2016-2018年高考全国卷理科数学试题答案解析

2016-2018全国卷理数

2018/2017/2016全国I卷

2018/2017/2016全国II卷

2018/2017/2016全国III卷

1

2018年全国卷1理数解析

1—i

1.设z=--；+2i,则|z|=

1L

A.0B.-C.1D.J2

2

【答案】C

【解析】分析：首先根据复数的运算法则，将其化简得到2=:根据复数模的公式，得到|Z|=1,

从而选出正确结果.

、¥白刀m1—i(l-i)2-2i

洋斛：因为z=----1-2i=---------F2i=---F21=i>

1+i(l+i)(l-i)2

所以因=Jo+J=l,故选c.

点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式，利用复数的除法及加法

运算法则求得结果，属于简单题目.

2.已知集合人={小2个一2>0},则CRA=

A.{x|-l<x<2}B.{x|-l<x<2}

C.{x|x<-1}u{x|x>2}D.{x|x<-1}u{x|x>2}

【答案】B

【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出x2-x-2>0的解集，从而求得集合A,

之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.

详解：解不等式x2-x-2>0得x〈T或x>2,

所以A={x|xv-l或x>2},

所以可以求得CRA={x|TSXW2},故选B.

点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程

中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.

3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解

该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比

例.得到如下饼图：

也没前经济收入构成比例

2

则下面结论中不正确的是

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【答案】A

【解析】分析：首先设出新农村建设前的经济收入为M,根据题意，得到新农村建设后的经

济收入为2M,之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较

其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.

详解：设新农村建设前的收入为M,而新农村建设后的收入为2M,

则新农村建设前种植收入为0.6M,而新农村建设后的种植收入为0.74M,所以种植收入增加

了，所以A项不正确；

新农村建设前其他收入我0.04M,新农村建设后其他收入为0.1M,故增加了一倍以上，所以

B项正确；

新农村建设前，养殖收入为0.3M,新农村建设后为0.6M,所以增加了一倍，所以C项正确；

新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%+28%=58%>50%,所以

超过了经济收入的一半，所以D正确；

故选A.

点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出

相应的信息即可得结果.

4.设Sn为等差数列｛a4的前n项和，若3s3Ks2+S4,a1=2,则a$=

A.-12B.-10C.10D.12

【答案】B

详解：设该等差数列的公差为d,

3x24x3

根据题中的条件可得3(3x2+-d)=2x2+d+4><2+;一•d,

整理解得d=-3,所以=a1+4d=2T2=TO,故选B.

点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利

用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d的值，之后利用等差数列的通项公式

得到与力和£1的关系，从而求得结果.

3

5.设函数f(x)=x，+(a-l)x2+ax,若f(x)为奇函数，则曲线丫=f(x)在点(0,0)处的切线方程为

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

【答案】D

【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得a=l,进而得到f(x)的解析式，再对f(x)求导

得出切线的斜率k,进而求得切线方程.

详解：因为函数f(x)是奇函数，所以a-1=0,解得a=l,

所以f(x)=x34+f(x)=3x2+L

所以f(0)=l,f(0)=0,

所以曲线丫=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-f(0)=f(0)x,

化简可得丫=乂，故选D.

点睛：该题考查的是有关曲线y=f(x)在某个点(Xo，f(xJ)处的切线方程的问题，在求解的过程

中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函

数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f(x),借助于导数的几何

意义，结合直线方程的点斜式求得结果.

6.在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则矗=

3-1-「3-

A.—AB—ACB.-AB—AC

4444

3-1-143一

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

一—一

【解析】分析:首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BE=-BA+-BC,

22

之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到Bb=Bk+At,之后将其合并，得

一3-1一一3-1一

到BE=-BA+-AC,下一步应用相反向量，求得EB=-AB--AC,从而求得结果.

4444

详解：根据向量的运算法则，可得

4

--「-1--「「-3-「

BE=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC)=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222224444

-3--

所以EB=-AB--AC,故选A.

44

点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向

量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要

认真对待每一步运算.

7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对

应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径

匕口

A.2#7B.2小

C.3D.2

【答案】B

【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M

在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩

形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.

详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，

可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长

方形的对角线的端点处，

所以所求的最短路径的长度为""7m=2而，故选B.

点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，

需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就

是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.

2

8.设抛物线C：/=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为-的直线与C交于〃N两点,

3

则F欣-FN=

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

5

【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相

交，联立方程组，消元化简，求得两点M(1,2),N(4,4),再利用所给的抛物线的方程，写出其

焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得：?立=(0,2),木=(3,4),最后应用向量数量积坐标公

式求得结果.

