广西南宁三中2023-2024学年高三第一次模拟数学试题理试题

广西南宁三中2023-2024学年高三第一次模拟数学试题理试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）A．7 B．14 C．28 D．842．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A． B． C． D．3．已知函数，若方程恰有两个不同实根，则正数m的取值范围为（）A． B．C． D．4．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为A．96 B．84 C．120 D．3605．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分不必要条件6．过直线上一点作圆的两条切线，，，为切点，当直线，关于直线对称时，（）A． B． C． D．7．已知，，那么是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果在区间上单调递减，那么实数的最大值为（）A． B． C． D．9．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（）A． B． C．2 D．10．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是A．关于直线对称 B．关于点对称C．周期为 D．在上是增函数11．函数在内有且只有一个零点，则a的值为（）A．3 B．－3 C．2 D．－212．已知，且，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，(，)，则＝_______．14．“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．”则每天增加的数量为____尺，设该女子一个月中第n天所织布的尺数为，则______．15．已知函数，若方程的解为，（），则_______；_______．16．已知函数对于都有，且周期为2，当时，，则________________________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）年，山东省高考将全面实行“选”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）.为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取人做调查.统计显示，男生喜欢物理的有人，不喜欢物理的有人；女生喜欢物理的有人，不喜欢物理的有人.（1）据此资料判断是否有的把握认为“喜欢物理与性别有关”；（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会.现从名男同学和名女同学（其中男女喜欢物理）中，选取名男同学和名女同学参加座谈会，记参加座谈会的人中喜欢物理的人数为，求的分布列及期望.，其中.18．（12分）已知函数.（1）证明：函数在上存在唯一的零点；（2）若函数在区间上的最小值为1，求的值.19．（12分）已知数列和，前项和为，且，是各项均为正数的等比数列，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和．20．（12分）设数列，其前项和，又单调递增的等比数列，，.(Ⅰ)求数列，的通项公式；(Ⅱ)若，求数列的前n项和，并求证：.21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；（2）若P，Q分别为曲线，上的动点，求的最大值.22．（10分）如图，已知四棱锥，平面，底面为矩形，，为的中点，.（1）求线段的长.（2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

利用等差数列的通项公式，可求解得到，利用求和公式和等差中项的性质，即得解【详解】，解得．．故选：D【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2、C【解析】

依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A.，值域为，非奇非偶函数，排除；B.，值域为，奇函数，排除；C.，值域为，奇函数，满足；D.，值域为，非奇非偶函数，排除；故选：.【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.3、D【解析】

当时，函数周期为，画出函数图像，如图所示，方程两个不同实根，即函数和有图像两个交点，计算，，根据图像得到答案.【详解】当时，，故函数周期为，画出函数图像，如图所示：方程，即，即函数和有两个交点.，，故，，，，.根据图像知：.故选：.【点睛】本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键.4、B【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共个，其中含有2个10的排列数共个，所以产生的不同的6位数的个数为.故选B．5、A【解析】

试题分析：α⊥β，b⊥m又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.考点：充分条件、必要条件.6、C【解析】

判断圆心与直线的关系，确定直线，关于直线对称的充要条件是与直线垂直，从而等于到直线的距离，由切线性质求出，得，从而得．【详解】如图，设圆的圆心为，半径为，点不在直线上，要满足直线，关于直线对称，则必垂直于直线，∴，设，则，，∴,．故选：C．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线对称，得出与直线垂直，从而得就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角．7、B【解析】

由，可得，解出即可判断出结论．【详解】解：因为，且．，解得．是的必要不充分条件．故选：．【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8、B【解析】

根据条件先求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.【详解】将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，则，设，则当时，，，即，要使在区间上单调递减，则得，得，即实数的最大值为，故选：B.【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.9、C【解析】由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得时，取得最大值，即，，，当时，解得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值.10、D【解析】

