第一章　预备知识 第三节　不等式的性质与基本不等式 2025年高考数学一轮复习基础知识随堂练

预备知识第三节不等式的性质与基本不等式1．(2024·徐州模拟)设P＝2a2－4a＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有()A．P≥Q B．P>QC．P<Q D．P≤Q2．设a>0，则a＋a+A．2a+4C．4 D．53．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A．ad＞bd B．aC．ac＞bd D．a4．若6<a<10，a2≤b≤2a，c＝a＋b，则cA．[9，18] B．(15，30)C．[9，30] D．(9，30)5．(2024·日照模拟)若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为()A．4π B．8πC．12π D．16π6．(2024·潍坊质检)给出下列命题：①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a2>b2；④|a|>b⇒a2>b2.其中正确的命题是________.7．1x+8．(2024·菏泽模拟)若实数x，y满足x＋2y＝1，则2x＋4y的最小值为________.9．(数学与生活)某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示(图中单位：m)．问：如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？10．已知对任意的正实数x，y，不等式x＋4y≥mxy恒成立，则实数m的取值范围是()A．(0，4] B．(0，2]C．(－∞，4] D．(－∞，2]11．(2024·泰安模拟)在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品．实验一：小明将5克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品()A．大于20克 B．小于20克C．大于等于20克 D．小于等于20克12．(多选题)已知1≤a≤5，a＋b＝8，则()A．－6≤a－b≤2 B．7≤ab≤15C．32≤a2＋b2≤50 D．2a＋8b的最小值为12813．已知a>1，且(a－1)(b－1)＝4，则a＋b的最小值是________.14．写出一个关于a与b的等式，使1a215．(2024·聊城模拟)如图放置的边长为2的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则OB·OC16．某市计划建设一个文化产业园区，计划在等腰三角形OAB的空地上修建一个占地面积为S平方米的矩形CDEF文化园展厅．如图，点C，D在底边AB上，E，F分别在腰OB，OA上，已知OA＝OB＝30米，AB＝302米，OE＝x米，x∈[14，20].(1)试用x表示S，并求S的取值范围；(2)若矩形CDEF展厅的每平方米造价为37kS，绿化区(图中阴影部分)的每平方米造价为12kS(k为正常数)，求总造价W关于S的函数W＝f(S)，并求当答案解析1、A解析：因为P－Q＝2a2－4a＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，所以P≥Q.2、D解析：a＋a+4a＝a+13、B4、D解析：因为a2≤b≤2a，所以3a2≤a＋b≤3a，即3a2≤c≤3a5、B解析：设圆柱的底面圆半径为r，则圆柱的高为24－r2，圆柱的侧面积为S＝2πr×24－r2＝4πr4－r2≤4π×r6、②解析：对于①，当c＝0时，ac2＝bc2，不满足题意，故①错误；对于②，因为a>|b|≥0，故a2>b2，故②正确；对于③，取a＝1，b＝－2，满足a>b，但a2＝1<4＝b2，故③错误；对于④，取a＝1，b＝－2，满足|a|>b，但a2＝1<4＝b2，故④错误．7、9解析：1x+1yx+4y＝5＋xy8、22解析：2x＋4y≥22x×22y＝22x9、解：设矩形停车场东西侧边长为xm(x>0)，则其南北侧边长为1200xm，人行通道占地面积为S＝(x＋6)·1200x+8－1200＝8x＋7200x+48≥28x·720010、C解析：因为x>0，y>0，所以x＋4y≥mxy等价于m≤x+4yxy，即m≤x+4yxymin.又因为x+4yxy＝x11、C解析：设天平左、右两边臂长分别为a，b，小明、小芳放入的药品的克数分别为x，y，则由杠杆原理得5a＝bx，ay＝20b，于是x＝5ab，y＝20ba，故x＋12、AC解析：对于A，由已知得，a－b＝2a－(a＋b)＝2a－8，又1≤a≤5，所以－6≤2a－8≤2，所以－6≤a－b≤2，故A正确；对于B，当a＝b＝4时，ab＝16，不等式不成立，故B错误；对于C，a2＋b2＝a2＋(8－a)2＝2a2－16a＋64＝2(a－4)2＋32，由1≤a≤5，得32≤2(a－4)2＋32≤50，故C正确；对于D，2a＋8b＝2a＋23b≥22a+3b，当且仅当a＝3b，即a＝6，b＝2时，等号成立，此时2a＋8b取得最小值128，但与113、6解析：由题意，得b>1，则a＋b＝(a－1)＋(b－1)＋2≥2a－1b－1+2＝24＋2＝6(当且仅当a－1＝b14、a2＋b2＝1解析：该等式为a2＋b2＝1，下面证明该等式符合条件．1a2+9b2＝1a2+9当且仅当b2＝3a2时取等号，所以1a15、8解析：设A(x，0)，D(0，y)，则x2＋y2＝4，所以B(x＋y，x)，C(y，x＋y)，于是OB·OC＝(x＋y，x)·(y，x＋y)＝x2＋2xy＋y2≤2(x2＋y2)＝8，当且仅当x＝y＝16、解：(1)由题意得，△OAB为等腰直角三角形，则EF＝2x米，DE＝22(30－x)米，所以S＝EF·DE＝x(30－x)＝－(x－15)2＋225.因为x∈[14，20]，所以S∈[200，225