专题07全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型（原卷版）

专题07全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。模型1.矩形中的十字架模型（相似模型）矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则.如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则.如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则.例1．（22·23下·湖南·九年级期中）如图，把边长为，的矩形对折，使点和重合，求折痕的长．例2．（22·23下·山东·九年级期中）如图，在矩形中，，，在上有一点，若，则和之间有什么数量关系？然后请证明．例3．（江苏20232024学年九年级上学期10月月考数学试题）【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图①，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：；【结论应用】（2）如图②，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，若，求折痕的长；【拓展运用】（3）如图③，将矩形沿折叠．使得点D落在边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形，若，求的长．

例4．（江苏20222023学年九年级10月诊断性抽测数学试题）【探究证明】：（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：；【结论应用】：（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为____________；【联系拓展】：（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=8，BC=CD=4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，则=____________．模型2.三角形的十字架模型（全等+相似模型）1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。3）直角三角形中的十字模型：如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似）例1.（2223.广东九年级期中）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，AD与BE相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中正确的结论共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2．（22·23上·莆田·阶段练习）如图，等边的边长是6，点E，F分别在边上，，连接，相交于点P．(1)求的度数；(2)若，求的值．例3．（22·23·南通·模拟预测）如图，已知是等边内的一点，且，延长，，分别交，于点D，E．若，，则的周长等于．

例4．（22·23上·衢州·期末）如图，在等边ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O．（1）求证：AD＝BE；（2）若BO＝6OE，求CD的长．（3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式．例5．（22·23上·合肥·阶段练习）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为（

）A．2 B． C． D．例6．（22·23·内江·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下三个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③若，则S△ABC=6S△BDF；其中正确的结论的序号是（）A．①②③ B．①③ C．①② D．②③例7．（2223下·武汉·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G．(1)如图（1），求证：△AGE∽△BDE；(2)如图（2），若点G恰好与顶点C重合，求证：BD＝CD；(3)如图（1），若＝，直接写出的值．例8．（22·23下·鹰潭·一模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】(1)如图①，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，，求证．【类比探究】(2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值．【拓展延伸】(3)如图③，在中，，点在边上，连接，过点作于点，的延长线交边于点若，，，求的值．课后专项训练1．（22·23上·宜宾·期中）如图，在中，，点D是的中点，连结，过点B作分别交于点E、F．与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，现给出以下几个结论：①；②；③点F是的中点；④；⑤．其中所有正确的结论是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①④⑤2．（22·23下·重庆·阶段练习）如图，在正方形中，﹐E，F分别为，的中点，连接、，交于点G，将沿翻折得到，延长交延长线于点Q，连接，则的面积是（

）A． B．25 C．20 D．153．（22·23·德州·二模）如图，正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，交AB于点F．将△AMF沿AB翻折得到△ANF．延长DM，AN交于点P．给出以下结论①；②；③；④若，则；．其中正确的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④4．（2023.江苏九年级期中）如图，在正方形中，为对角线，E为上一点，过点E作，与，分别交于点H、F，G为的中点，连接，，，．下列结论：①；②为等腰直角三角形；③：④若，则．其中正确的结论有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（江苏20222023学年九年级月考数学试题）如图，在中，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为（

）A． B． C． D．6．（22·23下·贵港·一模）如图，在等边的，边上各任取一点，，且，，相交于点，下列三个结论：①若PC=2AP，则BO=6PO；②若，，则，③，其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③7．（2023.江苏九年级期中）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为．8．（22·23·山西·模拟预测）如图，中，，，点是边的中点，过点作，垂足为，延长交于点，则的长为．9．（22·23上·深圳·期中）如图，在边长为7的等边中，D、E分别在边上，，，连接交于点P，则的长为．10．（22·23下·重庆·九年级期中）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．【问题解决】（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．【类比迁移】（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．

11．（福建20222023学年九年级上学期期中考试数学试题）（1）如图①，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，过点作，交于点，则与的数量关系是：；问题探究：（2）如图②，在矩形中，，，点，分别在边、上，点为线段上一动点，过点作的垂线分别交边、于点、点．若线段恰好平分矩形的面积，且，求的长；问题解决：（3）如图③，在正方形中，为上一点，且，、分别为、上的动点，且，若，求的最小值．12．（22·23下·武汉·阶段练习）如图1，在中，，为边上一点，．(1)求证：；(2)如图2，过点作于，交于点，若，求的值；(3)如图，为延长线上一点，连接，且，若直接写出的值（用含的代数式表示）．13．（21·22下·芜湖·一模）如图，在等边的边上各取一点E，D，使相交于点O．(1)求证：；(2)若，求的长．(3)在（2）的条件下，动点P在从点C向终点E匀速运动，点Q在上，连结，满足，记为x，的长为y，求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围．14．（22·23下·合肥·三模）已知：如图，等边中，点、分别在、边上，且，、相交于点，连接．(1)当时，的度数为______；(2)当时，①求的值；②求证：．

15．（22·23上·咸阳·期末）【问题探究】(1)如图①，在矩形中，点E为边上一点，于点F，点G为边上一点，连接，过点E作于点P，交于点H，求证：；(2)【问题解决】如图②，矩形为某开发区的一片空地，点E、F分别为边、上的点，经测量，米，米，开发商现欲在边上找一点，使得四边形的面积为67600平方米，设计人员的设计过程如下：①以点F为圆心，任意长为半径画弧，交于M、N两点；②分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长，分别交、于点H、G．请问：若按上述作法，得到的点G是否符合要求？请证明你的结论．16．（广西2023年中考模拟数学试题）如图1，在正方形中，点是边上的一个动点（点与点不重合），连接，过点作于点，交于点．（1）求证：；（2）如图2，当点运动到中点时，连接，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，分别交于点，求的值．17．（22·23下·成都市·九年级期中）已知四边形中，、分别是、边上的点，与交于点．（1）如图①，若四边形是矩形，且，求证：；（2）如图②，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，成立？并证明你的结论；（3）如图③，若，，，，请直接写出的值．

18．（22·23上·莆田·期中）已知正方形，点为边的中点．（1）如图1，点为线段上的一点，且，延长、分别与边、交于点、．①求证：；②求证：．（2）如图2，在边上取一点，满足，连接交于点，连接并延长交于点，求的值．19．（2223·赤峰·模拟预测）问题情境：如图1，在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、．则、、之间的数量关系为．问题探究：在“问题情境”的基础上．如图2，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接，并延长交边于点求的度数；如图3，当垂足在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处，若正方形的边长为，的中点为，求的最小值．问题拓展：如图4，在边长为的正方形中，点、分别为边、上的点，将正方形沿着翻折，使得的对应边恰好经过点，交于点分别过点、作，，垂足分别为、,若，请直接写出的长．20．（22·23下·山东·一模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条