2025届高中数学统考第二轮专题复习第8讲解三角形限时集训理含解析

第8讲解三角形基础过关1.已知△ABC的内角A,B,C满意(sinA+sinB)(sinA-sinB)=(sinC-sinB)sinC,△ABC的面积为103.(1)求sin2A;(2)若sinB+sinC=13314,求△ABC2.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C的对边,acosC+3csinA=b+c.(1)求角A的大小;(2)若a=3,b+c=3,求b,c.3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=4,A=π3(1)AD是BC边上的中线,若AD=7,求c的值;(2)若a=43,求△ABC的周长.4.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin2B=2bsinAcosπ3-B.(1)求cosB的值;(2)若△ABC的面积为1,求b的最小值.实力提升5.如图X8-1,在四边形ABCD中,AD⊥AB,∠CAB=60°,∠BCD=120°,AC=2.(1)若∠ABC=15°,求DC.(2)记∠ABC=θ,当θ为何值时,△BCD的面积取得最小值?求出最小值.图X8-16.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA+C2=bsin((1)求角B的大小;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=2,求△ABC面积的取值范围.限时集训(八)1.解:(1)设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∵(sinA+sinB)(sinA-sinB)=(sinC-sinB)sinC,∴由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,化简可得b2+c2-bc=a2,由余弦定理可得cosA=b2+c∵0<A<π,∴A=π3,∴sin2A=3(2)设△ABC的外接圆的半径为R.∵sinB+sinC=13314,∴b+c=13314·2R=133由S△ABC=12bcsinA=103,得bc=40∵b2+c2-bc=a2,∴(b+c)2-3bc=a2,∴13a72-120=a2,解得a=7,∴△ABC的周长为7+13=20.2.解:(1)因为acosC+3csinA=b+c,所以由正弦定理可得sinAcosC+3sinCsinA=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC,即sinAcosC+3sinCsinA=sinAcosC+sinCcosA+sinC,即sinC(3sinA-cosA)=sinC,因为sinC≠0,所以3sinA-cosA=1,即sinA-π6=12,所以A-π6=π6或A-π6=5故A=π3(2)由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc,解得bc=2,所以b=1,3.解:(1)由题知AB+AC=2AD,所以(AB+AC)2=AB2+AC2+2AB·AC=4AD2即c2+b2+2bccosA=28,又b=4,A=π3所以c2+4c-12=0,解得c=2(负值舍去).(2)由asinA=bsinB,可得sinB=bsinAa因为a>b,所以A>B,所以B=π6所以C=π-A-B=π2所以c=a2+b所以△ABC的周长为a+b+c=12+43.4.解:(1)由asin2B=2bsinAcosπ3-B,得2sinAsinBcosB=2sinBsinAcosπ3-B,∵sinA≠0,sinB≠0,∴cosB=cosπ3-B,∵△ABC为锐角三角形,∴B∈0,π2,π3-B∈-π6,π3,∴B=π3-B,∴B=π6,故cosB=(2)∵S△ABC=12acsinB=1,∴ac=4又b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-43≥2ac-43=8-43,当且仅当a=c=2时取等号,∴b的最小值为8-43=65.解:(1)在四边形ABCD中,因为AD⊥AB,∠BCD=120°,∠ABC=15°,所以∠ADC=360°-90°-120°-15°=135°.在△ACD中,可得∠CAD=90°-60°=30°,∠ADC=135°,AC=2,由正弦定理得CDsin∠CAD=ACsin∠ADC,即CDsin30(2)因为∠CAD=30°,所以∠ADC=150°-θ.在△ADC中,由DCsin30°=2sin(150在△ABC中,由BCsin60°=2sinθ,所以S△BCD=12DC·BC·=34×=34×=34×=34×1所以当sin(2θ-60°)=1,即θ=75°时,S△BCD取得最小值,最小值为6-33.6.解:(1)由题设及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsin(又因为△ABC中,A+B+C=180°,所以sinA+C2=sin(B+C)=sinA,所以sinAcosB2=sinBsinA因为sinA≠0,所以cosB2=sinB=2sinB2cos因为cosB2≠0,所以sinB2=12,又B∈(0°,180°),所以(2)由(1)知,S△ABC=12acsinB=3由正弦定理得a=csinAsinC=2sin(由于△ABC为锐角三