153互斥事件和独立事件（七大题型）（原卷版）

15．3互斥事件和独立事件【题型归纳目录】题型一：互斥事件和对立事件的判定题型二：互斥、对立事件的概率公式题型三：概率公式的综合应用题型四：事件独立性的判断题型五：相互独立事件概率的计算题型六：相互独立事件概率的综合应用题型七：方程思想在相互独立事件概率中的应用【知识点梳理】知识点一：互斥事件不能同时发生的两个事件称为互斥事件．知识点二：互斥事件的加法公式如果事件A，B互斥，那么事件发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即知识点三：对立事件如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件．事件的对立事件记为，对立事件概率公式．知识点四：相互独立事件的概念1、概念：一般地，如果事件是否发生不影响事件发生的概率，那么称A，B为相互独立事件．2、结论：A，B相互独立．知识点五：相互独立事件的性质如果事件与相互独立，那么与，与，与也都相互独立．【典型例题】题型一：互斥事件和对立事件的判定【方法技巧与总结】（1）要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．（2）考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．例1．（2023·高一课时练习）如图，随机事件A，B互斥，记分别为事件A，B的对立事件，那么（）A．A∪B是必然事件B．∪是必然事件C．与一定互斥D．与一定不互斥例2．（2023·广东梅州·高一校考期中）一只口袋中有大小一样的4只白球与4只黑球，从中一次任意摸出2只球，事件“摸出2只白球”与事件“摸出1只白球和1只黑球”是（

）A．对立事件 B．不可能事件C．互斥事件 D．以上答案都不对例3．（2023·全国·高一专题练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么对立的两个事件（

）A．至少有1名男生和全是男生 B．至少有1名男生和至少有1名女生C．恰有1名男生和恰有1名女生 D．至少有1名男生和全是女生变式1．（2023·高一单元测试）从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（

）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”变式2．（2023·广西桂林·高一校联考开学考试）从整数中任取两数，其中是对立事件的是（

）①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数.A．① B．②④ C．③ D．①③题型二：互斥、对立事件的概率公式【方法技巧与总结】只有当A，B互斥时，公式才成立；只有当A，B互为对立事件时，公式才成立．例4．（2023·安徽阜阳·高一统考开学考试）下列命题正确的是（）A．事件、满足，则、是对立事件B．互斥事件一定是对立事件C．若事件、、两两互斥，则D．若为不可能事件，则例5．（2023·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是，则他最终通过面试的概率为（

）A． B． C． D．例6．（2023·陕西汉中·高一统考期末）甲、乙两人下棋，和棋的概率为，甲获胜的概率为，则甲不输的概率为（

）A． B． C． D．变式3．（2023·全国·高一专题练习）若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．变式4．（2023·高一单元测试）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（

）A．0.2 B．0.28 C．0.52 D．0.8变式5．（2023·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（

）①②③④A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③变式6．（2023·高一校考单元测试）甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10：10平后，先多得2分者为胜方．在10：10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10：10平后，甲先发球，则甲以13：11赢下此局的概率为（

）A． B． C． D．变式7．（2023·高一课时练习）某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01．若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（

）A．0.09 B．0.96 C．0.97 D．0.98题型三：概率公式的综合应用【方法技巧与总结】复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率的加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式求解．例7．（2023·北京延庆·高一统考期末）已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求：(1)甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率；(2)甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率；(3)甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率．例8．（2023·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．(1)已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；(2)已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．例9．（2023·全国·高一专题练习）某区，，三所学校有意愿报考名校自招的人数分别为24，8，16人，受疫情因素影响，该区用分层随机抽样的方法从三所学校中抽取了6名学生，参加了该区统一举办的现场小范围自招推介说明会.(1)从这6名中随机抽取2名学生进行座谈和学情调查，求这2名学生来自不同学校的概率；(2)若考生小张根据自身实际，报考了甲乙两所名校的自招，设通过甲校自招资格审核的概率为，通过乙校自招资格审核的概率为，已知通过两所学校自招资格审核与否是相互独立的，求小张至少能通过一所学校自招资格审核的概率.变式8．（2023·全国·高一专题练习）甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是，甲、乙、丙猜对与否互不影响.(1)求该小组未能进入第二轮的概率；(2)该小组能进入第三轮的概率；(3)乙猜歌曲的次数不小于2的概率.变式9．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为．已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢．(1)求第四盘棋甲赢的概率；(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．变式10．（2023·高一单元测试）甲､乙､丙进行乒乓球比赛，比赛规则如下：赛前抽签决定先比赛的两人，另一人轮空，每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有人累计胜两场，比赛结束.经抽签，甲､乙先比赛，丙轮空.设比赛的场数为，且每场比赛双方获胜的概率都为.求：(1)(2)题型四：事件独立性的判断【方法技巧与总结】两个事件是否相互独立的判断（1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．（2）公式法：若，则事件A，B为相互独立事件．例10．（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则事件与的关系是（

）A．与互斥不对立 B．与对立C．与相互独立 D．与既互斥又独立例11．（2023·全国·高一专题练习）国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（

）A．事件与事件互斥但不对立 B．事件与事件互斥且对立C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立例12．（2023·高一单元测试）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（

）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立变式11．（2023·全国·高一专题练习）已知A，B是一次随机试验中的两个事件，若满足，则（

