2024高考数学讲义：双曲线

2024高考数学讲义：双曲线

目录

i.教学大纲......................................................................1

2.教材回扣基础自测一一自主学习•知识积淀...................................I

2.1.双曲线的概念.............................2

2.2.双曲线的标准方程和几何性质..............2

2.3.双曲线定义的四点辨析....................................................2

2.4.方程5―7=।（6"＞。）表示的双曲线..........................................3

2.5.方程的常见设法...........................................................3

3.课堂作业.....................................................................3

4.考点例析对点微练一一互动课堂•考向探究...................................5

4.1.考点一双曲线的定义自主练习..........................................5

4.2.考点二双曲线的标准方程................................................7

4.3.考点三双曲线的几何性质微专题.......................................10

5.求双曲线的渐近线的方法.....................................................11

6.总结反思....................................................................12

7.双曲线焦点三角形面积公式...................................................12

8.教师备用题..................................................................15

1.教学大纲

内容要求考题举例考向规律

2020•全国I卷・T15（双曲线

考情分析：主要侧重双曲线的方

1.了解双曲线的定的离心率）

程以及以双曲线方程为载体，讲

义、几何图形和标准2020•全国II卷・T8（双曲线

究参数a,b,c及与渐近线有关

方程，知道其简单的的几何性质）

的问题，其中离心率和渐近线是

几何性质（范围、对2020•全国HI卷・T11（双曲线

重点。以选择、填空题为主，难

称性、顶点、离心的几何性质）

度为中低档。一般不再考查与双

率、渐近线）2019•全国I卷・T16（双曲线

曲线相关的解答题，解题时应熟

2.了解双曲线的简的离心率）

练掌握基础内容及双曲线方程的

单应用2019•全国I【卷・T11（双曲线

求法，能灵活应用双曲线的几何

3.理解数形结合的的离心率）

性质

思想2019•全国III卷-T10（双曲线

核心素养：数学运算、直观想象

的几何性质）

2.教材回扣基础自测——自主学习•知识积淀

第1页共18页

2.1.双曲线的概念

平面内与两个定点B，F)的距离的差的绝对值等于常数(大

于零且小于尸砂2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲

线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的辘。

集合IM&I尸为，|FIF2|=2C,其中。、c为常

数且4>0,C>0}o

⑴当〃Vc时,M点的轨迹是双曲线。

(2)当时,M点的轨迹是两条射线。

(3)当a>c时,M点的轨迹不存在。

2.2.双曲线的标准方程和几何性质

x2y2v2x2

标准方程a2b2-b>0)a2b2-1(：a>0,

图形

wc二

范围x>aWcx<-a,y£R4xGR,y<-a5gy>a

对称轴：坐标轴对称轴：坐标轴

对称性

对称中心：原点对称中心：原点

性顶点坐标：顶点坐标：

顶点

质Al(-a,O),A2(a,0)Al[0,-a),A2(0,a)

ba

渐近线y=±]

离心率e=~,e€(1,4-co),其中c=da2+b2

性线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|AlA2|=2a；线段B1B2叫做

质实虚轴双曲线的虚轴，它的长|BlB2|=2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫

-做双曲线的虚半轴长

2.3.双曲线定义的四点辨析

(1)当0<20<的尸2|时,动点的轨迹才是双曲线。

(2)当2。=0时，动点的轨迹是线段的中垂线。

第2页共18页

(3)当2。=尸尼|时，动点的轨迹是以尸I,尸2为端点的两条射

线。

(4)当2〃>此乃|时，动点的轨迹不存在。

2.4.方程\一孑=1(加心0)表示的双曲线

(1)当切>0,心0时，表示焦点在X轴上的双曲线。

(2)当〃2<0,〃<0时，表示焦点在y轴上的双曲线。

2.5.方程的常见设法

⑴与双曲线'一£=1共渐近线的方程可设为、一.=

9W0)。

(2)若渐近线的方程为则可设双曲线方程为。一1=

%(2W0)o

3.课堂作业

一、常规题

*2

1.若方程上r一七y2f=l表示双曲线，则〃2的取值范围是

2十"7m-v1

解析因为方程:^二一时二=1表示双曲线，所以(2+

2十机m-v1

m)(m+1)>0,解得m>—1或m<—2o

答案(一8,—2)U(—1,+°0)

