已知z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数，则虚部4-a=0，即a=4，即复数z2=4+2i.19.(12分)已知z是复数，z+2i，QUOTE均为实数(i为虚数单位)，对于复数w=(z+ai)2，当a为何值时，w为：(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.【解题指南】求复数z→化简w→求待定系数a的值.【解析】设z=x+yi(x，y∈R)，z+2i=x+(y+2)i，由题意得y=-2，QUOTE=QUOTE=QUOTE(x-2i)(2+i)=QUOTE(2x+2)+QUOTE(x-4)i.由题意得x=4，所以z=4-2i.因为w=(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i，(1)当w为实数时，令a-2=0，所以a=2.(2)w为虚数，只要a-2≠0，所以a≠2.(3)w为纯虚数，只要12+4a-a2=0且a-2≠0，所以a=-2或a=6.20.(12分)设复数z=2m+(4-m2)i，其中i为虚数单位，当实数m取何值时，复数z对应的点：(1)位于虚轴上.(2)位于一、三象限.(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上.【解析】(1)复数z对应的点位于虚轴上，则QUOTE⇒m=0.所以m=0时，复数z对应的点位于虚轴上.(2)复数z对应的点位于一、三象限，则2m(4-m2)>0⇒m(m-2)(m+2)<0⇒m<-2或0<m<2.所以当m∈(-∞，-2)∪(0，2)时，复数z对应的点位于一、三象限.(3)复数z对应的点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上，则|z|=QUOTE=4⇒m=0或m=±2.所以m=0或m=±2时，复数z对应的点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上.21.(12分)已知复数z满意|z|=QUOTE，z2的虚部是2.(1)求复数z.(2)设z，z2，z-z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积.【解析】(1)设z=a+bi(a，b∈R)，则z2=a2-b2+2abi，由题意得a2+b2=2且2ab=2，解得a=b=1或a=b=-1，所以z=1+i或z=-1-i.(2)当z=1+i时，z2=2i，z-z2=1-i，所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，-1)，所以S△ABC=1.当z=-1-i时，z2=2i，z-z2=-1-3i，所以A(-1，-1)，B(0，2)，C(-1，-3)，所以S△ABC=1.22.(12分)已知复平面内的平行四边形ABCD中，点A对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.设O为坐标原点，又因为=+，所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.因