江苏省高邮市、宝应县2024年中考一模数学试题含解析

江苏省高邮市、宝应县2024年中考一模数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号短写在答敏卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用板皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，ABLCD,且A8=C£）.E、F是八D上两点,CE±AD,B尸_L/U）.若CE=a,BF=h,EF=c,

则人。的长为（）

A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c

2.为了增强学生体质，学校发起评选“健步达人”活动，小明用计步器记录自己一个月（30天）每天走的步数，并绘

制成如下统计表：

步数（万步）1.01.21.11.41.3

天数335712

在每天所走的方数这组数据中，众数和中位数分别是（）

A.1.3,1.1B.1.3,1.3C.1.4,1.4D.1.3,1.4

3.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第2018

个图案中涂有匿影的小正方形个数为（）

第1个第2个第3个

A.8073B.8072C.8071D.8070

4.哥哥与弟弟的年龄和是18岁，弟弟对哥哥说；“当我的年龄是你现在年龄的时候,你就是18岁”，如果现在弟弟的

年龄是,岁，哥哥的年龄是y岁，下列方程组正确的是（）

［二—I二一二7

八•一.—二"7二-二1=二1+万

C.1-二±VD.八二："二二-

5.-6的倒数是()

A.-1B.,C.-6

6.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC，IT,则tanB，的值为

7.如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（）

3

9.点A（x“yi）sB（x»,y»）»C（xj,川）都在反比例函数广—的图象上，且xiVx2VoVxj,则「、yz、门的大小关系

x

是（）

A.yj<yi<y2B.yi<y2<yjC.yj<y2<yiD.yz<yi<yj

10.据统计，第22届冬季奥林匹克运动会的电视转播时间长达88000小时，社交网站和国际奥委会官方网站也创下冬

奥会收看率纪录.用科学记数法表示88000为（）

A.0.88x10sB.8.8x10,C.8.8x10sD.8.8x106

二、填空题（3大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,点E是线段BO上的一个动点，点F为射线DC上一点,

若NABC=60°,ZAEF=120u,AB=4,则EF可能的整数值是____.

C

12.已知在Rt4ABe中，ZC=90\BC=5,AC=12,E为线段AB的中点，D点是射线AC上的一个动点，将△ADE

沿线段DE翻折，得到A「VDE,当A，D_LAB时，则线段AD的长为.

13.如图，4"是。。的直径，BD,CO分别是过。。上点小C的切线，且N，OC=110。.连接AC,则/A的度数

是。.

14.如图，直线1经过0O的圆心O,与。。交于A、B两点，点C在。O上，ZAOC=30n,点P是直线I上的一个

动点（与圆心。不重合），直线CP与。。相交于点Q,且PQ=OQ,则满足条件的NOCP的大小为.

15.如图，0ABeD中，&C_LCD,以C为圆心，CA为半径作圆弧交BC于E,交CD的延长线于点F,以AC上一

点O为圆心OA为半径的圆与BC相切于点M,交AD于点N.若AC=9cm,OA=3cm,则图中阴影部分的面积为

2(x-2)2x-1

17.(8分)解不等式组x，并把它的解集表示在数轴上.

—<x+\

13

-5-4-3-2-10~~1~2~~3~4~~5^

2k

18.(8分)如酊，ZAOB=90\反比例函数y--(x<0)的图象过点A(-1,a),反比例函数y=-(k>0,x>

XX

0)的图象过点B,且AB〃x轴.

(1)求a和k的值；

(2)过点B作MN〃OA,交x轴于点M,交y轴于点N,交双曲线y=人于另一点3求△OBC,的面积.

x

19.(8分)如图，在△ABC中，AB=BC,CD«LAB于点D,CD=BD.BE平分NABC,点H是BC边的中点.连接

DH,交BE于点G连接CG

(1)求证：AADCWaFDB；

(2)求证：CE=-BE；

2

(3)判断△ECG的形状，并证明你的结论.

20.（8分）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、

D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.如图，正方形ABCD是一次函数v=x+l图

象的其中一个伴侣正方形.