22

详解：根据题意，过点(-2,0)且斜率为g的直线方程为y=-(x+2),

(=2

与抛物线方程联立y=§(x+2)，消元整理得：y2_6y+8=0,

Iy2=4x

解得M(1⑵,N(4,4),又F(l,0),

所以F立=(0,2)向=(3,4),

从而可以求得Fid-曲=0/3+2x4=8,故选D.

点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的

过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确

定出M(1,2),N(4,4),之后借助于抛物线的方程求得F(l,0),最后一步应用向量坐标公式求得向

量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达

定理得到结果.

9.已知函数f(x)=(e，xW0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则a的取值

(Inx,x>0,"

范围是

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+8)

【答案】C

【解析】分析：首先根据g(x)存在2个零点，得到方程及*)+*+2=0有两个解，将其转

化为f(x)=-x-a有两个解，即直线y=-x-a与曲线y=f(x)有两个交点，根据题中所给的函数解

析式，画出函数f(x)的图像(将e'x,。)去掉)，再画出直线y=-x,并将其上下移动，从图中

可以发现，当-aSl时，满足y=-x-a与曲线y=f(x)有两个交点，从而求得结果.

详解：画出函数f(x)的图像，y=e*在y轴右侧的去掉，

再画出直线y=-x,之后上下移动，

可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，

即方程f(x)=-x-a有两个解，

也就是函数g(x)有两个零点，

6

此时满足-aS1,即a^T,故选C.

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，

解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条

曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思

想，求得相应的结果.

10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个

半圆的直径分别为直角三角形/8C的斜边8a直角边AC.△48C的三边所围成的

区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为III.在整个图形中随机取一点，此点取

自I,II,III的概率分别记为口，.，P3,则

A.pFpiB.P\:fk

C.D.P\Pi

【答案】A

详解：设AC=b,AB=c,BC=a,»J<b2+c2=a2,

从而可以求得AABC的面积为Si=-be,

12

黑色部分的面积为52=兀•(-)2+n-(-)2-[TC,(~)2_-bc]=jt(—+-——)+-be

c2+b2-a211

=7C-----------1--be=-be,

422

其余部分的面积为S3=兀•(|)2-lbc=(；bc,所以有Si=S?，

根据面积型几何概型的概率公式，可以得到Pi=P2，故选A.

7

点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积

型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图

形的面积公式求得结果.

2

2

11.已知双曲线C:—V=1,。为坐标原点，尸为C的右焦点，过尸的直线与C的两条

3

渐近线的交点分别为K〃若为直角三角形，贝H掰V|=

3，-

A.-B.3C.2布D.4

【答案】B

【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而

得到z_FON=30°,根据直角三角形的条件，可以确定直线MN的倾斜角为60°或120°，根据相

关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60°,利用点斜式

写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得M(3,回,利用两点间距离

同时求得|MN|的值.

详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为土L,且右焦点为F(2,0),

3

从而得到乙FON=30°，所以直线MN的倾斜角为60°或120°，

根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°,

可以得出直线MN的方程为y=g<x-2),

分别与两条渐近线丫=—x^y=-工-x联立,

求得M(3,技

所以|MN|=}-：)2+(g+g)2=3,故选B.

点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距

离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线

的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线MN的斜率，结合过右焦

点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间

距离公式求得结果.

12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面。所成的角相等，则。截此正方体

所得截面面积的最大值为

8

A.B.C.D.

4342

【答案】A

【解析】分析：首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成

角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方

体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.

详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，

所以在正方体ABCD-AiBigDi中，

平面ABQi与线AAi，AiBi，AQi所成的角是相等的，

所以平面ABQi与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，

同理平面CiBD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，

要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面ABQi与CiBD中间的，

且过棱的中点的正六边形，且边长为上，

2

所以其面积为S=6x：•（，）2=号"，故选A.

点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先

确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的

正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

/X—2y—2<0

13.若x,y满足约束条件k-y+120，则z=3x+2y的最大值为______________.

（y<0

【答案】6

【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截

3131

=--x+-z,之后在图中画出直线y=-于，在上下移动的过程中，结合,的几何意义，可

31

以发现直线y=-子+,过8点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解

析式，求得最大值.

详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：

9

3

画出直线丫=-y，将其上下移动，

z

结合-的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，

2

由1x-2y、=0,解得B(2,0),

(y=u

此时2inax=3x2+0=6,故答案为6.

点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对

应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断Z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，

判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的

形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.

14.记Sn为数列｛aj的前n项和，^Sn=2an+1,则$6=.

