电大《经济数学基础》考试题库期末复习

电大《经济数学基础》期末复习题

第一部分微分学

一、单项选择题

1.函数y=)、的定义域是(D).

igU+i)

A.x>-1B.xW0C.x>0D.x>-1且RWO

2.设需求量q对价格p的函数为式p)=3-R万，则需求弹性为4=(B).

1一43-2后3-2赤

3-2，〃3-2jpJpy/p

3.下列各函数对中，（D)中的两个函数相等.

x2-l

A.f(x)=(Vx)2,g(x)=xB.f(x)=，g(x)=x+I

x-i

C.y=]nx2,g(x)=2\nxD./(x)=sin2x+cos2x,g(x)=l

4.设/⑶7则/s().

XI

A.B.----c.—+iD.----

l+xl+xl+x

5.下列函数中为奇函数的是（C

x-1

A.y=x-xB.y=er+e~xC.y=InD.y=xsinx

x+1

6.下列函数中,(）不是基本初等函数.

y=2®D.T

A.B.y=C.y=ln(x-l)

7.下列结论中，（）是正确的.

A.基本初等函数都是单调函数B.偶函数的图形关于坐标原点对称

C.奇函数的图形关于坐标原点对称D.周期函数都是有界函数

8.当xf0时,下列变量中（B)是无穷大量.

xn1+2X

A.B.-----C.y[xD.2r

0.001x

x

9.已知/*）一1,当（）时，f（x）为无穷小量.

tanx

A.xf0B.x―>1C.D.大f+oo

sinx八

----,xwO

10.函数/*)=<x在x=（）处连续，贝!1A=（C).

k,x=0

A.-2B.-1C.1D.2

1,x>0_

11.函数/*)=<在”0处(B).

-1,x<0

A.左连续B.右连续C.连续D.左右皆不连续

12.曲线）在点（0,1）处的切线斜率为（A).

dx+T

11

A.B.-c.D.

222V(x+l)3

13.曲线,y=sinx在点（0,0）处的切线方程为（A）.

A..y=xB.y=2xC.y=­xD.y=~x

2

14.若函数/(一)=X，则((幻二(B).

X

11cl

A.——B.——C.-D.

xx~xx

15.若/(X)=XCOSX,则/"*)=(D).

A.8sx+xsinxB.cosx-xsinx

C.2sinx+xcosxD.-2sinx-xoosx

16.下列函数在指定区间(-8,+<)。)上单调增加的是(B).

A.sinxB.exC.x2D.3-x

17.下列结论正确的有(A).

A.xo是/(x)的极值点，且f'(xo)存在，则必有f'(xo)=0

B.xo是/(x)的极值点，则沏必是/(x)的驻点

C.若/'(沏)=0，则沏必是/(X)的极值点

D.使r(x)不存在的点Xo，一定是/(%)的极值点

二、填空题

上-P-

1.需求■:夕对价格P的函数为式p)=100xe2,则需求弹性为耳、=2.

2.函数/(幻=ln(x+5)--的定义域是一(52).

—x

3.若函数/。+1)=工2+21一5,则〃x);.

_3

4.设函数/(〃)=〃2—1,W(x)=-,则〃〃(2))=」.

X

10'+10-v

5.设〃x)=2，则函数的图形关于y轴对称•

6.已知生产某种产品的成本函数为C(q)=80+2q,则当产量q=50时，该产品的平均成本为3.6.

7.已知某商品的需求函数为9=180-4p,其中〃为该商品的价格，则该商品的收入函数R0)=—

45a-0.25a2.

,S8X

9.已知/(X)=1一2吧，当一XT°时,/(幻为无穷小量.

X

x2-\.

10.已知/*)='x-1，若f(x)在(—2+8)内连续，则a=2.

ax=1

P

II.已知需求函数为夕=日-|〃，其中p为价格，则需求弹性或=〃—10.

12.函数〃k=---1-----的连续区间是(一8,—1),(T,2),(2,+ao).

(x+\)(x-2)

13.曲线y=4在点在1)处的切线斜率是一y‘(D=°>.

