第五章一元函数的导数及其应用-（专题详解）-2022-2023学年高二数学考点知识详解模拟测试（人教A版2019选择性）（原卷版）2

第五章一元函数的导数及其应用专题详解一．导数的定义：2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：；②求平均变化率：；③取极限得导数：二．导数的几何意义：函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。题型三．用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：（2）曲线过点处切线：先设切点，切点为,则斜率k=，切点在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。题型一：平均变化率例1：（2021·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））质点运动规律，则在时间中，质点的平均速度等于A． B． C． D．题型二：瞬时变化率与导数的概念例2：（2022·贵州黔东南·一模（理））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（

）A．5米/秒 B．8米/秒C．14米/秒 D．16米/秒题型三：求曲线切线的斜率（倾斜角）例3：（2014·全国·高考真题（理））曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（

）.A． B． C．2 D．1题型四：在点处的切线例4：（2020·全国·高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．题型五：过点处的切线例5：（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．题型六：已知切线斜率（倾斜角）求参数例6：（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数在点处的切线方程为，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5题型七：两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题例7：（2016·全国·高考真题（理））若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．题型八：已知某点处的导数求参数或自变量例8：（2021·海南·三模）已知点为曲线上的一个动点，则的最小值为______．三．导数的运算（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①；②；；③；④⑤⑥；⑦；⑧法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2：(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)法则3：(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数的导数求法：①换元，令，则②分别求导再相乘③回代题型一：基本初等函数的导数例1：（2022·北京·人大附中模拟考试）已知函数，则（

）A． B． C． D．2.（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二期中）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．题型二：导数的加减运算例2：（2011·江西·高考真题（理））若,则的解集为A．(0,) B．(1,0)(2,)C．(2,) D．(1,0)2.（2022·贵州遵义·三模（文））已知函数，为的导函数，则_________．3.（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数，则函数___________.题型三：导数的乘除运算例3：1.（2018·天津·高考真题（文））已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．2.（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））函数的图象在处切线的倾斜角为______．题型四：简单复合函数的导数例4：1.（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））若函数过点，其导函数的部分图象如图所示，则（

）A．0 B． C． D．题型六：求某点处的导数值例6：（2022·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．1四．函数的单调性和导数函数的单调性：设函数在某个区间内可导，（1）该区间内为增函数；（2）该区间内为减函数；注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。（3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；（4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；1、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：步骤：（1）求导数(2)判断导函数在区间上的符号(3)下结论①该区间内为增函数；②该区间内为减函数；2、利用导数求单调区间求函数单调区间的步骤为：（1）分析的定义域；（2）求导数（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间3、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。题型一：利用导数判断或证明函数的单调性例1：（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（

）A． B．C． D．题型二：利用导数求函数的单调区间例2：（2021·全国·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；题型三：由函数的单调区间求参数例3：（2014·全国·高考真题（文））若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是A． B． C． D．2.（2014·全国·高考真题（理））若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是_______.题型四：由函数的单调性求参数例4：1.（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．2.（2019·北京·高考真题（理））设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．题型五：函数与导数图像之间的关系例5：（2017·浙江·高考真题）函数的图象如图所示，则函数的图象可能是A．B．C．D．题型六：含参分类讨论函数单调区间例6：（2021·全国·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；五．函数的极值与其导数的关系①极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。②可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。③求极值的步骤：第一步：求导数；第二步：求方程的所有实根；第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，若的符号由正变负，则是极大值；若的符号由负变正，则是极小值；若的符号不变，则不是极值，不是极值点。题型一：函数极值的辨析例1：（2012·重庆·高考真题（理））设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值题型二：函数极值点的辨析例2：1.（2012·陕西·高考真题（文））设函数f（x）=+lnx，则（）A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点C．x=2为f(x)的极大值点 D．x=2为f(x)的极小值点2．（多选）（2022·重庆八中模拟预测）设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（

）A．是的最小值点B．是的极大值点C．是的极大值点D．是的极大值点题型三：求已知函数的极值例3：（多选）（2022·全国·高考真题）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线题型四：由极值求参数例4：（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））若函数在处有极值10，则（