【答案】-63

【解析】分析：首先根据题中所给的Sn=2%+1,类比着写出Sn+I=2an+1+1,两式相减，

整理得到%+1=2%,从而确定出数列｛5｝为等比数列，再令n=l,结合a^Si的关系，求得

电=-1,之后应用等比数列的求和公式求得$6的值.

详解：<<Sn=2an+1,可得511+1=2211+1+1,

两式相减得%+1=2an+1-2an,即/+1=2an,

当n=l时，Sj=aj=2aj+1,解得a]=-l,

所以数列｛%｝是以-1为首项，以2为公布的等比数列，

所以%=工二〉=-63,故答案是-63.

61-2

点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比

着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数

10

列，之后令n=l,求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既

有项又有和的式子的变形方向即可得结果.

15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的

选法共有种.(用数字填写答案)

【答案】16

【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中

任选3人总共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果.

详解：根据题意，没有女生入选有C：=4种选法，

从6名学生中任意选3人有C：=20种选法，

故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20-4=16种，故答案是16.

点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多至少问题时多采用间接法，总体

方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以

用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.

16.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是.

【答案】-油

2

【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得f(x)=4(cosx+IXCOSX-Q),从而确定出函数

的单调区间，减区间为［2k7t-丁2k兀一］(k€Z),增区间为［2k?L?2E+J(k€Z),确定出函数的

最小值点，从而求得sinx=sin2x=代入求得函数的最小值.

2'2

1

详解：f(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2=4(cosx+l)(cosx-),

所以当cosxv-时函数单调减，当cosx>-时函数单调增，

22

57r7i

从而得到函数的减区间为［2匕1-］,2k无-J(keZ),

7T%

函数的增区间为［2k?L］2H+-］(keZ),

71

所以当x=2kTT--,kEZ时，函数f(x)取得最小值，

3

,J3由

此时sinx=---,sin2x=---，

22

所以f(X)min=2*故答案是一

11

点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关

的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间

和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最

小值.

17.在平面四边形ABCD中，ZADC=9O°,ZA=45°,AB=2,BD=5.

(1)求cosZADB;

(2)若DC=2也，求BC.

【答案】⑴J

5

(2)BC=5.

RDAB

【解析】分析：(1)根据正弦定理可以得到-----=--------,根据题设条件，求得

sinZ.AsinZ.ADB

sin/-ADB=一，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得cos4ADB=

5

也

(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得cos4BDC=sin^ADB=—,之后在△BCD中,

5

用余弦定理得到BC所满足的关系，从而求得结果.

详解：(1)在aABD中，由正弦定理得--------------.

sinZ-AsinZ.ADB

52

由题设知，-----=--------,所以sinNADB=上b.

sin450sinZ.ADB5

由题设知，ZADB<90°,所以cosNADB=

(2)由题设及(1)知，cos/BDC=sinNADB=上.

5

在ABCD中，由余弦定理得

BC2=BD2+DC2-2-BD-DC-cosZBDC

I-啦

=25+8-2x5x2J2x]

=25.

所以BC=5.

点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系

式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正

负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.

18.如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，

使点C到达点P的位置，且PF_LBF.

12

(1)证明：平面PEF-L平面ABFD;

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

⑵

4

【解析】分析：(1)首先从题的条件中确定相应的垂直关系，贾BFLPF,BF1EF,又因为

PFHEF=F,利用线面垂直的判定定理可以得出8尸_L平面阳又BFu平面A67N,利用面

面垂直的判定定理证得平面阳」平面ABFD.

⑵结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面4身2的法

3

向量，设分与平面力附9所成角为0,利用线面角的定义，可以求得HPDP4B

sinQ=|----3—|=~F=—

|HP|­|DP|小4

得到结果.

详解：(1)由已知可得，BFLPF,BFLEF,又PFI"IEF=F,所以8/」平面际

又BFu平面ABFD,所以平面PEFL中面ABFD.

(2)作PHIEF,垂足为//由(1)得，PHL平面ABFD.

以〃为坐标原点，山的方向为"轴正方向，|威|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系

H-xyz.

由(1)可得，DELPE.叉DP=2,DB=1,所以唱。又户片1,E0,奴PE1PF.

七2而3

可得PH=JEH=

22

n,陋3-

为平面4BFD的法向量.

则11(0,0,0*(0,0,万加(-1,-2；O),DP=(1,HP=

3

设73与平面/瓯所成角为0,则HP-DPJ_=坦.

sin9=|------

|HP|-|DP|有4

13

所以。户与平面/4S&7所成角的正弦值为二.

4

点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的

正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这

里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；

对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可.

2

19.设椭圆c•土+y2=1的右焦点为F,过F的直线1与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).