）A．事件A，B互斥 B．事件A.B相互独立C．事件A，B不互斥 D．事件A，B不相互独立题型五：相互独立事件概率的计算【方法技巧与总结】（1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤①首先确定各事件之间是相互独立的．②求出每个事件的概率，再求积．（2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．例13．（2023·高一课时练习）已知一个人血型为型的概率分别是．任意抽取一人，求下列事情的概率：(1)抽出人为或型血；(2)抽出人不是型血．例14．（2023·高一课时练习）某次五局三胜排球比赛中，甲队在每局获胜的概率都相等，均为，前两局乙队都获胜了，求最后乙队获胜的概率.例15．（2023·高一课时练习）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，1位车主只购买一种保险.(1)求该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.变式12．（2023·高一课时练习）甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：(1)两个人都译出密码的概率.(2)两个人都译不出密码的概率.(3)恰有1个人译出密码的概率.题型六：相互独立事件概率的综合应用【方法技巧与总结】求较复杂事件的概率的一般步骤如下（1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示．（2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式．（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．例16．（2023·高一课时练习）甲､乙进行射击比赛，两人轮流朝一个靶射击，若击中靶心得分，击中靶心以外的区域得分，两人得分之和大于或等于分即结束比赛，且规定最后射击的人获胜，假设他们每次击中靶心的概率均为且不会脱靶，经过抽签，甲先射击.（1）求甲需要射击三次的概率.（2）比赛结束时两人得分之差最大为多少？求这个最大值发生的概率.（3）求乙获胜的概率.例17．（2023·高一单元测试）计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.例18．（2023·全国·高一专题练习）如图所示为两点间的电路，在时间内不同元件发生故障的事件是相互独立的，他们发生故障的概率如下表所示:元件概率0.60.50.40.50.7(1)求在时间内，与同时发生故障的概率；(2)求在时间内，，至少一个发生故障的概率；(3)求在时间内，电路不通的概率.变式13．（2023·全国·高一专题练习）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统，简称系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．题型七：方程思想在相互独立事件概率中的应用【方法技巧与总结】对于相互独立事件中的概率问题，可先从问题的数量关系入手，根据概率的定义、公式等构造方程（组），通过解方程（组）解决问题，提升数学抽象素养．例19．（2023·高一单元测试）设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是（

）A． B． C． D．例20．（2023·高一单元测试）设两个独立事件A和B同时不发生的概率是p,A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同,则事件A发生的概率为（）A． B． C． D．例21．（2023·高一课时练习）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则_______.变式14．（2023·高一课时练习）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．变式15．（2023·江苏苏州·高一校联考期末）设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是.(1)试分别求出事件B和事件C发生的概率；(2)试求A、B、C只有一个发生的概率.【同步练习】一、单选题1．（2023·高一课时练习）下列说法正确的是（）A．互斥事件与对立事件含义相同B．互斥事件一定是对立事件C．对立事件一定是互斥事件D．对立事件可以是互斥事件，也可以不是互斥事件2．（2023·高一单元测试）袋内分别有红､白､黑球个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（

）A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；红､黑球各一个3．（2023·高一课时练习）下列各组事件中，是对立事件的是（

）A．一名射手在一次射击中，命中环数大于6与命中环数小于8B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C．掷一枚骰子，向上点数为奇数与向上点数为偶数D．某人连续投篮三次，恰有两次命中与至多命中一次4．（2023·高一课时练习）三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（

）A． B． C． D．5．（2023·高一单元测试）已知事件A与事件B是互斥事件，则（

）A． B．C． D．6．（2023·陕西渭南·高一统考期末）从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三件产品，设事件A=“三件产品全不是次品”，事件B=“三件产品全是次品”，事件C=“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中不正确的是（

）A．A与C互斥 B．B与C互斥C．A、B、C两两互斥 D．A与B对立7．（2023·高一课时练习）甲、乙两人比赛，每局甲获胜的概率为，各局的胜负之间是独立的，某天两人要进行一场三局两胜的比赛，先赢得两局者为胜，无平局．若第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率为（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·高一假期作业）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（

）A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立C．C与D互斥 D．A与C相互独立二、多选题9．（2023·高一单元测试）下列对各事件发生的概率判断正确的是（

）A．某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为B．已知集合，，集合中任取一个元素，则该元素是集合中的元素的概率为C．甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球，从每个袋子中各任取一个球，则取到同色球的概率为D．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是10．（2023·辽宁沈阳·高一东北育才双语学校校考期末）从高一某班抽三名学生(抽到男女同学的可能性相同)参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下正确的是（）A． B．事件A与事件B互斥C． D．事件A与事件C对立11．（2023·全国·高一专题练习）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“取出的两球同色”，“第一次取出的是红球”，“第二次取出的是红球”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的（

）A．A与B相互独立. B．A与D互为对立. C．B与C互斥. D．B与D相互独立；12．（2023·全国·高一期末）甲､乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（

）A．小明得6分的概率为B．小明得分低于6分的概率为C．小明得分不少于3分的概率为D．小明恰好得3分的概率为三、填空题13．（2023·高一单元测试）2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲､乙､丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙､丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为___________.14．（2023·高一单元测试）如图，元件通过电流的概率是0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是________.15．（2023·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）我省高考实行3+1+2模式.高一学生A和B两位同学都选了历史，再从化学、生物、政治及地理四科中选择两科，选择每个科目的可能性均等，且他们的选择互不影响，则他们选科至少有一科不同的概率为_________.16．（2023·全国·高一专题练习）小刘毕业找工作，他先后接到了4所公司的面试通知，若他被每一所公司录用的概率均为，则小刘被录用的概率为_____．四、解答题17．（2023·全国·高一专题练习）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识,某