（1）若某函数是一次函数y=x+l,求它的图象的所有伴倡正方形的边长：

j\,

（2）若某函数是反比例函数、-A<k>0）,它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D（2,m）<m<2）在反比例函数

X

图象上，求m的值及反比例函数解析式：

J八

------x

（3）若某函数是二次函数y=ax?+c（a制），它的图象的伴侣正方形为ABCD,C、D中的一个点坐标为（3,4）.写出

伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标,写出符合题意的其中一条抛物线解析式并判断你写出的抛物

线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？.（本小题只需宜接写出答案）

21.（8分）（1）问题发现：

如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AV为边作等边三角形AMN,连接CN,NC

与AB的位置关系为.

（2）深入探究：

如图②，在等腰三角形ABC中，BA=BC,点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN,使

ZABC=ZAMN,AM=MN,连接CN,试探究/ABC与NACN的数量关系，并说明理由；

（3）拓展延伸:

如图③，在正方形ADBC中，AD=AC,点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF,点N为正

方形AVEF的中点，连接CN,若RC=10,CN=立，试求EF的长.

2d①

22.（10分）解不等式组

尸3(L2A4②

请结合题意填空，完成本题的解答

（1）解不等式①，得_______.

（2）解不等式②，得.

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:

，，I---1---1---1---今

-3-2-1012r

（4）原不等定&的解集为.

23.（12分）如图，AB、CD是0O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE,求证：ZD=ZB.

24.如图，在立面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0,4）,点B在一象限，点P（t,0）

是x轴上的一个动点，连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，连接OD,PD,得

△OPD.

（1）当1=6时，求DP的长

（2）在点P运动过程中，依照条件所形成的AOPD面积为S

①当tAO时，求S与t之间的困数关系式

②当归0时，要使s=正，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.

4

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

分析：

详解：如图，

VABICDXEIAD,

.••Z1=Z2,

又•••/3=/4,

1800-Zl-Z4=180°-Z2-Z3,

即NA=NC.

VBF±AD,

.•.ZCED=ZBFD=90?,

VAB=CD,

.•.△ABF^ACDE,

.•.AF=CE=a,ED=BF=b.

又•；EF=c,

AD=a+b-c.

故选:D.

点隋：本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明AABFifiZXCDE是关犍.

2、B

【解析】

在这组数据中巴现次数最多的是1.1,得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的

平均数是中位数.

【详解】

在这组数据中已现次数最多的是1.1,即众数是1.L

要求一组数据的中位数，把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数都是1.1,所以中位数是1.1.

故选B.

【点睹】

本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一

个数字或中间两个数字的平均数即为所求.

3、A

【解析】

观察图形可知第1个、第2个、第3个图案中涂有阴影的小正方形的个数，易归纳出第〃个图案中涂有阴影的小正方

形个数为：4n+b由此求解即可.

t详解】

解：观察图形的变化可知：

第1个图案中涂有阴影的小正方形个数为：5=4x14-1；

第2个图案中涂有阴影的小正方形个数为：9=4x2+l；

第3个图案中涂有阴影的小正方形个数为：13=4x3+1；

发现规律：

第〃个图案中涂有阴影的小正方形个数为：4〃+1；

，第2018个图案中涂有阴影的小正方形个数为：4”+l=4x2018+l=l.

故选：A.

【点睛】

本题考查了图形的变化规律，根据已有图形确定其变化规律是解题的关键.

4、D

【解析】

试题解析：设现在弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，由题意得

<二=%一二

5-二=二一二•

故选D.

考点：由实际问题抽象出二元一次方程组

5、A

【解析】

解；-6的倒数是一/故选A.

6、D

【解析】

过C点作CD_LAB,垂足为D,根据旋转性质可知，NIT=NB,把求tanlT的问题，转化为在RtABCD中求tanB.

【详解】

过C点作CD«1AB,垂足为D.

根据旋转性质可知，ZB-=ZB.

CD1

在RtABCD中，tanB=-----——,

BD3

.*.tanB,=tanB=-.

3

故选D.

【点an

本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法.

7、B

【解析】

将A、B、C、D分别展开，能和原图相对应的即为正确答案：

8、C

【解析】

试题分析：已知m〃n,根据平行线的性质可得N3=N1=7O，.又因N3是△ABD的一个外角，可得N3=N2+NA.

即ZA=Z3-/2=70。-30'=40".故答案选C.

考点：平行线的性质.

9、A

【解析】

作出反比例函数y=-3的图象（如图），即可作出判断:

V-3<1,

・••反比例函数尸-:的图象在二、四象限，y随、的增大而增大，且当xVl时，）＞1,当x>l时，yVl.