2

(1)当1与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：ZOMA=ZOMB.

【答案】(1)4/的方程为y=-1+4或丫=Cx-啦.

(2)证明见解析.

【解析】分析：(1)首先根据1与x轴垂直，且过点F(l,0),求得直线/的方程为产1,代入椭

圆方程求得点/的坐标为(1,，)或(1，一f),利用两点式求得直线AM的方程；

⑵分直线/与x轴重合、/与x轴垂直、/与x轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况

比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结

果.

详解：(1)由已知得F(l,0),/的方程为『1.

由已知可得，点4的坐标为(1,与或

行也

所以47的方程为丫=-—x+垓或y=—x-A/5-

(2)当/与x轴重合时，ZOMA=ZOMB=0°.

当/与x轴垂直时，。的为48的垂直平分线，所以43MA=4DMB.

当/与x轴不重合也不垂直时，设/的方程为y=k(x-0),AIXpyl'B&y》

Yiy2

贝以1＜屈X2〈W，直线胡，肥的斜率之和为+-------------1--------------,

X]-2x2-2

由y1=Icq-k,y2=kx2-k得

2kxix?-3k(X1+x2)+4k

k+k=----------------------

KK、

MAMB(ZX1-2)(X2-C2),

2

将y=k(x-1)代入土+丫2=i得

2

14

(2k2+l)x2-4k2x+2k2-2=0-

2k2-2

所以，

+x2=2k2+1'X2k2+1

4k3-4k-12k3+81?+4k

贝12kxix?-3k(X]+x2)+4k==0.

2k2+1

从而kj^+k1MB=0,故MA,雨的倾斜角互补，所以NOMA=NOMB.

综上，ZOMA=ZOMB.

点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与

椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的

时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需

要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定

理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到南是相等的结论.

20.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,

如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据

检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为

p(O<p<l),且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点P0.

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的Po作为p的

值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不

合格品支付25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,

求EX;

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作

检验？

【答案】】⑴Po=O.L

⑵⑴490.

(ii)应该对余下的产品作检验.

【解析】分析：(1)利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得f(p)-p)%之后

对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注

15

意Ovpvl的条件；

⑵先根据第一问的条件，确定出p=0.1,在解(i)的时候，先求件数对应的期望，之后应

用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解(ii)的时候，就通过比较两个期望的大小，

得到结果.

详解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C4p2(l-p)i8因此

f(P)=C就2P(1-p)18-18p2(l-p)17]=2c盍)(1-p)17(l-10p).

令f'(p)=O,得p=0」.当pC(OOl)时，f(p)>0；当p6(0.1,l)时，f'(p)<0.

所以f(p)的最大值点为Po=0」.

(2)由(1)知，p=0.1.

(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y~B(180,0.1),

X=20x2+25Y,即X=40+25Y.

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.

点睛：该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成

功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在

做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结

果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.

21.已知函数f(x)=—x+alnx.

x

(1)讨论f(x)的单调性；

f(Xj)-f(x2)

(2)若f(x)存在两个极值点XpX2，证明：-------」<a-2.

Xi

【答案】(1)当aS2时，f(x)在(0,+8)单调递减.，

当a>2时，f(x)在(°：一手")：++⑸单调递减,在；-a+手彳单调递增.

(2)证明见解析.

【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对a进行分类讨论，从而

确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；

(2)根据f(x)存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定a>2,令f(x)=O,得到两个极值

16

点XpX2是方程x2.ax+1=0的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得

结果.

,1ax2-ax-_1__]1

详解：(1)f(x)的定义域为(0,+oo),f(x)=---1+-=----------.

X2X丫X2

⑴若aS2,则f'(x)W。，当且仅当a=2,x=1f(x)=0,所以f(x)在(0,+oo)单调递减.

(ii)若a>2,令f'(x)=0得，x=a-户或*=2+户.

22

22

也a-Ja-4a+Ja-4n,,

当xe(0,—[——)U(—1——,+8)时，f(x)<0；

当xeE一斤a+春)时,《伏)〉。.所以及刈在@匚｛三),(上耳Z,+8)单调递减，在

(匚庄Z,二庄Z)单调递增.

(2)由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.

由于f(x)的两个极值点XpX2满足x?-ax+l=0,所以X]X2=1,不妨设X1〈X2，则X2>1.由于

f(X])_4xj]InX]-lnx2Inx】-In^-21nx2

---------=------1+a---------=-2+a---------=-2+a------

X】-x2x/2Xj-x2X1-x21,

所以f（Xi）-f（xJva_2等价于L-X2+21nx,<0.

x

Xi-X22

设函数g(x)=--x+21nx,由(1)知，g(x)在(0,+8)单调递减，又g(l)=0,从而当x6(1,+8)

x

时，g(x)<0.