）A．6 B． C．或15 D．6或题型5：由极值点求参数例5：（2022·全国·高考真题（理））已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．题型六：函数（导函数）的图像与极值的关系例6：（2022·陕西·西安中学一模（文））已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（

）A． B． C． D．题型七：函数（导函数）的图像与极值点的关系例7：1.（2022·天津·模拟预测）已知函数的图象如图所示，则等于（

）A． B． C． D．2．（2021·北京·高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．题型八：求已知函数的极值点例8：（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知函数……自然对数底数）.(1)当时，求函数f（x）的单调区间；(2)当时，（i）证明：存在唯一的极值点：六：函数的最值与导数①最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）②如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。③求可导函数在闭区间上的最值方法：第一步；求在区间内的极值；第二步：比较的极值与、的大小：第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a)、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a)、f(b)中最小的一个。2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。注意：当x=x0时，函数有极值f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。题型一：函数最值与极值的关系例1：（2022·安徽省太和中学模拟预测（文））设函数，则（

）A．有极大值，且有最大值B．有极小值，但无最小值C．若方程恰有一个实根，则D．若方程恰有三个实根，则题型二：由导数求函数的最值例2：1.（2022·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．2.（2021·江西·二模（文））已知函数，则在上的最大值是__________．题型三：由导数求函数的含参最值例3：（2022·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．1题型四：已知函数最值求参数例4：1.（2022·河北·模拟预测）已知，函数在上的最小值为1，则__________．2.（2014·安徽·高考真题（文））设函数，其中（1）讨论在其定义域上的单调性；（2）当时，求取得最大值和最小值时的的值.题型5：综合应用例5：（2022·全国·高考真题（文））已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．七：同构函数同构式：在成立或恒成立命题中，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度。找到这个函数模型的方法，我们称为同构法。具有相同结构的两个代数式称为同构式。例如：若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法。第一类：常见类型同构函数构造函数xf(x)，eq\f(fx,x)：当条件中含“＋”时优先考虑xf(x)；当条件中含“－”时优先考虑eq\f(fx,x).(2)构造函数eq\f(fx,xn)：条件中含“xf′(x)－nf(x)”的形式；构造函数xf(nx)：条件中含“nxf′(nx)＋f(nx)”的形式.(3)构造函数eq\f(fx,ex)：条件中含“f′(x)－f(x)”的形式.(4)构造函数eq\f(fx,sinx)：条件中含“f′(x)sinx－f(x)cosx”的形式.例1：1.（2015·福建·高考真题（理））若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（）A． B．C． D．2．（2011·辽宁·高考真题（文））函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（

）A． B． C． D．3．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（

）A． B．C． D．4.（2018·浙江·高考真题）已知成等比数列，且．若，则A． B． C． D．5.已知函数满足：，那么系列不等式成立的是（）A.B.C.D.二、指对数同构①②来进行研究③④⑤指对互化关系同构转化关系：已知含有则可同构转化如下(同左边),则构造函数(同右边),则构造函数(取对数),则构造函数例2：1.设实数λ＞0，若对任意的x∈（e2，+∞），关于x的不等式λeλx﹣lnx≥0恒成立，则λ的最小值为：．2.不等式的解集为：．3.已知对任意给定的的取值范围为：．4.已知方程的取值范围是：．5.（2022·全国·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．6．（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（

）A． B． C． D．八：函数的零点、隐零点问题函数零点个数问题用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数．利用函数的极值(最值)判断函数零点个数，主要是借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负、函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者利用零点个数求参数范围．题型一：利用最值(极值)、单调性判断零点个数例1：（2019·全国·高考真题（理））已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．题型二、数形结合法研究零点问题例2：（2022·全国·高考真题（理））已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．题型三、分类讨论参数确定零点个数的情况例3:（2022·浙江绍兴·模拟预测）设a为实数，函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)判断函数零点的个数．题型四、已知零点的个数求参数的范围例4．（2020·全国·高考真题（文））已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，