2.双曲线2^-/=8的实轴长是,虚轴长为

，渐近线为,离心率为o

22

解析双曲线2『一)，2=8的标准方程为，一氐=1,故实轴

长为4,虚轴长为4啦，渐近线为y=丸②:，离心率为市。

第3页共18页

小a,可得C=2Q,则e=*=2;若双曲线的焦点在y轴上，设双

曲线的方程为《一方=1,则渐近线的方程为产土》由题意可

得力=tan1=小，a=y/3bf可得c=0^a,则6=4^。综上可

得£=2或6=毕。

答案2或邛

4.考点例析对点微练一一互动课堂・考向探究

4.1.考点一双曲线的定义自主练习

1.已知定点尸1（-2,0）,&（2,0）,N是圆O：炉+9=1上任意

一点，点八关于点N的对称点为M,线段的中垂线与直线

F2M相交于点P,则点P的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线

C.抛物线D.圆

解析如图，连接ON,由题意可得|ON]=1,且N为MFI

的中点，又。为F1F2的中点，所以|例出|=2。因为点尸।关于点

N的对称点为M,线段的中垂线与直线F2M相交于点P,

由垂直平分线的性质可得1PM=|PB|,所以II尸尸2|一|尸尸|||=||P「2|

一|PM|尸|M&I=2<|B&|,所以由双曲线的定义可得，点P的轨

迹是以尸2为焦点的双曲线。

第5页共18页

答案B

2

2.已知圆G：(x+3)2+y2=i,c2：(x-3)+/=9,动圆M

同时与圆G和圆。2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()

A.x2-$=1

2

C.A2一5=l(xW—1)

O

2

D.x2一5=1(尤21)

O

解析设圆M的半径为厂，由动圆M同时与圆G和圆。2

相外切，得|MC|=l+r,|河。2|=3+〃，肘。2|一|四Gl=2<6,所以

点M的轨迹是以点G(—3,0)和Q(3,0)为焦点的双曲线的左支，

且2。=2,。=1,又c=3,则/=/一层=8,所以点M的轨迹

2

方程为X—ol(xW—1)。

答案c

3.双曲线C的渐近线方程为丁=士唱，一个焦点为网0,

一市)，点4啦，0),点P为双曲线第一象限内的点，则当点P

的位置变化时，△抬/周长的最小值为()

A.8B.10

C.4+3由D.3+3yfl7

第6页共18页

解析由已知得双曲线方程为左一左=1,设双曲线的另一

*

个焦点为广,则|Pf]=|P尸|+4,△用产的周长为|Pfl+|E4|+|AF|

=|「严+4+|%|+3,当F1P,A三点共线时，|P尸|+|R1|有最小

值，为依尸|=3,故的周长的最小值为10。

答案B

4.已知吊，F2为双曲线C：炉一丁=2的左、右焦点，点P

在。上，/FIPF2=60。,则的面积为o

解析不妨设点P在双曲线的右支上，则|PFi|一|P3|=2〃

=2^2,在△APB中，由余弦定理，得cosN居尸产2=

|PF1|2+|PF|2-|F1F2|21”“1

J—2尸尸;一=2^所以IPBHP6|=8,所以S八S“2=5

|PFiMPF2|-sin60°=2^/3o

答案2A/3

—————，一J-__

_二二二二一I,

-----------I」1：—

1.利用双曲线定义要注意三点：①距离之差的绝对值；②

2a<|F|F2|;③焦点所在坐标轴的位置。

2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结

合||PQ|一|PB||=2Q,运用平方的方法，建立『为|与IPBI的关系。

=

3.焦点三角形的面积S^PF1F2/FIPF?°

4.2.考点二双曲线的标准方程

?2

【例1】⑴是“方程七+'三=1表示双曲线”

n-r1n-3

的（）

A.充分不必要条件

R.必要不充分条件

第7页共18页

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析若方程［1+)々=1表示双曲线，则(〃+1)(几一

n+171-3

3)<0,解得一贝4(0,2)(-1,3),所以是“方程金?

〃十1

+上7=1表示双曲线”的充分不必要条件。故选A。

〃-3

答案A

(2)已知以原点为中心，实轴在x轴上的双曲线的一条渐近

3

线方程为y=9，焦点到渐近线的距离为6,则此双曲线的标准

方程为()

9292

A工一二=1三一上=1

八・1691B9161

C止—£=1D上—2=1

J6436136641

解析因为双曲线的一条渐近线方程是〉，=条3，所以h3

~TC~I

13d=6,所以C=10。因为。2=〃2+加，所以〃=64,法

又因为^25

=36。所以双曲线方程为讶-点=1。故选C。

答案C

(3)若双曲线经过点(3,也)，且渐近线方程是y=±*，则双

曲线的标准方程是___________________o

解析设双曲线的方程是丁一手=a(2W0)。因为双曲线过点

・y

QX2

(3,^2),所以2=2—§=1。故双曲线的标准方程为

第8页共18页

答案9=1

1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲

线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数mb,。的方

程并求出。，b,c的值。

2.与双曲线'—£=1有相同渐近线时可设所求双曲线方程

为/一$=%(%w。)。

3.双曲线的焦点到渐近线的距离是人

【变式训练】(1)椭圆奈+£=1的两焦点分别为R,6,

以椭圆短轴的两顶点为焦点,的长为虚轴长的双曲线方程为

)