1f(x»-f(x。

VX--x2+21nx2<0,即---------<a-2.

X

2X］-X2

点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调

性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符

号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参

数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构

造新函数来解决问题的思路要明确.

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］

17

在直角坐标系xOy中，曲线g的方程为y=k冈+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建

立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为p2+2pcos0-3=0-

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若Ci与。2有且仅有三个公共点，求Ci的方程.

【答案】(1)(x+l)2+y2=4.

(2)综上，所求C1的方程为y=-：x|+2.

【解析】分析：(1)就根据x=pcosO,y=psinO以及p?=x?+y2,将方程p?+2pcos0-3=0中的

相关的量代换，求得直角坐标方程；

⑵结合方程的形式，可以断定曲线。2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆，C］是过点BQ2)且关

于y轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直

线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.

详解：(1)由x=pcos。，y=psin9得。2的直角坐标方程为

(x+l)2+y2=4-

(2)由(1)知。2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.

由题设知，J是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为％y轴左边的射

线为b由于B在圆的外面，故Ci与。2有且仅有三个公共点等价于L与02只有一个公共点且

㊀与。2有两个公共点，或U与。2只有一个公共点且L与。2有两个公共点.

,|-k+2|4

当L与。2只有一个公共点时，A到L所在直线的距离为2,所以厂厂==2,故卜=--或k=0.

Jk+13

4

经检验，当k=o时，L与。2没有公共点；当卜=--时，L与。2只有一个公共点，与02有两个

3

公共点.

,|k+2|4

当与。2只有一个公共点时，A到1,所在直线的距离为2,所以厂;一==2,故卜=0或卜=-.

Vk2+13

4

经检验，当k=0时，L与没有公共点；当卜=，时，与没有公共点.

、八、4

综上，所求C］的方程为丫=-,冈+2.

点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向

平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极

坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与

18

圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.

23.[选修4-5:不等式选讲]

已知f(x)=|x+l|-|ax-l|.

(1)当a=l时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若xE(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.

【答案】(1){x|x>

(2)(0,2].

【解析】分析：⑴将a=l代入函数解析式，求得f(x)=|x+l|-|x-l|,利用零点分段将解析

(~2,x<-1,

式化为f(x)=2x,-l〈xvl,,然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式f(x)>l的解集为

I2,x>l.

1

{x|x>-)；

⑵根据题中所给的xE(0,1),其中一个绝对值符号可以去掉，不等式f(x)>x可以化为x€(0,1)

时|ax-1|<1,分情况讨论即可求得结果.

(~2,x<-1,

详解：(1)当a=l时,f(x)=|x+l|-|x-l|,即f(x)=2x,-1<x<l,

I2,x>l.

故不等式f(x)>1的解集为{x[x>]}.

(2)当x€(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x€(0,1)时|ax-1|v1成立.

若agO,则当x€(0,1)时|ax-1|21;

、22

若a>0,|ax-1|v1的解集为0<xv-，所以-21,故0<aS2.

aa

综上，a的取值范围为(0,2].

19

2017全国卷1理科数学试题解析

1.已知集合尔{x|K1},B=[x]3r<1},则

A.AnB={%|x<0}B.A|J3=R

C.AUB={x|x>l}D.AC\B=0

【答案】A

【解析】试题分析：由3*<1可得3*<3°,则x<0,即5={x|x<0},所以

AQS={x|x<1}0{%|x<0}

={x|x<0},AIJ5={x|%<1}U{%l%<0}={%l无<1},故选A.

【考点】集合的运算，指数运算性质

【拓展】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图

进行处理.

2.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色

部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率

是

20

【答案】B

【解析】试题分析：设正方形边长为。，则圆的半径为3,正方形的面积为圆的面

2

积为——.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由

4

171a之

几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是2,4=,选民

a28

秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，

由图可知其概率2满足;<p<；,故选B.

【考点】几何概型

【拓展】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、

面积、体积或时间)，其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后

计算P(A).

3.设有下面四个命题

Pi：若复数z满足一eR,则zeR;

z

p2：若复数z满足z?eR,则zeR;

：2z/2ez=Z2；

p3若复数々/满足R,则

P4：若复数zeR,则5eR.

其中的真命题为

A.Pi，P3B.p„p4C.p2,p3D.p2,p4

【答案】B

【考点】复数的运算与性质

【拓展】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共朝复数，化简成z=a+bi(a,beR)

的形式进行判断，共轲复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.

4.记S”为等差数列｛&“｝