马鞍山市第七中学2024-2025学年上学期九年级第一次阶段性学情监测（数学）试题

-2025学年度第一学期第一次阶段性学情监测九年级数学学科一、选择题（本题10小题，每小题4分，共40分）1.下列二次函数图象经过原点的是（）A. B. C. D.2.若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（）A. B. C. D.3.如果，那么等于（）A. B. C. D.4.将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A B. C. D.5.抛物线，当时，取值范围是（）A. B. C. D.6.对于反比例函数，当时，的取值范围是（）A. B. C.或 D.7.四边形的两条对角线相交于点，下列条件中，不一定能推得与相似的是（）A. B.C. D.8.已知点，，都在函数上，则（）A. B.C. D.9.如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是4，则的值（）A. B.7 C. D.10.已知等边三角形，为边上的点，，，分别是边，上点，垂直平分交于，则（）A. B. C. D.二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）11.与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反抛物线的解析式是______．12.已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为______．13.如图，点为的边上一点，且，点为的中点，交于点，则等于______．14.已知平面内一动点，点在抛物线上，（1）若抛物线与轴只有一个公共点，则______；（2）若无论为何值，总有，则的取值范围是______．三、解答题（本题共4题，每题各8分）15.（1）已知线段，，，，，若是，的比例中项，求的值．（2）已知：，且，求的值．16.已知抛物线过，，；（1）求抛物线的解析式；（2）关于的一元二次方程的解为______．17.如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证：（1）；（2）．18.已知二次函数．（1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点；（2）若该函数图象对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标．四、（本题共2题，每题各10分）19.如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；（2）求的面积；（3）根据图象直接写出关于的不等式的解集．20.某水果店购入一批进价为10元/千克的水果进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过30元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，如下表．销售单价202224销售量322824（1）求与的函数表达式．（2）当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？（3）若为了尽快销售完这批水果，水果店决定降价销售，每千克降价元，该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加，求的取值范围．五、（本题共2题，每题各12分）21.已知二次函数，和的取值如下表所示：0245（1）若，求二次函数的表达式，（2）用含的代数式表示，（3）若，求的取值范围．22.如图，直角中，，于点，平分交于点，交于点，交于．（1）求证：；（2）已知，①求的值；②若，求的长．六、（本题共14分）23.如图1，抛物线与轴交于点和点（点位于点左侧），与轴交于点．（1）求点的坐标；（2）连接，点位于线段上方且是该抛物线上的一点．连接与交于点，如图2，连接，，分别设，的面积为，．①若，求点的横坐标；②如图3，过点作交于点，连接，分别设，的面积为，，判断是否存在最大值．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

2024-2025学年度第一学期第一次阶段性学情监测九年级数学学科一、选择题（本题10小题，每小题4分，共40分）1.下列二次函数图象经过原点的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，将x=0分别代入二次函数解析式，然后看所得出的函数值是否为零即可得出正确答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】、将代入可得，故不经过原点，不符合题意；、将代入可得，故经过原点，符合题意；、将代入可得，故不经过原点，不符合题意；、将代入可得，故不经过原点，不符合题意；故选：．2.若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由题意可得，即得，据此逐项判断即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，∴，、∵，∴该图象不经过点，该选项不合题意；∵，∴该图象不经过点，该选项不合题意；∵，∴该图象经过点，该选项符合题意；∵，∴该图象不经过点，该选项不合题意；故选：．3.如果，那么等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查比例的性质，利用等式的基本性质，进行求解即可．【详解】解：∵，∴；故选D．4.将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为，故答案选：A．5.抛物线，当时，的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：∵，∴当时，有最小值为2，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，∵，∴当时，；当时，，∴当时，有最大值为6，∴的取值范围是，故选：C．6.对于反比例函数，当时，的取值范围是（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．先求出时y的值，再根据反比例函数的性质即可得出结论．【详解】当时，，反比例函数中，，此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，，当时，；当时，，综上所述：y的取值范围是或，故选：C．7.四边形的两条对角线相交于点，下列条件中，不一定能推得与相似的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可．【详解】解：A.∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，故选项A不符合题意；B.∵，，∴，故选项B不符合题意；C.∵，，∴，故选项C不符合题意；D.条件，，无法证明，故选项D符合题意．故选：D．8.已知点，，都在函数上，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数的基本性质，能够熟练掌握二次函数基本性质是解题关键．先判断出二次函数的开口和对称轴，再通过比较三点到对称轴的距离即可得到答案．【详解】解：的对称轴为x=1，函数图像开口向上，∴离对称轴越远函数值越大∵∴故选：A