•'•当X1VX2〈1VX3时，V3<yi<y2.故选A.

10、B

【解析】

试题分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为ax10,其中lS|a|V10,n为整数，表示时关键要正确

确定a的值以及n的值.在确定n的值时，君该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时，n为它的整数

位数减I：当该数小于1时，一n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的I个0）.因此，

•.•88000一共5位，.\88000=8.88xl04.故选B.

考点：科学记数法.

二、填空题（石大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、2,3,1.

【解析】

分析：根据题总得出EF的取值范围，从而得出EF的值.

详解：VAB=1,ZABC=60u,，BD=16,

当点E和点B直合时，ZFBD=90°,ZBDC=30°,则EF=1；

当点E和点O函合时，NDEF=30。，则AEFD为等腰三带形，则EF=FD=2,

，EF可能的整数值为2、3、1.

点醋：本题主要考查的就是菱形的性质以及直角三角形的勾股定理，属于中等难度的题型.解决这个问题的关键就是

找出当点E在何处时取到最大值和最小值，从而得出答案.

s13m39

12、§或了•

【解析】

①延长AT交AB于H,»AH1AB,然后根据勾股定理算出AB,推断出AADHSZSABC,即可解答此题

②同①的解题思路一样

【详解】

解t分两种情况：

①如图1所示：

设AD=x,延长A，D交AB于H,则A，H_LAB,

.•.ZAHD=Z€=90n,

由勾股定理得：AB=,80+3=6+12：=13,

VZ,\=ZA,

/.△ADH^AABC,

.DHAHADDHAHx

••—―，即Hn一.，

BCACAB51213

解得：DH=^-x,AH=当,

1J13

YE是AB的中点，

.*•AE=-AB=，

22

.1312

.'.HE=AE-AH=----------x,

213

由折叠的性质得：A'D=AD=x,A'E=AE=g,

2

1312^

.,.!>iiiZA=',iiiZA'=13-y-

AEis13

J

解得：X=?；

②如图2所示：设AD=A，D=x,

VA'DIAB,

/.ZA'HE=90%

135

同①得：A'E=AE=y,DH=—x,

58

.".A'H=A'D-DH=x——=—x,

1313

g

,,,AV/nr12

..cosZA=cosZ/\=-^7：==77，

AcIJ13

39

解得：x=—

4

1339

综上所述，AD的长为7r或丁.

34

【点睛】

此题考查了勾股定理，三角形相似，关键在于做辅助钱

13、4.

【解析】

试题分析：连结BC,因为AB是(DO的直径，所以NACB=90。，ZA+ZABC=90\又因为BD,CD分别是过(DO

上点B,C的切线，ZBDC=440J,所以CD=BD.所以NBCD=NDBC=4。.又NABD=90。，所以/A=NDBC=4。.

考点：4.圆周角定理；4.切线的性质：4.切线长定理.

14、40c

【解析】

：在AQOC中，OC=OQ,

...ZOQC=ZOCQ,

在AOPQ中，QP=QO,

NQOP=NQPO,

又TNQPO=NOCQ+NAOC,NAOC=301ZQ()l»+ZQPO+ZOQC=180J,

.•.3Z()CP=12(i>,

:.ZOCP=40

15、lln-竺叵.

4

【解析】

阴影部分的面积=扇形ECF的面积必ACD的面积必OCM的面积.扇形AOM的面积•弓形AN的面积.

【详解】

：.0M=3,0C=6,

•••z^CM=30.

:,CD=AB=3瓜

2

二扇形ECF的面积=POn-9，=27“：

360

△ACD的面积=ACxCO+2==^-

2

扇形AQM的面积=12°兀3=3兀;

360

弓形AV的面积二岩WT|x3G=3兀-咯

AOCW的面积=：*3*3百=华

阴影部分的面积=扇形ECF的面积-△AC1)的面积-AOCM的面积-扇形AOM的面积-弓形AN的面积

=(2ln-

故答案为2E-处巨.

4

【点睹】

考查不规则图形的面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键.

16、(2a+l)(2a-1)

【解析】

有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开.

【详解】

4a1-1=(2«+1)(2a-I).

故答案为：(2a+l)(2a/).

【点晴】

此题考查多项式因式分解，根据多项式的特点选择适合的分解方法是解题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、不等式组的解是史3;图见解析

【解析】

先求出每个不等式的解奥，再求出不等式组的解集即可.