14.函数y=12+i的单调增加区间为(o,+8).

15.已知f(x)=ln2x,则"(2)Y=0.

16.函数y=3(x-l)2的驻点是x=l,

三、计算题

x2-3x4-2

lim

.r—>2X2-4

x2-3x+2..x-1

解:limhm----------

x->2X2-4

12(x-2)(x+2)12(x+2)4

Vx-1

2.lim

ix-3x+2

解：limG'x-\12

=lim=lim

I]x2-3x+2X->1(X_1)(X_2.)(y/~X+1)XTl(x-2)(V^+D2

3.已知y=cos2*-sinx?,求y'(x).

解：yr(x)=-sin2v(2v)f-cosx2(x2)r=-2Xsin2rIn2-2xcosx2

4.已知y=1/冗+©一"，求y'(x).

ai2

解：y\x)=31n2x(lnx)r+e-5x(-5x)z=^-^-5e-5x

x

5.设y=e8mx+cos5x,求dy.

解：因为y=es,nv(sinx),4-5cos4x(cosx)r=esulAcosx-5cos4xsinA

所以dy=(ednvcosx-5cos4xsinx)dx

6.设>=12111+2-。求dy

2

1Qr

解：因为y=-z—r(x3)1+2-xIn2(-x)z=-TxIn2

COS〜X'COSX

32

所以dy=(:Xa-2-rln2)(u-

COS〜X'

…COSXq\

7.己知y=2'-------,求y'(x).

x

解：y⑨二。=2，2--'incos工二2-2+心EHCOSN

XX~X'

8.已知/(x)=2，sinx+lnx,求广(x).

解：//(x)=2'In2-sinx+2Xcosx+—

x

9.已知yuSZc08',求)，’(；)；

解：因为=(52COSA)Z=52costln5(2cosx)z=-2sinx52costln5

ITTT2cos工

所以/(1)=-2siny52ln5=-21n5

10.已知y=-In」x,求dy.

2--2--22

解：因为/=-(lnx)3(lnx)f=一(Inx)3=-------j=所以dy=------j^=dr

33「3xVh^3x标

四、应用题

1.设生产某种产品x个单位时的成本函数为：C（X）=100+0.25X2+6X（万元），

求：（1）当x=10时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x为多少时，平均成本最小?

解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：

C（x）=100+0.25x2+6x

C(x)=---+0.25x+6,C\x)=0.5x+6

x

所以，CaC^nlOO+O.ZSxlO2+6x10=185

-1(V)

C(10)=—+0.25xlO+6=18.5,

10

Cz(l0)=0.5x10+6=11

inn

(2)令C。)=一号+0.25=0,得x=20(x=-20舍去)

x

因为x=20是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当x=20时，平均成本最小.

2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律

为4=1000—10〃(,为需求量，P为价格).试求：

(1)成本函数，收入函数；(2)产量为多少吨时利润最大？

解：(1)成本函数C(q)=60^+2000.

因为9=1000—10〃，即〃=100-*4，

所以收入函数R(q)=pxg=(1004)夕二100夕一正夕上

⑵因为利润困数乙(4)=冬夕)-。(4)=100^-^^2-(60<7+2000)

12

=40^-—^~-2000

且L,(c/)=(40q-—q2-2000)z=40-0.2q

令L<q)=0,BP40-0.2g=0,得q=200,它是在其定义域内的唯一驻点.

所以，夕=200是利润函数"0的最大值点，即当产量为200吨时利润最大.

3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元.又已知需求函数

9=2000-4〃，其中〃为价格，q为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：

(1)价格为多少时利润最大？(2)最大利润是多少？

解：⑴C(p)=50000+100〃=50000+100(2000-4”)

=250000-400/7

R(p)=pq=p(2000-4p)=2000p-4P2

利润函数L(p)=R(p)-C(p)=2400p-4p2-250000,且令Lf(p)=2400-8p=0

得〃二300,该问题确实存在最大值.所以，当价格为p=300元时，利润最大.

(2)最大利润"300=2400x300-4x300?-250000=1100C(元).

