2024-2025学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高三（上）期中数学模拟试卷（1）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高三（上）期中数学模拟试卷（1）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={z|z=in+1inA.1 B.2 C.3 D.42.已知2sinα+cosα=102，则tan2α=A.34 B.43 C.−33.若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5=10，A.80 B.120 C.150 D.1804.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若A.−3 B.−1312 C.13125.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x=−π6，且f(x)在(π,4π3A.52 B.3 C.72 6.已知函数f(2x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，且当x∈(0,1]时，f(x)=log2x，则f((A.2 B.−2 C.1 D.−17.如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD,cosB=55,cos∠ACB=1010A.52 B.C.172 8.已知函数f(x)=x+4x,x>0log2|x|,x<0，g(x)=A.−28 B.28 C.−14 D.14二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>0，b>0，a2+b2A.ab≤13 B.a+b≤23310.已知函数f(x)=log12(A.∃a∈R，使得f(x)为偶函数

B.若f(x)的定义域为R，则a∈(−2,2)

C.若f(x)在区间(−∞,1)上单调递增，则a的取值取值范围是[1,+∞)

D.11.定义：a,b两个向量的叉乘a×b的模|A.若平行四边形ABCD的面积为4，则|AB×AD|=4

B.在正△ABC中，若AD=|AB×AC|(AB+AC)，则|AD||BC|3=32

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为(45,−35)，∠AOC=α，若13.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为14.与曲线y=1ex和曲线y=−lnx−2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知cos(α+β)=255，tanβ=17，且α,β∈(0,π2)．

16.(本小题15分)

设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2=1，2Sn=nan．

(1)求{17.(本小题15分)

锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知(b+c)(sinB−sinC)=(a−c)sinA，S△ABC=34，点D是AB的中点，点E在线段BC上，且BE=2EC，线段CD与线段AE交于点M．

(1)求角B的大小；

(2)若BM=xBA+yBC，求x+y的值；

18.(本小题15分)

已知三棱柱ABC−A1B1C1，AB=AC=2，AA1=3，∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°，M，N为线段AC1，BA1上的点，且满足AMAC1=BNBA119.(本小题17分)

已知函数f(x)=13x3−ax2−3a2x，(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

参考答案1.C

2.A

3.C

4.C

5.D

6.A

7.B

8.A

9.AB

10.ABD

11.ABD

12.3513.121214.y=−ex

15.解：(1)因为tanβ=17，

所以cos2β−2sin2β+sinβcosβ=cos2β−2sin2β+sinβcosβsin2β+cos2β=1−2tan2β+tanβtan2β+1=2725．

(2)因为α,β∈(0,π2)，

所以0<α+β<π，

又因为cos(α+β)=255，

所以0<α+β<16.解：(1)a2=1，2Sn=nan，可得n=1时，2a1=2S1=a1，即a1=0，

当n≥2时，由2Sn=nan，可得2Sn−1=(n−1)an−1，两式相减可得2an=nan−(n−1)an−1，

当n=2时，上式显然成立，

当n≥3时，ana17.解：(1)由(b+c)(sinB−sinC)=(a−c)sinA，可得(b+c)(b−c)=a(a−c)，

整理得a2+c2−b2=ac，由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac=12，结合B∈(0,π)，可得B=π3；

(2)根据BM=xBA+yBC，可得CM=BM−BC=xBA+(y−1)BC，

由D为AB中点，得CD=BD−BC=12BA−BC，

结合CM与CD共线，可得x12=y−1−1，整理得2x+y−1=0…①，

由AM=BM−BA得AM=(x−1)BA+yBC，由BE=23BC，可得AE=BE−BA=−BA+23BC，

结合AM与AE共线，可得x−1−118.证明：(1)过M，N分别作ME//CC1交AC于点E，NF//A1A交AB于点F，

因为AA1/​/CC1，所以ME/​/NF，所以MECC1=AMAC1且NFAA1=BNBA1，

因为AMAC1=BNBA1，所以MECC1=NFAA1，所以ME=NF，所以四边形MEFN为平行四边形，

所以MN/​/EF，因为MN⊄平面ABC，EF⊂平面ABC，所以MN/​/平面ABC；

证明：(2)因为BB1=3，BC=2，B1C=AC−AB1=AC−AB−AA1，

所以|B1C|2=(AC−AB−AA1)2=4+4+9−2×2×2×12−2×2×3×12+2×2×3×12=13，

所以|B1C|=13，所以BB12+BC2=B1C2，所以BB1⊥BC；

解：(3)取BC中点D，连接A1D，AD，

因为△ABC为等边三角形且AB=2，则AD⊥BC，

所以AD=3，在△A1AB中，A1B=4+9−2×2×3×12=7，由△A1AB≌△A119.解：(1)∵f′(x)=x2−2ax−3a2=(x+a)(x−3a)，

①当−a<3a，即a>0时，f′(x)的符号草图为：

∴f(x)在(−∞,−a)，(3a,+∞)单调递增，在(−a,3a)单调递减；

②当−a=3a，即a=0时，f′(x)的符号草图为：

∴f(x)在R上单调递增；

③3a<−a，即a<0时，f′(x)的符号草图为：

∴f(x)在(−∞,3a)，(−a,+∞)单调递增，在(3a,−a)单调递减，

综合可得：当a<0时，f(x)在(−∞,3a)，(−a,+∞)单调递增，在(3a,−a)单调递减；

当a=0时，f(x)在R上单调递增；

当a>0时，f(x)在(−∞,−a)，(3a,+