【详解】

2(x-2)2x-1①

解.»­

"-<x+]®

13

•.•解不等式①，得壮3,

解不等式②，得X2-15

...不等式组的解是x>3,

在数轴上表示为：

-----1_I--11,1.[1>.

-5-4-3-2-1012345

【点瞪】

本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式蛆的解集是解此题

的关键.

18、(1)a=2,k=8(2)S.o8c=1.

【解析】

分析：(1)把▲(」，。)代入反比例函数3得到A(-1,2),过4作A/?_Lx轴于心//尸_Lx轴于兄根据相似三角形

x

的性质得到8S,2),于是得到A=4x2=&

(2)求的直线AO的解析式为尸•〃，设直线MN的解析式为尸-2x+b,得到直线MN的解析式为尸2x+10,解方程

组得到C(l,E),于是得到结论.

2

详解：(1)•・•反比例函数、=--(x<0)的图象过点A(-1,a),

2

过A作AE_Lx轴于E,BF_L_Lx轴于F,

.•.AE=2,()E=1,

•.,AB〃x轴，

.•.BF=2,

•.,ZAOB=90",

ZE/\O+ZAOE=Z.AOE+ZBOF=900,

.,.ZE/\O=ZBOF,

.,.△AEO^AOFB,

.AEOE

OFBF

.,.()F=4,

(4,2),

...k=4x2=8；

(2)•.•直线OA过A(-1,2),

...直线AO的解析式为y=-2x,

VMN/7OA,

设直线MN的解析式为y=-2y+h.

.'.2=-2x4+b,

.,.b=10,

直线MN的解析式为y=-2x+10,

•.•直线MN交x轴于点M,交y轴于点N,

AM(5,0),N(0,10),

y=-2x+l()

,v=4

8得,

>'=-y=2

.,.C(b8),

.,.△OBC的面积=SAOMN-SAOCN-SAOBM=-x5>10--xJOxl--x5x2=L

点睛：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数交点问题，相似三角形的判定和性质，求函

数的解析式，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键.

19、(1)详见解析；(2)详见解析；(3)详见解析.

r解析】

(1)首先根据AB=BC,BE平分NABC,得到BE_LAC,CE=AE,进一步得到NACD=NDBF,纭合CD=BD,即可

证明出△ADC空△FDB；

(2)由△AD(WZ\FDB得到AC=BF,结合CE=AE,即可证明出结论：

(3)由点H是BC边的中点，得到GH垂直平分BC,即GC=GB,由NDBF=NGBC=/GCB=NECF,得NECO=45。，

结合BE_LAC,即可判断出AECG的形状.

【详解】

解：(1)VAB=BC,BE平分NABC

/.RFlAC

VCD1AB

.,.ZACD=ZABE(同角的余角相等)

XVCD=BD

.,.△ADCSSAFDB

(2)VAB=BC,BE平分/ABC

.•.AE=CE

则CE=-AC

2

由（1）知iAADCieAFDB

/.AC=BF

.*.CE=-BE

2

(3)△ECG为等腰直角三角形，理由如下：

由点H是BC的中点，得GH垂直平分BC,从而有CG=BG,

WJZEGC=2ZCBG=ZABC=45%

XVBE1AC,

故4ECG为等黑直角三角形.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定,

此题难度不是很大.

万〉27

20、(1)«(2)y=-,(3)(-1,3)；(7,-3)((-4,7),(4,1),对应的抛物线分别为>=大X2+二^

3X4040

3213)55g3

y=-^'+^；y=,k+亍,偶数.

【解析】

(1)设正方形ABCD的边长为a,当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，可知3a=&,求出a,

(2)作DE、CF分别垂直于x、y轴，可知ADEg△BAOgZXCBF,列出m的等式解出m,

(3)本问的抛物线解析式不止一个，求出其中一个.

【详解】

解：(1)•.•正方形ABCD是一次函数y=x+l图象的其中一个伴侣正方形.

当点A在，轴至半轴、点H在y轴负半轴上时.