A.x2—y2=2B.9―f=2

C.x2-9=小D.)?一£=也

解析由椭圆方程可得双曲线的两焦点为(0,2),(0,-2),

虚轴长为冏FZ|=2诲，所以双曲线的虚半轴长为地，实半轴长为

正力柩2=®所以双曲线方程为十一5=1,即y2_x2=2o

故选B。

答案B

(2)(2020・浙江高考)已知点0(0,0),A(-2,0),5(2,0)。设点P

满足|%|一|PB|=2,且P为函数4=3«4—f图象上的点,则|OP|

=()

A迤4^

A.2B,5

C.币D.V>0

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解析^\PA\-\PB\=2<\AB\=4,知点P的轨迹是双曲线的

2

右支，点P的轨迹方程为X2一牛=1（61）,又P为函数产

3"二丁图象上的点，所以/=y,所以|0?|=4？+%

=\^号+弓="1^,故选D。

答案D

4.3.考点三双曲线的几何性质微专题

微考向1：渐近线

[例2]（1）（2020.天津高考）设双曲线C的方程为，一

1（^>0,h>0）,过抛物线V=4x的焦点和点（0,勿的直线为/。若

。的一条渐近线与/平行，另一条渐近线与/垂直，则双曲线C

的方程为（）

解析由题知，双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的

渐近线方程为又直线/过抛物线的焦点（1,0）与（0,份，所

以k=-b,则一b=—1,即/?=1。又显然a=b,所以〃=b=l,

双曲线的标准方程为炉一y=1。故选D。

答案D

（2）（2020•全国II卷）设O为坐标原点，直线X=Q与双曲线C：

摄一£=1（心0,心0）的两条渐近线分别交于D,E两点，若△OOE

的面积为8,则。的焦距的最小值为（）

A.4B.8

C.16D.32

第10页共18页

解析由题意知双曲线的渐近线方程为），=±3。因为，E

分别为直线x=a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设

D（a,b）,E（a,一》），所以SAOO£=：XQX储月=：*。*2〃=必=

8,所以。2=。2+廿三2必=16,所以。24,所以2c28,所以C

的焦距的最小值为8。故选B。

答案B

5.求双曲线的渐近线的方法

求双曲线£一方=1（心0,以。）或%一贬=1（>。，30）的渐近

线方程的方法是令右边的常数等于3即令《一《=（），得》=土£

X;或令?—$=（），得尸土如反之,已知渐近线方程为产土与

72

x,可设双曲线方程为了一A（tz>0,b>（）9AWO）。

微考向2：离心率

2,2

【例3】（2020.全国I卷）已知产为双曲线。：，一卓=1（»0,

〃>0）的右焦点，A为。的右顶点，8为。上的点，且B尸垂直于

x轴。若AB的斜率为3,则。的离心率为0

?2

解析设8（c,泗）,因为3为双曲线C:，一立=1上的点，

r2A42

所以5—%vi=1,所以泣=2。因为的斜率为3,所以班=h》，

C-<czViV€

艺

=3,所以Z?2=3〃c—3〃所以c2一次=3々（:一3。2所以c?一

c-a

第11页共18页

3。。+2。2=0,解得c=〃（舍去）或c=2〃，所以C的离心率e=£

=2o

答案2

6.总结反思

求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关

于双曲线基本量。，b,c的方程或不等式，利用。2=〃+加和《

=?转化为关于e的方程（或不等式），通过解方程（或不等式）求得

w>,

离心率的值（或范围）。

微考向3,其他应用

【例4】（2020•全国III卷）设双曲线C：^一1=13>0">0）

的左、右焦点分别为吊，尸2，离心率为小。P是C上一点，且

FIP±F2PO若△PEB的面积为4,贝IJ〃=（）

A.1B.2

C.4D.8

解析解法一：设|P8|=加，\PF2\=n9P为双曲线右支上一

]c

点，贝|S△pFFz==4,m-〃=2Q,nvH-~~4c~,又c=~=\j5,

-乙a

所以a=1o故选Ao

==

解法二：由题意得，SAPF]F2tan4504,得〃=4,又滔=

222

5,c=b+af所以。=1。

答案A

7.双曲线焦点三角形面积公式

第12页共18页

双曲线”一次=1（。＞0,b＞0）的左、右焦点分别为E，F2,P

2

为双曲线上一点。若NFIPF2=。，则S4PRF2=夕

an2一

【题组对点练】

22

L（微考向1）若双曲线，一东=1（〃＞0,人＞0）的焦距为2小,

且渐近线经过点（1,-2）,则此双曲线的方程为（）

2

A.^-y=lB.JC2—^=1

C公=iD止一金=]

