2024-2025学年浙江省杭州十四中附属学校八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年浙江省杭州十四中附属学校八年级（上）期中数学试卷一.选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．2cm，2cm，4cm C．3cm，4cm，5cm D．3cm，4cm，8cm2．（3分）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形3．（3分）等腰三角形的一个顶角为40°，那么它的底角是（）A．40°或70° B．70° C．40° D．100°4．（3分）如图，一副三角板摆放在长方形包装袋中．点A，E，B在长方形的一边上，D在其对边上．直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE的（）A．斜边相等 B．直角的角平分线相等 C．斜边上的高相等 D．一个锐角相等5．（3分）一块三角形玻璃被小明碰碎成四块（如图），为了配一块和以前一样的玻璃，小明只需带其中的两块去玻璃店即可（）A．带其中的任意两块 B．带①和② C．带①和③ D．带③和④6．（3分）如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（）A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角7．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°（）A．60° B．65° C．75° D．80°8．（3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是（）A．10 B．8 C．6 D．59．（3分）如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AB边上，AE⊥CD，垂足为F，则BE的长是（）A．1.5 B．2.5 C． D．3二.填空题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）“相等的角是对顶角”这个命题是命题（选填“真”或“假”）．12．（3分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，则图中共有个等腰三角形．13．（3分）如图，CD是Rt△ABC斜边上的高线，∠A＝30°°．14．（3分）一张小凳子的结构如图所示，∠1＝∠2，∠3＝100°．求∠1的度数．15．（3分）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，PB，AB上的点，BN＝AK，若∠MKN＝44°16．（3分）如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，且BC＞AC＞AB．已知厂房O到每条公路的距离相等．（1）则点O为△ABC三条的交点（填写：角平分线或中线或高线）；（2）如图设BC＝a，AC＝b，AB＝c，OB＝y，OC＝z，返回厂房停放，那么最短路线长是．三.解答题（本题有8小题，共72分）17．（6分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣4，2），C（﹣1，3）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1坐标；（2）在x轴上确定一点P，连接PB1，PC，使PC+PB1最小，并直接写出点P的坐标（保留作图痕迹）．18．（6分）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出四个论断：①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF请任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，并给出证明过程．我选择作为已知条件，作为结论（填写序号）．19．（8分）如图，在△ABC中，已知AB＝15，BC＝14．（1）请用直尺和圆规过点A作BC的高线AD．（2）求线段AD的长度．20．（8分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，DF⊥BC于点F，且DE＝DF．（1）求证：∠A＝∠C．（2）若∠B＝70°，求∠FDC的度数．21．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求证：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，求点E到线段BC的距离．22．（10分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BE，CD相交于点F．已知AD＝AE（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）连结AF并延长，交BC于点G．试判断BG与CG是否相等，并说明理由．23．（12分）在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，E分别在AC，BC上（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，GF，EF，若，求四边形CGFE的面积．24．（12分）如图△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，DE交AC于点F．（1）请说明BD与CE的关系；（2）若AB＝10，，当△CEF是直角三角形时，求BD的长．

2024-2025学年浙江省杭州十四中附属学校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．2cm，2cm，4cm C．3cm，4cm，5cm D．3cm，4cm，8cm【解答】解：A、1+2＝4、2cm，故A不符合题意；B、2+8＝4、2cm，故B不符合题意；C、5+4＞5、7cm，故C符合题意；D、3+4＜8、4cm，故D不符合题意．故选：C．2．（3分）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【解答】解：∵三角形三个内角的度数之比为1：2：3，∴此三角形的最大内角的度数是×180°＝90°，∴此三角形为直角三角形，故选：C．3．（3分）等腰三角形的一个顶角为40°，那么它的底角是（）A．40°或70° B．70° C．40° D．100°【解答】解：∵40°的角为等腰三角形的顶角时，∴底角的度数＝＝70°．故选：B．4．（3分）如图，一副三角板摆放在长方形包装袋中．点A，E，B在长方形的一边上，D在其对边上．