当时,,∴f(x)不关于直线对称；当时,,∴f(x)关于点对称；f(x)得周期，当时,,∴f(x)在上是增函数．本题选择D选项.11、A【解析】

求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】，若，，在单调递增，且，在不存在零点；若，，在内有且只有一个零点，.故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.12、B【解析】分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得的值，之后借助于倍角公式，将待求的式子转化为关于的式子，代入从而求得结果.详解：根据题中的条件，可得为锐角，根据，可求得，而，故选B.点睛：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先利用倍角公式及差角公式把已知条件化简可得，平方可得.【详解】∵，∴，则，平方可得．故答案为：.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，倍角公式的合理选择是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.14、52【解析】

设从第2天开始,每天比前一天多织尺布,由等差数列前项和公式求出,由此利用等差数列通项公式能求出.【详解】设从第2天开始,每天比前一天多织d尺布,

则,

解得,即每天增加的数量为，

，故答案为，52.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.15、【解析】

求出在上的对称轴，依据对称性可得的值;由可得，依据可求出的值.【详解】解：令，解得因为，所以关于对称.则.由，则由可知，，又因为，所以，则，即故答案为:;.【点睛】本题考查了三角函数的对称轴，考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系.本题的易错点在于没有正确判断的取值范围，导致求出.在求的对称轴时，常用整体代入法，即令进行求解.16、【解析】

利用，且周期为2，可得，得.【详解】∵，且周期为2，∴，又当时，，∴，故答案为：【点睛】本题考查函数的周期性与对称性的应用，考查转化能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）有的把握认为喜欢物理与性别有关；（2）分布列见解析，.【解析】

（1）根据题目所给信息，列出列联表，计算的观测值，对照临界值表可得出结论；（2）设参加座谈会的人中喜欢物理的男同学有人，女同学有人，则，确定的所有取值为、、、、．根据计数原理计算出每个所对应的概率，列出分布列计算期望即可．【详解】（1）根据所给条件得列联表如下：男女合计喜欢物理不喜欢物理合计，所以有的把握认为喜欢物理与性别有关；（2）设参加座谈会的人中喜欢物理的男同学有人，女同学有人，则，由题意可知，的所有可能取值为、、、、．，，，，.所以的分布列为：所以.【点睛】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的概率分布列．离散型随机变量的期望．属于中等题．18、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明在上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点，判断出的单调性，从而可确定，利用以及的单调性，可确定出之间的关系，从而的值可求.【详解】（1）证明：∵，∴.∵在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴函数在上单调递增.又，令，，则在上单调递减，，故.令，则所以函数在上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.函数在上单调递增.∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴.由（*）式得.∴，显然是方程的解.又∵是单调递减函数，方程有且仅有唯一的解，把代入（*）式，得，∴，即所求实数的值为.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.19、（1），；（2）.【解析】

（1）令求出的值，然后由，得出，然后检验是否符合在时的表达式，即可得出数列的通项公式，并设数列的公比为，根据题意列出和的方程组，解出这两个量，然后利用等比数列的通项公式可求出；（2）求出数列的前项和，然后利用分组求和法可求出.【详解】（1）当时，，当时，.也适合上式，所以，.设数列的公比为，则，由，两式相除得，，解得，，；（2）设数列的前项和为，则，.【点睛】本题考查利用求，同时也考查了等比数列通项的计算，以及分组求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.20、（1），；（2）详见解析.【解析】

（1）当时，，当时，，当时，也满足，∴，∵等比数列，∴，∴，又∵，∴或（舍去），∴；（2）由（1）可得：，∴，显然数列是递增数列，∴，即.）21、（1），；（2）【解析】试题分析：（1）由消去参数，可得的普通方程，由可得的普通方程；（2）设为曲线上一点，点到曲线的圆心的距离，结合可得最值，的最大值为，从而得解.试题解析：（1）的普通方程为.∵曲线的极坐标方程为，∴曲线的普通方程为，即.（2）设为曲线上一点，则点到曲线的圆心的距离.∵，∴当时，d有最大值.又∵P，Q分别为曲线，