．9.如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是4，则的值（）A. B.7 C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象，连接，设AB与轴交点为，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出的值，再结合函数图象即可得到答案，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：如图，连接，设AB与轴交点为，∵轴，∴轴，，∵点在双曲线上，点在双曲线上，∴，，∴，解得，∵双曲线分布在二、四象限，∴，∴，故选：．10.已知等边三角形，为边上的点，，，分别是边，上点，垂直平分交于，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，由垂直平分线可得，，，即可证明，得到，再设，则，，，，得到，求出，即可得到．【详解】解：∵垂直平分，∴，，∴，，∵等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴设，则，，∴，，∴，由可得，代入可得，解得，∴，故选：D．二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）11.与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是______．【答案】【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标为，决定开口方向和大小是解题的关键．利用对于二次函数，顶点相同即不变，形状也相同即不变，而开口方向相反即二次项系数符号变为相反，即可解决．【详解】解：与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式，即只有二次项系数相反，则其解析式为，故答案为：．12.已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为______．【答案】【解析】【详解】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围．【点睛】解：∵反比例函数的图象上两点，，当时，，∴，解得，故答案为：．13.如图，点为的边上一点，且，点为的中点，交于点，则等于______．【答案】【解析】【分析】延长，交于点H，易证，根据已知条件和相似三角形性质可得，再证得，根据相似三角形的性质即可解答【详解】解：延长，交于点H，∵点为的中点，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，即，∴．∵，∴，，故答案为：．14.已知平面内一动点，点在抛物线上，（1）若抛物线与轴只有一个公共点，则______；（2）若无论为何值，总有，则的取值范围是______．【答案】①.②.【解析】【分析】本题考查了二次函数与x的交点等问题，解题的关键是：（1）由已知条件可得出抛物线顶点纵坐标为0，然后根据顶点坐标公式求解即可；（2）先判断出点P在直线上，联立方程组，化简得，结合已知可得，解之即可．【详解】解：（1）∵抛物线与轴只有一个公共点，∴，∴，故答案为：；（2）∵，∴令①，②，②①得，，∴，∴点P在直线上，联立方程组，化简，得，∵点在抛物线上，无论为何值，总有，∴，解得，故答案为：．三、解答题（本题共4题，每题各8分）15.（1）已知线段，，，，，若是，的比例中项，求的值．（2）已知：，且，求的值．【答案】（1）；（2）9【解析】【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键．（1）根据比例中项的概念，得，再利用比例的基本性质计算求解．（2）设，然后用表示出，，，代入中求出，即可得求解．【详解】（1）解：是，的比例中项，．，，解得．（2）解：设，，，．，，解得，．16.已知抛物线过，，；（1）求抛物线的解析式；（2）关于的一元二次方程的解为______．【答案】（1）（2），【解析】【分析】本题考查考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，解题的关键是：（1）把，，代入求解即可；（2）令，则，然后解方程即可【小问1详解】解：把，，代入，得，解得，∴；【小问2详解】解:令，则，解方程得，，故答案为：，17.如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证：（1）；（2）．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定．（1）证明，即可；（2）根据平行得到，再根据，即可得证．掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键．【小问1详解】证明：∵正方形，∴，又，∴，∴；【小问2详解】∵正方形，∴，∴，又，∴．18.已知二次函数．（1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点；（2）若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与x轴的交点和判别式的关系是关键．（1）证明判别式大于0，即可得出结论；（2）首先根据题意得到对称轴为直线，求出，然后得到，然后将代入求解即可．【小问1详解】解：∵∴∵∴∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点；【小问2详解】解：∵该函数图象的对称轴是直线，∴对称轴为直线∴∴∴当时，∴该函数的图象与轴的交点坐标为．四、（本题共2题，每题各10分）19.如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；（2）求的面积；（3）根据图象直接写出关于的不等式的解集．【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为（2）（3）或【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系是解题的关键．（1）点代入可求出反比例函数的解析式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，可求出一次函数的解析式，即可；（2）设直线与x轴交于点C，求出点C的坐标，再根据，即可求解；（3）直接观察函数图象，即可求解．【小问1详解】解：把点代入得：，解得：，∴反比例函数的解析式为，把点代入得：，解得：，∴点，把点，代入，得：，解得：，∴一次函数的解析式为；【小问2详解】解：如图，设直线与x轴交于点C，对于，当时，，解得：，∴，∴，∵点，，∴；【小问3详解】解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方，∴关于x的不等式的解集为或．20.某水果店购入一批进价为10元/千克的水果进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过30元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，如下表．销售单价202224销售量322824（1）求与函数表达式．（2）当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？（3）若为了尽快销售完这批水果，水果店决定降价销售，每千克降价元，该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加，求的取值范围．【答案】（1）（2）销售单价定为23元时，所获日销售利润最大，最大利润是338元（3）【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意找到关系式．（1）设，把，代入再计算即可；（2）设日销售利润为w元，结合单件利润乘以销售量等于总利润，再建立函数解析式求解即可；（3）结合单件利润乘以销售量等于总利润，得到，再根据在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加求解即可．【小问1详解】解：设，由题意得，，解得：，∴y与x的函数表达式为，答：y与x的函数表达式为；【小问2详解】解：设日销售利润为w元，由题意得，，∵销售单价不低于进价且不超过30元/千克，∴，∴当时，w有最大值338元，答：当销售单价定为23元时，所获日销售利润最大，最大利润是338元；【小问3详解】解：由题意得，∴对称轴为直线，∴当时销售利润会随着售价的增加而增加，∵销售单价不低于进价且不超过30元/千克，∴，∵该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加，∴当时销售利润会随着售价的增加而增加，解得，∵，∴．五、（本题共2题，每题各12分）21.已知二次函数，和的取值如下表所示：0245（1）若，求二次函数的表达式，（2）用含的代数式表示，（3）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）且【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据表格中数据特征可判断抛物线的对称轴为直线，顶点为，由顶点坐标公式得出，即，则可求抛物线解析式为，然后把顶点坐标代入求解即可；（3）先判断，关于直线对称，得出，则，结合已知可得出，然后把（2）中代入求解即可．【小问1详解】解：由题意得，解得，∴；【小问2详解】解：∵当时，；当时，；∴抛物线的对称轴为直线，∴抛物线的顶点为，，∴，∴，当时，；∴，∴；【小问3详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，关于直线对称，∴，∴∵，∴，∴，∴，又，∴且．22.如图，在直角中，，于点，平分交于点，交于点，交于．（1）求证：；（2）已知，①求的值；②若，求的长．【答案】（1）见解析（2）①；②3【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是：（1）证明，即可得证；（2）根据等角对等边证明，根据（1）中，可得出，即可求解；②根据勾股定理求出，结合①中结论求出，证明，根据相似三角形的性质求解即可．【小问1详解】