直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE的（）A．斜边相等 B．直角的角平分线相等 C．斜边上的高相等 D．一个锐角相等【解答】解：由图可知：直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE的斜边不相等，故A不正确；如图，过点D作DF平分∠ADE交AB于F，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠ADF＝∠EDF＝∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠DFE＝90°，∠CGB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∵一副三角板摆放在长方形包装袋中，∴CD∥AB，∴DF≠DG，∴直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE的直角的角平分线不相等，故B不正确，不符合题意；Rt△ABC中，两个锐角分别是30°，Rt△ADB，两个锐角分别是45°，故D不正确，不符合题意；∵CD∥AB，∴直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE的斜边上的高相等；故C正确，符合题意；故选：C．5．（3分）一块三角形玻璃被小明碰碎成四块（如图），为了配一块和以前一样的玻璃，小明只需带其中的两块去玻璃店即可（）A．带其中的任意两块 B．带①和② C．带①和③ D．带③和④【解答】解：根据全等三角形的判定方法：ASA可确定①④或③④都可以，故选：D．6．（3分）如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（）A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角【解答】解：观察图象可知：已知线段AB，∠CAB＝α，故选：C．7．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°（）A．60° B．65° C．75° D．80°【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．故选：D．8．（3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是（）A．10 B．8 C．6 D．5【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，PE⊥BC，∴PA＝PE＝PD，∵AD＝10，∴PE＝5，即点P到BC的距离是5，故选：D．9．（3分）如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：设正方形的边长为a，在图①中，由折叠知，AB＝a，在Rt△ABC中，根据勾股定理得a，∴CF＝AF﹣AC＝a，设CE＝ED＝x，则EF＝，在Rt△CEF中，（a﹣x）2+（a）2＝x2，∴x＝2﹣，∴CE＝ED＝2﹣，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝故∠DBE＝∠CBE＜30°，故△ECB．在图②中，BC＝a，故∠BAC＝30°，从而可得∠CAD＝∠EAD＝30°，故能满足它的一条直角边等于斜边的一半．在图③中，AC＝a，故∠ABC＝∠DBC≠30°，故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半．在图④中，AE＝aa，故∠ABE＝30°，∠EAB＝60°，从而可得∠BAC＝∠DAC＝60°，∠ACB＝30°．综上可得有2个满足条件．故选：C．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AB边上，AE⊥CD，垂足为F，则BE的长是（）A．1.5 B．2.5 C． D．3【解答】解：连接DE，如图所示，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵AD＝AC＝4，AF⊥CD，∴DF＝CF，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，在△ADE和△ACE中，，∴△ADE≌△ACE（SSS），∴∠ADE＝∠ACE＝90°，∴∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE7+BD2＝BE2，即x4+22＝（5﹣x）2，解得：x＝1.2；∴CE＝1.5；∴BE＝3﹣1.5＝4.5故选：B．二.填空题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）“相等的角是对顶角”这个命题是假命题（选填“真”或“假”）．【解答】解：相等的角不一定是对顶角，“相等的角是对顶角”的命题是假命题，故答案为：假．12．（3分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，则图中共有3个等腰三角形．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，∴BD＝BC，AD＝BD，∵AB＝AC，∴等腰三角形有：△ABC，△ADB．故答案为：3．13．（3分）如图，CD是Rt△ABC斜边上的高线，∠A＝30°30°．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵∠BDC＝90°，∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30．14．（3分）一张小凳子的结构如图所示，∠1＝∠2，∠3＝100°．求∠1的度数．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠7＝100°，∴．15．（3分）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，PB，AB上的点，BN＝AK，若∠MKN＝44°【解答】解：∵PA＝PB，∴∠A＝∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN（SAS），∴∠AKM＝∠BNK，∵∠AKN＝∠B+∠BNK，即∠AKM+∠MKN＝∠B+∠BNK，∴∠B＝∠MKN＝44°，∴∠P＝180°﹣2×44°＝92°．16．（3分）如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，且BC＞AC＞AB．已知厂房O到每条公路的距离相等．