2024-2025学年上海市浦东新区洋泾中学高三（上）期中数学试卷（含解析）

2024-2025学年上海市浦东新区洋泾中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题，1-6题每题4分，7-12增每题5分，满分54分）1．（4分）已知集合，集合，则．2．（4分）函数在区间，上的平均变化率为．3．（4分）已知，如果，那么实数的值为．4．（4分）已知某校高三年级共480名同学，其中男生一共288人，现在为了了解该年级学生对于该校95周年校庆活动安排的想法，按照性别进行分层随机抽样，需要抽取一个容量为40的样本进行调查，则抽取的男生人数为．5．（4分）已知圆柱的底面半径为3，母线长为6，则该圆柱的表面积为．6．（4分）展开式中的系数为．7．（5分）已知函数，则．8．（5分）已知角，为锐角，，，则的值为．9．（5分）已知定义在上的函数满足，当时，，，若，则的最小值为．10．（5分）某校需要选拔4名同学参与该校95周年校庆活动的引导工作，现在有3位高一同学、2位高二同学和1位高三同学报名参如，则每个年级都有同学被选中的概率为．11．（5分）已知函数，，若函数有6个不同的零点．则实数的范围是．12．（5分）已知，，，是1，2，，满足下列性质的一个排列，性质：排列，，，中有且仅有一个，2，，，当时，满足性质的数列一共有个．二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分）13．（4分）已知，，则“，”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件14．（4分）在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15．（5分）已知，，点为动点，点为线段上的点且满足，当取最小值时，△的外接圆的面积为A． B． C． D．16．（5分）中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面上，把到两个定点，距离之积等于的动点轨迹称为双纽线，是曲线上的一个动点．则下列结论正确的个数是①曲线关于原点对称②曲线上满足的有且只有一个③动点到定点，距离之和的最小值为④若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为，，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题17．（14分）如图，长方体中，，，点为的中点．（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．18．（14分）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若恒成立，求实数的取值范围．19．（14分）某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．（1）当时，求停车场的面积（精确到0.1平方米）；（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值．20．（18分）给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”，已知椭圆的两个焦点分别是．（1）若椭圆上一动点满足，求椭圆及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点，作直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，求点的坐标；（3）已知，是否存在，，使椭圆的“伴随圆”上的点到过两点，的直线的最短距离．若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．21．（18分）设函数，直线是曲线在点，处的切线．（1）当时，求单调区间；（2）求证：不经过；（3）当时，设点，，，，，，，，，为与轴的交点，与分别表示△和△的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？

参考答案一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12增每题5分，满分54分）1．（4分）已知集合，集合，则．解：集合，集合，则．故答案为：．2．（4分）函数在区间，上的平均变化率为．解：函数在区间，上的平均变化率为．故答案为：．3．（4分）已知，如果，那么实数的值为4．解：因为，且，所以．故答案为：4．4．（4分）已知某校高三年级共480名同学，其中男生一共288人，现在为了了解该年级学生对于该校95周年校庆活动安排的想法，按照性别进行分层随机抽样，需要抽取一个容量为40的样本进行调查，则抽取的男生人数为24．解：某校高三年级共480名同学，其中男生一共288人，需要抽取一个容量为40的样本进行调查，则抽取的男生人数为．故答案为：24．5．（4分）已知圆柱的底面半径为3，母线长为6，则该圆柱的表面积为．解：由题意得，，圆柱的表面积，代入解得，故答案为：．6．（4分）展开式中的系数为15．解：根据二项式展开．故答案为：15．7．（5分）已知函数，则．解：函数，则，故，解得．故答案为：．8．（5分）已知角，为锐角，，，则的值为．解：因为角、为锐角，所以，又，所以，所以，又，所以．故答案为：．9．（5分）已知定义在上的函数满足，当时，，，若，则的最小值为4．解：因为定义在上的函数满足，所以，即函数的周期为6，当时，，，若（2），则，，当且仅当时取等号．故答案为：4．10．（5分）某校需要选拔4名同学参与该校95周年校庆活动的引导工作，现在有3位高一同学、2位高二同学和1位高三同学报名参如，则每个年级都有同学被选中的概率为．解：根据题意可分，①2位高一，1位高二，1位高三，此时共有种，②1位高一，2位高二，1位高三，此时共有种，而从6人中选择4人所有的选择方法有，则每个年级都有同学被选中的概率为．