.•.AO=1,BO=1,

工正方形ABCD的边长为拉,

当点A在x轴为半轴、点B在、轴正半轴上时,

设正方形的边长为a,得3a=&,

所以伴侣正方形的边长为&或;拒；

(2)作DE、CF分别垂直于y轴，

知AADE^ABAO^ACBF,

此时，m<2»DE=OA=BF=m

OB=CF=AE=2-m

.,.()F=BF+OB=2

；.C点坐标为(2-m.2),

2m=2(2-m)

解得m=l,

反比例函数的解析式为y=工，

x

(3)根据题意画出图形，如图所示:

过C作CF_Lx轴，垂足为F,过D作DE_LCF,垂足为E,

.•.△CEDgADGB且△AOBg△AFC,

VC(3,4),即CF=4,OF=3,

，EG=3,DE=4,JftDG=DE-GE=DE-OF=4-3=1,

则D坐标为(-1,3)：

设过D与C的抛物线的解析式为：y=ax2+b,

fa+b=3

把D和C的坐标代入得:

[9a+力=4

解得

I?3

・••满足题意的抛物线的解析式为广三E+于：

88

问理可得。的坐标可以为：(7,-3)；(-4,7);(4,1),；

7”33I355

对应的抛物线分别为y+*；y=^x2+i-；)，=：/+手，

40407777

所求的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.

【点暗】

本题考查了二次函数的综合题.灵活运用相关知识是解题关键.

21、(1)NC/7AB：理由见解析1(2)ZABC=ZACNJ理由见解析；(3)2丙；

【解析】

(1)根据AABC,A.'MN为等边三角形，得到AB=AC,AM=AN且NBAC=NMA、=60。从而得到

ZBAC-ZCAM=ZMAN-ZCAM,BPZBAM=ZCAN,证明△BAMS2ZXCAN,即可得到BM=CN.

(2)根据△ABC,AAMN为等腰三角形，得到AB：BC=h1且NABC=NAMN,根据相似三角彩的性质得到

当•=4£,利用等腰三角形的性质得到NBAC=NMAW根据相似三角形的性质即可得到结论；

AMAN

(3)如图3,连接AB,AN,根据正方形的性质得到NABC=NBAC=4Sc,ZMAN=45%根据相似三角形的性质得出

要=普，得到BM=2,CM=8,再根据勾股定理即可得到答案.

CNAC

【详解】

(1)NC〃AB,理由如下：

7AARC与A\1N是等边二角形.

.•.AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMAN-=60Q,

.,.ZBAM=ZCAN,

在4ABM与AACN中，

AB=AC

<Z.BAM=/CAN,

AM=AN

.'.△ABM^AACN(SAS),

.*.ZB=ZACN=60%

,.,ZANC+ZACN+ZCAN=ZANC+600+ZCAN=180J,

.,.ZANC+ZMAN+ZBAM=ZANC+60+ZCAN=ZBA>+ZANC=18(F,

；.CN〃AB；

(2)ZABC=ZACN,理由如下:

.ABAM0,,,

'：—=——=1且NABC=NAMN,

BCMN

/.△ABC~AAMN

.AB_AC

••而一丽’

VAB=BC,

.,.ZBAC=-(180。-ZABC),

2

V/\M=MN

:.ZMAN=-(180°-NAMN),

2

VZABC=Z/\MN,

.*.ZBAC=ZMAN,

.,.ZBAM=ZCAN,

ACN,

:.ZABOZACN：

(3)如图3,连接AB,AN,

V四边形ADBC,AMEF为正方形，

.".Z/\BC=ZBAC=45:,,ZMAN=450,

ZBAC-ZMAC=ZM/\N-ZMAC

BPZBAM=ZCAN,

&必行

BCAN

AB_AC

而一丽，

△ABV〜AACN

BM_A8

~CN~~AC

CNAC

..------=------=cos45°=

BMAB2，

.V2啦

••=，*

HM2

.*.CM=BC-BM=8,

在RtAAMC,

AM=JN+MC2=V102+82=2a，

.,.EF=AM=2板.

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判

定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识：本撅综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解

决问题的关键.

22、(1)x>-l：(2)x<h(3)见解析：(4)-l<x<L

【解析】

分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集.

【详解】

解：⑴X>-15

(2)x<l；

(3)-----------------J।1••>;

-3-2-10123

(4)原不等式组的解集为一些xWl.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组：一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观

地表示不等式级的解集.解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

23、证明见解析.

【解析】

根据在同圆中等弦对的弧相等，AB、CD是。。的直径，则CFO=A£8，由FD=EB,得，FD=EB，由等量减去

等量仍是等量得：CFD-F