J41611641

解析由题意知，渐近线y=—%过点（1,-2）,2c=2小,

a2+b2=5(7=1,2

所以解f得所以双曲线的方程为炉一;

b—2a,b=2.

lo故选B。

答案B

2.（微考向1）以双曲线C：了一方=1（〃＞0,比＞0）的右焦点尸

为圆心，；|OF|（O为坐标原点）为半径的圆与C的渐近线相切，则

乙

C的渐近线方程为（）

A.\[3x±y=QB.x±\f3y=0

C.小x±y=OD.x±\[5y=0

解析解法一：不妨设圆与双曲线的渐近线bx—ay=O相切

于点A,则如尸芍,2222

又c=cr+h9所以6f=3Z?,所

以e=坐,所以该双曲线的渐近线方程为）＞=±4=土孝七即

ClCl

第13页共18页

y=0o故选B。

解法二：因为双曲线的焦点到渐近线的距离为从所以由题

意，知/?=],即。=2力，所以〃=9。2一加=小〃,所以该双曲线

的渐近线方程为y=±4=±¥x,即a/5y=0。故选B。

答案B

92

3.（微考向1,2）（多选）已知双曲线C：/一方=1（。＞。，。＞。）的

离心率e=2,。上的点到其焦点的最短距离为1,则（）

A.双曲线C的焦点坐标为（0,±2）

B.双曲线。的渐近线方程为

C.点（2,3）在双曲线。上

D.直线y—m=0O£R）与双曲线C恒有两个交点

解析双曲线。上的点到其焦点的最短距离为c-a=l,离

心率e='=2,所以Q=1,c=2,所以6=3,所以双曲线。的

v2

方程为X2一彳=1,所以C的焦点坐标为（±2,0）,A错误；双曲线

bQ2

。的渐近线方程为y=±-x=±V£，B正确；因为22—彳=1,所

以点（2,3）在双曲线C上，C正确；直线mx—y—m=0即y="?（x

一1）,恒过点（1,0）,当〃2=丸月时，直线与双曲线。的一条渐近

线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误。故选BCo

答案BC

72

4.（微考向3）（2019.全国HI卷）双曲线C：1一5=1的右焦点

为尸，点P在。的一条渐近线上，0为坐标原点，若|PO|=|P/q,

则尸。的面积为（）

第14页共18页

A.乎B.乎C.2^2D.3啦

解析不妨设点P在第一象限，根据题意可知。2=6,所以

\OF\=y[6o又tan/P。/=一=半，所以等腰三角形POF的高h

—亚*啦—近6-以Q3心立_皿

—2X2—2，所以S»PF。—之》、76X、2—4°

答案A

8.教师备用题

2

【例1】(配合考点一使用)(1)过双曲线/一：=1的左焦点R作一条直

线/交双曲线左支于a。两点，若|尸。|=4,6是双曲线的右焦点，则△尸尺。

的周长是O

解析由题意，得|PF2|—|PRI=2,|。/2|一|。臼=2。因为IP&I

+IQQI=|PQI=4,所以IPBI+IQF2L4=4,所以|PBI+IQBI=8。

所以△PF2Q的周长是|PF2l+IQF2|+|PQ|=8+4=12。

答案12

(2)已知F2为双曲线C：/一产=2的左、右焦点，点P

在C上，|PF,|=2|PF2|,则COSNRPB=。

解析因为由双曲线的定义得|PQ|-\PF2\=\PF2\=2a=

2也，所以|PR|=21PBi=4也,则cosNF"=

FAF+|PB|2一尸代|2

2|PFI||PF2|一

(4的2+(2何-42_3

2X4^2X272~4°

3

答案4

92

【例2](配合例1使用)⑴设双曲线C：，一%=1(。＞0,

第15页共18页

b>0）的虚轴长为4,一条渐近线的方程为），=$,则双曲线。的

方程为（)

92

AA,工二一-1B.

164416

9

2

D.x4=1

解析双曲线的虚轴长为4,得2万=4,即6=2,又双曲线

的焦点在x轴上，则其一条渐近线的方程为y=，=5，可得。

=4,所以双曲线。的方程为旅一]=1。故选A。

答案A

（2）已知双曲线C的中心为坐标原点，离心率为小，点P（2[L

一也）在。上，则C的方程为（）

?292

工一二=1王一上=1

A42B714

CD义上=1

j24147

,,r2a2+h2

解析解法一：由£=力=小，得/=/=---2—=（小¥=3,

v€«CXCv

方2丫2p2

即1+/=3,-2=2O设双曲线。的方程为下一天=1,因为尸（2啦,

Q2

一地）在双曲线C上，所以三一彳=1,解得〃=7,得C的方程

CIZ

Uv2

为了一1。故选Bo

Cr2〃+〃2

解法二：由。=]=,，得/==^^=（小）2=3,即1

v-»v»C-€

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