4.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为。(4)=20+4妙0.01必(元)，单位销售价格为p=14-0.01q(元/件)，

试求：(1)产量为多少时可使利润达到最大？(2)最大利润是多少？

解：(1)由已知火=初=4(14—0.00)=14^—0.002

利润函数心=/?一。=1%—0.01夕2一20—4q一0.002=1%一20—0.0%2

贝］£'=10-0.0%,令£/=10-0.047=0,解出唯一驻点g=250.

因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，

(2)最大利润为:〃25。=10x250-20-0.02x25(f=2500-20-1250=1230(元)

5.某厂每天生产某种产品"牛的成本函数为。(4)=0.5/+3S+9800(元).为使平均成本最低，每天产量应

为多少？此时，每件产品平均成本为多少？

解：因为。(q)=9^=0.5g+36十处如(夕>0)

qq

C(q)=(0&+36+亚竺尸0.5-曾

qq

9800

令C(g)=0,即0.5—0=0,得名=140,%=-140(舍去)•

q-

%=140是亍⑷）在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.

所以d=140是平均成本函数Gq）的最小值点,即为使平均成本最低.每天产曷应为140件.此时的平均成

9800

本为。(140尸0.5x140+36+=176（元/件）

140

6.已知某厂生产q件产品的成本为C"）=250+20g+备（万元）.问：要使平均成本最少，应生产多少件产

解：（1）因为心“）二四2二型+20+且

品？

qqio

«）二（空+20+Q-粤+白

q10q10

令二（g）=0,即一粤+」■=（）,得％=50,%=-50（舍去），

9210

名=50是C（q）在其定义域内的唯一驻点.

所以，％=50是心（,）的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品.

第二部分积分学

一、单项选择题

在切线斜率为2%的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（A).

A.y=x2+3B.y=x1+4C.v=2x+2D.y=4x

2.若，(2x+Z)dr=2,则(

A).

A.1B.C.0D-I

3.下列等式不成立的是(D).

A.e'dx=d(eA)B.-sinxdv=d(cosr)

=

C.—dxdyfxD.Inxdx=d(—)

2VxX

若jf(x)dx=-e

4.2+C,贝=D).

11

B.—eC*D.—e

24

x

Jw)=(B).

A.xe~x+cB.xe~x+e-t+cC.-^e+cD.xe~x-t~x+c

6.下列定积分中积分值为0的是(A).

A.1]——-——drB.----~~dr

"2

C.[(x3+cosx)dxD.[(x24-sinx)dx

Jr

7.若F5）是/（x）的一个原函数，则下列等式成立的是（D）.

A.f(x)dx=F(x)B.Vf(x)dx=F(x)-F(a)

Ja

C.[l，F(x)dx=f(b)-f(a)^f(x)dx=F(b)-F(a)

D.

Ja

二、填空题

I.de'dr

2.函数f(x)=sin2x的原函数是--cos2x+c(c是任意常数)

3.若J/(x)dx=(x+l)2+c,则f(x)2(x+l)

4.若J/(x)dx=尸(工)十c,贝ij拒_"/3~m=.-F(e-x)+c

5.^j^ln(x2+l)dx=

0

6.--------ax=0

(x2+1)2

三、计算题

1.1

sm—sin—[11

1.f—解：f—^dr=-fsin-d(-)=cos-+c

JXJXJXXX

解：席=小、％4)=『+，

3.j；ln(x+l)dx

解法一：J1ln(x+l)dx=xln(x+1)|7—J：-^-dx=e-l-ffc—1(1----,--)dr

。。X"I"1Jox+1

=e-1-[A:-ln(x+1)]|o-1=lne=l

解法二：令〃=x+l,则

e

j；In(x+l)cLv=Inudu=wInM|-J(u—du=e-z/|f=e-e+l=1

4.j(x+l)lnxdx

解：j(x+1)lnrdx=-i(x+l)2lnr--^|^X+^dx=^(x2+2x)\nx-^-x+c

Cln3c

5.Iev(l+e*)d¥

Jo

:£n3ev(l+ev)2dr=£n3(l+er)2d(l+er)=^(l+ex)3In356

解。=T

6.Ji

解：In必2五)=26In$-2Vxd(lnx)

=2ve

=2Ve=4-2Ve

7.

解：「/[近=「/[d(l+]nx)=2jl+lnx「=2(痒1)

xyl\+\nxJivi+lnx11

四、应用题

1.投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C'(%)=2x+40(万元/百台).试求产量由4百台增至6百台

时总成本的增量，及总成本函数.

解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为

AC=j^(2x+40)dx=(x2+40x)|6=100(万元)

口、J；CU)也+%f+40x+36

又C(x)=------------------=-----------------

2.已知某产品的边际成本C'(x)=2(元/件)，固定成本为0,边际收益R'(x)=12-0.02x,问产量为多少时利润

最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

解：因为边际利润Z/(x)=H'(x)-C'(x)=12-0.02x-2=10-0.02x

令Z/(x)=0,得x=500

x=500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值.所以，当产量为500件时，利润最大.

当产量由500件增加至550件时，利润改变量为

AL=f55O(l0-0.02x)dx=(1Ox-0.0Lr2)|550=500-525=-25(元)

即利润靠减少25元.

3.生产某产品的边际成本为C'(x)=8x(万元/百台)，边际收入为R'(x)=100-2x(万元/百台),其中x为产量，

问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？

解：L'(x)=Rr(x)-C(x)=(100-2x)-8x=100-lOx

令Z/(x)=O,得x=10(百台)

又x=10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x=10是L(x)的最大值点，即当产量为10(百台)

时，利润最大.

又L=J>'(x)dv=「(100-1Ox)dx=(10(k-5x2)|：=-20

即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.

4.设生产某产品的总成本函数为。(％)=3+尢(万元)，其中x为产量，单位：百吨.销售x百吨时的边际收入

为“。)=15-2不(万元/百吨)，求：

(1)利润最大时的产量；

(2)在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？

解：(1)因为边际成本为C(x)=1,边际利润L'(x)=R'(x)—C'(x)=14-2x

令£'(幻=0,得x=7

由该题实际意义可知，x=7为利润函数2。)的极大值点，也是最大值点.因此，当产量为7百吨时利润最大.

(2)当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为

AL=JJ14-2x)dx=(14x-x2)|^=112-64-98+49=-1(万元)即利润将减少1万元.

第三部分线性代数

一•单项选择题

1.设线性方程组AY=〃有唯一解，则相应的齐次方程组AY=。(C).

A.无解B.有非0解C.只有0解D.解不能确定

西+2X2+3X3=2

2.线性方程组《x2-x3=6B).

-3X2+3X3=4

A.有唯一解B.无解C.只有0解D.有无穷多解.

二、填空题

-1-6

1325

1.设4=，则1-2A

-2

2-12

2.矩阵402的秩为.2

0-33

3.已知〃元线性方程组AX=。有解，且r(A)<〃，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为

n-r(A)

x+x=\

4.当义=1时，方程组4l?2有无穷多解.

-Xj—AX^——1

121

5.线性方程组AX=O的系数矩阵A化成阶梯形矩阵后为A—04-1

00d+1

则当d二I.时，方程组AX=O有非。解.

三、计算题

1.设矩阵A2,计算

42

解：

问：r(MT+C)=?

--112

2.设矩阵4=104/为单位矩阵,求逆矩阵(/+A)，

2-1-1

012

解：因为/+4114且

20

012100--114010

(1+A/)114010->012100

2-100010-3-80-21

102-1101002-1

012100—0104-2

00-23-2100-23-2

1002-11

->0104_21

001-3/21T/2

所以A1

1-1

3.设矩阵A-12求A"

22

解：利用初等行变换得

0001-10100

-12100—01110

223001043-20

1-101001-10100

011110010-5-31

00-1-6-4100164-1

I00-4-31

->00-5-31

00164-1

-4-3

即-5-31

64-1

-4-35

由矩阵乘法得A-]B=-5-35