故答案为：．11．（5分）已知函数，，若函数有6个不同的零点．则实数的范围是．解：作函数的图象如下，是开口向上的二次函数，其零点个数最多为2个，①若只有一个解，则函数最多只有4个零点，不合题意；②若有两个解，要使函数有6个零点，则需两个零点满足或，若为，则，此时无解；若为，则需，即，解得．综上，实数的取值范围为．故答案为：．12．（5分）已知，，，是1，2，，满足下列性质的一个排列，性质：排列，，，中有且仅有一个，2，，，当时，满足性质的数列一共有26个．解：当时，1，2，3所有的排列有：，2，，，3，，，1，，，3，，，2，，，1，，其中满足仅存在一个，2，，使得的排列有：，3，，，1，，，3，，，1，；（3）；当，由1，2，3，4构成的所有种排列中，符合性质的排列有：，2，4，，，3，2，，，3，4，，，4，2，，，1，3，，，3，1，，，3，4，，，4，1，，，1，2，，，4，1，，，1，2，，故（4）；同理可得：（5）．故答案为：26．二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分）13．（4分）已知，，则“，”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件解：已知，，则由，可得，则充分性成立；由不能推出，，如，，满足，但不满足，，故必要性不成立，则“，”是“”的充分不必要条件．故选：．14．（4分）在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：，对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：．15．（5分）已知，，点为动点，点为线段上的点且满足，当取最小值时，△的外接圆的面积为A． B． C． D．解：以为坐标原点，所在的直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，又，所以所在的直线为，设，则，，所以，当时，最小，此时点，因为，所以，所以点的坐标为，则，设△外接圆的半径为，由正弦定理得，所以，所以．故选：．16．（5分）中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面上，把到两个定点，距离之积等于的动点轨迹称为双纽线，是曲线上的一个动点．则下列结论正确的个数是①曲线关于原点对称②曲线上满足的有且只有一个③动点到定点，距离之和的最小值为④若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为，，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：设，则根据双纽线的定义有，故，即曲线的轨迹方程为．用替换方程中的，原方程不变，曲线关于原点中心对称，故①正确；若曲线上点满足，则点在的垂直平分线，即轴上，故，代入曲线方程得，解得，所以这样的点仅有一个，故②正确；，当且仅当时，等号成立，，故③正确；由题意知直线与曲线一定有公共点，若直线与曲线只有一个交点，将代入曲线方程中，方程无非零解，则，解得或，故④正确．故选：．三、解答题17．（14分）如图，长方体中，，，点为的中点．（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】证明：（1）设交于，连，为的中点，为的中点又面，面平面解：（2）连交于点，连，则，又，，平面，即即为直线与平面所成角，（12分）18．（14分）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以当且时，，两式相减得当且时，，又因为，所以，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以．（2）由（1），所以，令，则，所以当且时，，故且为减函数，而，又因为恒成立，所以，所以实数的取值范围为．19．（14分）某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．（1）当时，求停车场的面积（精确到0.1平方米）；（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值．解：（1）在中，，，由正弦定理得，，则停车场面积（平方米），（2）在中，，，由正弦定理得，，则停车场的面积为，，因为，所以，当，即时，停车场的面积最大．20．（18分）给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”，已知椭圆的两个焦点分别是．（1）若椭圆上一动点满足，求椭圆及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点，作直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，求点的坐标；（3）已知，是否存在，，使椭圆的“伴随圆”上的点到过两点，的直线的最短距离．若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．解：（1）依题意，，，，椭圆的方程为：，其“伴随圆”的方程为：；（2）设直线的方程为：，联立，消去整理得：，令△，解得：，直线截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，，即，，解得：，，，，点的坐标为：；（3）结论：存在、满足题意．理由如下：过两点、的直线的方程为：，整理得：，，，即，圆心到直线的距离，当时，，但，故等式不能成立；当时，，，，又，，，解得：或（舍，，综上所述，存在、满足题意．21．（18分）设函数，直线是曲线在点，处的切线．（1）当时，求单调区间；（2）求证：不经过；（3）当时，设点，，，，，，，，，为与轴的交点，与分别表示△和△的面积．是否存在点使得成立？若存在，