（1）则点O为△ABC三条角平分线的交点（填写：角平分线或中线或高线）；（2）如图设BC＝a，AC＝b，AB＝c，OB＝y，OC＝z，返回厂房停放，那么最短路线长是y+c+b+z．【解答】解：（1）∵点O到每条公路的距离相等，∴点O是△ABC的角平分线的交点．故答案为：角平分线；（2）共有6条线路：d1＝x+c+a+z，d2＝x+b+a+y，d3＝y+c+b+z，d4＝y+a+b+x，d3＝z+b+c+y，d6＝z+a+c+x，在CB上截取CE＝CA，连接OE，在△ACO和△ECO中，，∴△ACO≌△ECO（SAS），∴OA＝OE，在△EBO中，y﹣x＜a﹣b推出d3﹣d2＜0，同理d3﹣d2＜0，d3﹣d8＜0，d3﹣d6＜0，d3﹣d2＜0，∴d3最短，故答案为：y+c+b+z．三.解答题（本题有8小题，共72分）17．（6分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣4，2），C（﹣1，3）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1坐标；（2）在x轴上确定一点P，连接PB1，PC，使PC+PB1最小，并直接写出点P的坐标（保留作图痕迹）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C2即为所求．由图可得，点A1坐标为（3，7）．（2）如图，取点B1关于x轴的对称点B'，连接CB'，此时PC+PB1＝PC+PB'＝CB'，为最小值，则点P即为所求．由图可得，点P的坐标为（6．18．（6分）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出四个论断：①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF请任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，并给出证明过程．我选择①③④作为已知条件，②作为结论（填写序号）．【解答】解：（1）①③④为条件，②为结论；∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF；故本命题为真命题；（2）①②④为条件，③为结论；∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ABC＝∠DEF；故本命题为真命题；（3）①②③为条件，④为结论；无法证明△ABC≌△DEF，故本命题不是真命题；（4）②③④为条件，①为结论；无法证明△ABC≌△DEF，故本命题不是真命题；答：可得到4个命题，其中真命题有2个．19．（8分）如图，在△ABC中，已知AB＝15，BC＝14．（1）请用直尺和圆规过点A作BC的高线AD．（2）求线段AD的长度．【解答】解：（1）如图，AD即为所求．（2）设BD＝x，则CD＝BC﹣BD＝14﹣x．在Rt△ABD中，由勾股定理得2＝AB2﹣BD5，在Rt△ACD中，由勾股定理得2＝AC2﹣CD7，∴AB2﹣BD2＝AC4﹣CD2，即152﹣x4＝132﹣（14﹣x）2，解得x＝5，∴AD＝＝＝12．20．（8分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，DF⊥BC于点F，且DE＝DF．（1）求证：∠A＝∠C．（2）若∠B＝70°，求∠FDC的度数．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴∠AED＝∠DFC＝90°，∵D是AC的中点，∴AD＝DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴∠A＝∠C；（2）解：∵∠B＝70°，∴∠A＝∠C＝55°，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠ADE＝∠CDF＝35°．21．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求证：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，求点E到线段BC的距离．【解答】（1）证明：连接DE，∵AD是BC边上的高线，∴△ABD是直角三角形，∵CE是AB边上的中线，∴E是AB的中点，即DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，∴DE＝AE＝BE，∵CD＝AE，∴DE＝CD，∵DG⊥CE，∴CG＝EG；（2）解：作EF⊥BC于点F，∵BC＝13，CD＝5，∴BD＝8，∵DE＝BE，EF⊥BC，∴DF＝BD＝4，∵DE＝CD＝6，∴EF＝＝＝3，∴点E到线段BC的距离为3．22．（10分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BE，CD相交于点F．已知AD＝AE（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）连结AF并延长，交BC于点G．试判断BG与CG是否相等，并说明理由．【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，∠ADC+∠2＝180°，∴∠ADC＝∠AEB，在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（ASA），∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）BG＝CG，理由：由（1）知∠ADC＝∠AEB，∵△ADC≌△AEB，∴∠ABF＝∠ACF，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠FBC＝∠FCB，∴BF＝CF，在△ABF和△ACF中，，∴△ABF≌△ACF（SSS），∴∠BAF＝∠CAF，∵AB＝AC，∴AG是底边上的中线，即BG＝CG．23．（12分）在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，E分别在AC，BC上（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，GF，EF，若，求四边形CGFE的面积．【解答】（1）证明：在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD；（2）证明：如图2，记AE与CF的交点为M，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，∴CF＝BF，∴∠BCF＝∠CBF，由（1）知，∠CAE＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CAE，∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF