《附15套高考模拟卷》江苏南京宁海中学2020年高考考前模拟数学试题含解析

江苏南京宁海中学2020年高考考前模拟数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.若（石+；）（公-1）展开式中含j项的系数为21,则实数“的值为（）

A.3B.-3C.2D.-2

x-sinx,x<0

2.设/（幻=；,、八，则函数/（x）

r+l,x>0

A.有极值B.有零点C.是奇函数D.是增函数

3.欧拉公式*=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大

到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据

欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.下列命题中：

2

①若命题x；-Xo〈O,则，:VxeR,x-x>0;

②将y=sin2x的图象沿x轴向右平移7个单位，得到的图象对应函数为y=sin（2x-。

③“x>0”是“x+->2”的充分必要条件；

X

④已知"（/No）为圆/+丁=R2内异于圆心的一点，则直线与x+=R2与该圆相交.

其中正确的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

5.下图是计算:+；+；+•“+［的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是

A.i>8B.i>8

C.i>9D.i<9

6.若函数/(x)=x—；sin2x+asinx在R上单调递增，则”的取值范围是()

t口r111

A.[T/B.L3」c.L33」口.13-

7.各项都是正数的数列｛«,｝满足=2a“，且%%=16,则为=（）

A.1B.2C.4D.8

8.下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）

A.y=sin（x+B.y=sin（2x-/）

y=cos4x----y-cos2x----

C.I3几.V6J

9.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作.其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一

枚.问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可

作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰

有一面涂上油漆的概率为（）

125841_

A.216B.27C.9D.4

10.已知a=21n3,b=31n2,c=->贝（la，b,c的大小关系为（）

e

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>a>bD・c>b>a

11.已知复数二是一元二次方程X2一2工+2=（）的一个根，贝1Hzi的值为（）

A.1B.夜C.0D.2

12.我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似.执行该程序框图，若

输入的。，〃分别为14,18,则输出的“等于（）.

A.2B.4C.6D.8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在中，4=90,ZB=30,AC=2,P为线段A3上一点，则回+川的取值范围

为一.

5

14.若函数f（x）=-6乂-128§2乂+111（§加乂-（：（^）在（-8,+8）上单调递减,则111的取值范围是.

15.设向量弓"2不共线，向量'4+202与0+4/平行，则实数2=.

16.如图，直角三角形Q4C所在平面与平面。交于OC,平面。4CJ_平面a,NQ4C为直角，OC=4,

8为OC的中点，且=平面a内一动点满足=则办.&＞的取值范围是.

DJ

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

cosBcosC_2招sinA

17.（12分）已知在/^6。中，角川6,。的对边分别为4展,且丁+--=下而；求b的值;若cosB+V3sinB=2,

求a+c的取值范围.

/（x）=lnAa-bx（a,be/?）

18.（12分）已知函数为.当匕=0时，讨论函数/W的单调性；若函数

g（X）_/（幻

''X在x=&（e为自然对数的底）时取得极值，且函数g（x）在（0，e）上有两个零点，求实数6

的取值范围.

19.（12分）如图，四边形ABC。为矩形，平面/WEE，平面ABC。，EF//AB,ZBAF=90°,4）=2,

AB=AF=1,点P在线段上.

V6

求证：A/，平面A8CO；若二面角O—AP—C的余弦值为3，求PF

的长度.

20.（12分）如图,D是直角AABC斜边BC上一点,AC=^DC.

C若“DAC=V,求角B的大小；若BD=2DC,且AD=2招，求DC的长.

21.（12分）现有甲、乙、丙三名学生参加某大学的自主招生考试，考试分两轮，第一轮笔试，第二轮面

试，只有第一轮笔试通过才有资格进入第二轮面试，面试通过就可以在高考录取中获得该校的优惠加分，

两轮考试相互独立.根据以往多次的模拟测试，甲、乙、丙三名学生能通过笔试的概率分别为0.4,0.8,0.5,

能通过面试的概率分别为0.8,0.4,0.64.根据这些数据我们可以预测：甲、乙、丙三名学生中至少有两名

学生通过第一轮笔试的概率；甲、乙、丙三名学生能获得该校优惠加分的人数X的数学期望.

22.（10分）在A4BC中，AB=",BC=3,3,。为线段AC上的一点，E为的中点.

求N4CB；若ASCD的面积为3,求。E的长度.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、A

2、D

3、B

4、C

5、B

6、C

7、A

8、D

9、C

10、C

11、B

12、A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、［瓜26

近也

14、［-T,T］

1_

15、2

16、N”）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）b=f⑵a+c€层病

【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b的值，所以可以考虑到根据余弦定

sinAa

理将cosB.cosC分别用边表示，再根据正弦定理可以将嬴转化为2,于是可以求出b的值；（2）首先根据

smB+辰osB=2求出角B的值，根据第（1）问得到的b值，可以运用正弦定理求出AABC外接圆半径R,

于是可以将a+c转化为2RsinA+2RsmC,又因为角B的值已经得到，所以将2RsmA+2RsmC转化为关于A的

正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角B的值后，应用余弦定理及重要不

22

等式a+c>2ac,求出a+c的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件.

cosBcosC_26sinA

试题解析：（1）由b"c-3sinC,

应用余弦定理，可得

222222岛

-a-+-c----b-+-a--+-b---c-=-2--

2abc2abc3c

一招

化简得2b=椀心=彳

（2）vcosB+招sinB=2

・1一怖.71

--cosB+ysinB=】即sin（展+B）=1

・•・BjO#，B+*4所以B=g

b

法2R=^B=1,

则a+c=sinA+sinC

lit

=sinA+sin（y-A）

3•A招A

TSinA+

=2T2TCOSA

=A^sin（A+》

x"o<A<y,

法二

因为由余弦定理

得，

又因为，当且仅当时“”成立.

所以

又由三边关系定理可知

综上

考点：1.正、余弦定理；2.正弦型函数求值域；3.重要不等式的应用.

18、（1）/（处在（0,*"）上单调递增，在（*“,+o。）上单调递减；（2）（4，—）.

e2e

【解析】

【分析】

(1)当/?=0时，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可判断f(X)的单调性;

(2)函数g(x)在(O,e)上有两个零点等价于函数g(x),xe(O,e)的图像与x轴有两个交点，数形结合即

可得到实数〃的取值范围.

【详解】

(1)当匕=0时，/(%)=—

--x-flar-6?)

1+。一Inx,

2

・"一X

令r(x)=。，得

当XG(0,e”")时，/'(x)>0,当时，/'(x)<0.

所以函数/(x)在(0,*")上单调递增，在(*",+8)上单调递减.

(2)g(x\=l^l=^^—b,\_；"2一(山一”>211+2。-2底，

XXgI町一p-P

•••8(同在.丫=”时取得极值，

.•.g[&)=0即1+2。-1=0,

••。=0・

~…/XInx,，/、1-21nx

所以g(x)=1__b,g(x)=——，

函数g(x)在(0,4)上单调递增，在(&,+℃)上单调递减,

g(e)<0,

...当函数g(x)在(0,e)上有两个零点时，必有

----b>0,

[2e

1,1

得二<b<——.

e22e

当!<力<，时，g(』]=_e2一力<0.

e22e\e)

.••g(x)的两个零点分别在区间

的取值范围是

【点睛】

已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

⑴直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

19、(1)见解析；(2)旦

3

【解析】

【分析】

(1)先证明/，又平面AB石尸，平面ABCD,即得AFJ_平面ABCO；(2)以A为原点，以AB,

AD,AE为x,丁，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题得

।\m-AB2_V6

cosm,AB\=1——

1

\m\\AB223,解方程即得解.

1-J4+1+

1^1

【详解】

(1)证明：VZBAF=90°,：.AB±AF,

又平面ABE尸J_平面A6C£),平面ABE尸平面ABCD=AB,A尸u平面43E/7,

AAb_L平面ABCD.

(2)以A为原点，以AB,AD,A尸为x,丁，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),8(1,0,0),C(l,2,0),D(0,2,0),产(0,0,1),

AF£>=(O,2,-l),AC=(1,2,0),AB=(1,0,0)

由题知，AB，平面AO/，

:.AB=(1,0,0)为平面AD尸的一个法向量，

设FP=；l尸。(OW/l<l),则P(o,2/l/一丸)，AP=(O,2/M-X),

m♦AP=0

设平面4PC的一个法向量为帆=(x,y,z),贝卜

m-AC-0

2Ay+(1—2)z=0

令y=L可得加=-2,1,

x+2y=0

,।Im-AB

2苫,得2=；或2=-1(舍去),

.w阴”'2/1

l-4+1+

4、声

:.PF=—.

3

【点睛】

本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析

推理能力.

20、(I)=60°；(II)2.

【解析】

【分析】

(1)先根据正弦定理求得smZADC,由此得到NADC的值，进而求得々C,在直角三角形ABC中求得B的

大小.(2)设DC=x,利用DC表示出AB,BD,求得smB,cosB的值，利用余弦定理列方程，解方程求出x,

也即求得DC的值.

【详解】

AC_______DC

(1)在AADC中，根据正弦定理，有sMAJDCsMDAC,

VAC=A/3DC,

.sin/ADC=V3sin^DAC=v

又4ADC=4B+4BAD=ZB+600>60°,

.“ADC=120°,

于是4c=180°-120°-30°=30°,

.-.ZB=60°.

(2)设DC=x,贝!JBD=2x,BC=3x,AC=^3x,

AC招A

于是s1nB=诟=5,cosB=T,AB=«x,

)2，

在AABD中，由余弦定理，得AD=AB+BD--2ABBDcosB,

222

即(2扬2=6X+4X.2x"xx2xxY=2x

x=而，故DC=而

【点睛】

本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查方程的思想，属于基础题.

21、(1)0.6(2)0.96

【解析】

【分析】

（1）本题可以将“至少有两名学生通过第一轮笔试”分为“只有甲没有通过笔试”、“只有乙没有通过笔试”、“只

有丙没有通过笔试''以及"都通过了笔试''四种情况，然后算出每一种情况所对应的概率并求和，即可得出

结果；

（2）首先可以判断出题意满足二项分布X〜8（3,0.32）,然后根据二项分布的相关性质即可得出结果。

【详解】

（1）记事件A：甲通过第一轮笔试，事件3：乙通过第一轮笔试，

事件C：丙通过第一轮笔试，事件至少有两名学生通过第一轮笔试，

贝！JP（A）=0.4,P（3）=0.8,P（C）=0.5.

P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）,

=P（A）P（B）P（C）+P（A）P伍）P（C）+P（Z）P（B）P（C）+P⑷尸⑻P（C）,

=0.4x0.8x0.5+0.4x0.2x0.5+0.6x0.8x0.5+0.4x0.8x0.5=0.6,

所以至少有两名学生通过第一轮笔试的概率为0.6o

（2）因为甲、乙、丙三名学生中每个人获得优惠加分的概率均为（）.32,

所以X~8（3,0.32）,故£（X）=3x0.32=0.96。

【点睛】

本题考查概率的计算以及数学期望的求法，计算概率类问题时，首先可以将所求事件包含的所有可能事件

列举出来，然后求出每一种可能事件的概率并求和，就是所求事件的概率，考查二项分布，是中档题。

22、（1）-；（2）巫^

42

【解析】

【分析】

（1）由三角形的正弦定理得到sinZACB,由特殊角的三角函数值得到NACB的大小；（2）根据三角形

面积公式得到|DC|=2V2,再由余弦定理得到目长.

【详解】

（1）在AA3C中，由正弦定理得：।州二心5,

sinZACBsinZA

AB\sinZAV2

所以sinNACB

\BC\~-

X|AB|<|BC|,所以NACB<NA,

式

所以=­,

4

(2)在ABC。中，由=3得：S^CD=-\BC\\DC\sinZACB=3,

所以⑷q=2&.

在ACDE中，由余弦定理得|。目2=\CEf+\DCf-2\CE\\DC\COSZACB,

所以|。目Vn

r

【点睛】

这个题目考查了正弦定理和余弦定理解三角形，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个

主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一

般来说，当条件中同时出现及〃、/时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交

叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解

答.2019-2020高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

3

1.在△A3C中，内角。为钝角，sinC=1,AC=5,AB=35则8C=()

A.2B.3C.5D.10

2.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米

处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000

米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完

下一个10米时，乌龟仍然前于他1米所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里

斯和乌龟的距离恰好为102米时，乌龟爬行的总距离为()

10—1()5_11()5_91()4_9

A.――B.御鼠C.90D.900

3.设复数z=l+i,则1+z2=

Z

_5i__5_i_5i_5_i_

A.22B.22c.22D.22

4.已知。,月,7是三个不同的平面，"4"是两条不同的直线，给出下列命题:

①若加//a,〃ua,则加//〃；

②若ac°=//n,且〃则“//d”//£；

③若〃J_a,〃?u民。///，则右J_〃；

④a_Ly,p_Ly,ac/?=m,"uy,则〃z_L〃.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

5.若函数,f（x）=sinOx+e）,其中w>Q,\（f\<~,x&R,两相邻的对称轴的距离为金/电为最大值,

则函数/（外在区间[0,兀]上的单调递增区间为（）

[0,勺Hr㈤[0,-]匕㈤[0,A[―，^]

A.6B.3c.6和3D.6和3

6.某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工

作,根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（）

1111

--

2C4

A.B.D.

--

36

7.已知抛物线C:y2=2p无（p>0）的焦点为F,过F且倾斜角为120。的直线与抛物线C交于A,B两点,

若AF,BF的中点在y轴上的射影分别为M,N,且|加叫=4/，则p的值为（）

A.2B.3C.4D.6

8.已知点M是AABC所在平面内一点，满足‘AM=+；AC，贝必ABM与ABCM的面积之比为（）

381

A.8B.3C.3D.3

9.如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089

个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（）

A.4B.5C.8D.9

x—y+220

10.设X,y满足约束条件，x+yNO,贝!）2=*+1）2+丁的最大值为（）

x<3

A.41B.5C.25D.1

11.如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表

面积为（）

]log(x+l),x>l

/(x)=<2

12.己知函数口/<1，则满足/(2x+D</(3x—2)的实数*的取值范围是()

A.(—8,01b,0,+oo)c.口,3)D.(°」)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若函数y=/(x)的图象存在经过原点的对称轴，则称y=/(x)为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋

转对称函数”的有.(填写所有正确结论的序号)

A

=p(x<0)1+X

①[lnx(0<xWl)；②，cos(4_x)；③y=in(M+l).

2

14.已知双曲线C:x-4/=lt过点P(2,0)的直线/与c有唯一公共点，则直线I的方程为.

15.AABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cosA=GcosB,b=^a,c=4,M,N是边

AC上的两个动点，且AM=2CN,则的最大值为.

2

16.二项式(x2-x)6的展开式中的常数项是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(")=”—疝/求曲线在点O,/⑴)处的切线方程；若

k।x/(x)<0

X5X在(Lx°)上恒成立，求实数攵的取值范围.

18.(12分)在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点年(-祗0),F2(A/3,0),Q为平面上的动点，且F?Q|=4,

线段F]Q的中垂线与线段F?Q交于点P.

(1俅PF1I+IPF2I的值，并求动点P的轨迹E的方程；

⑵若直线1与曲线E相交于A,B两点，且存在点D(4,0)(其中A,B,D不共线)，使得々ADO=4BDO,

证明：直线1过定点.

19.(12分)某书店为了了解销售单价(单位：元)在[8,20]]内的图书销售情况，从2018年上半年已经

销售的图书中随机抽取100本，获得的所有样本数据按照[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),

[16,18),[18,20]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，已知样本中销售单价在口4/6)内的图书数是

销售单价在［18,20］内的图书数的2倍.

书销售单价的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；用分层抽样的方法从销售单价在［8,

20］内的图书中共抽取40本，求单价在6组样本数据中的图书销售的数量；从（2）中抽取且价格低于12

元的书中任取2本，求这2本书价格都不低于10元的概率.

20.（12分）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsm（A+；）=asmB.求角1的大小；已知b=3,

SAABC=3\。，求a的值.

21.（12分）已知等差数列的公差若％+。9=22,且牝，的，《3成等比数列.求数列｛《』的

通项公式；设4"向，求数列的前〃项和S".

22.（10分）哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位

同学的20次成绩如茎叶图所示；

（I）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；

（H）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论

即可）；

（IH）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A为“其中2个成绩分别属

于不同的同学”，求事件A发生的概率.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、A

2,B

3、D

4,C

5、D

6、C

7、D

8,C

9、B

10、A

11、C

12、B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、①②

11

15、2

16、240

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)y=x(IDk<-

2

【解析】

【分析】

(1)利用导数求得斜率，再求得切点坐标，由此求得切线方程.(II)将原不等式分离常数得

k<-x\nx+-x2,构造函数y=—利用导数求得>>/,由此求得左的取值范围.

【详解】

解：(I)/(%)='-疝1^的导数为/'(x)=2%_(lnx+l),

可得切线的斜率为1,切点为(1,1),

切线方程为y-l=x—l,即、=%；

(H)若4+2一/区<0在(1,+8)上恒成立，

x2x

可得Z<-xlru+gx?在(1,+8)上恒成立，

1

令y=-xlnx+5x7,贝!|V=-lnx-l+x,

yr,=-1+l>0,可得y'在(1,+8)上单调递增，

则y*>-lnl-1+1=0,

可得y在(L+8)上单调递增，

E1

贝Uy>2,

则左L

2

【点睛】

本小题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题.

2

18、(1)]+y2=「(2)详见解析.

【解析】

【分析】

⑴由中垂线性质可知IPFJ+|PF2|=|QF2|=4,根据椭圆性质得出P点轨迹方程；

(2)设A(Xi，yp,B(x2；y2),直线1方程为x=my+n,与椭圆方程联立方程，利用根与系数关系得出关系式，

由乙9O=4BDO可知)<DA+kDB=°，根据斜率公式化简即可得出m,n的关系，从而得出直线1的定点坐

标.

【详解】

解：⑴由已知F](-亚0),F2(A/3,0),|F2Q|=4,

依题意有：IPFJ=|PQ|,

•'IPFJ+|PF2|=|PQ|+|PF2|=|QF2|=4,

故点P的轨迹是以Fi，F?为焦点，长轴长为4的椭圆，即©=也，a=2,••-b=l,

2

故点P的轨迹E的方程为士+y2=].

(2玲A(xi，yp,B(x2,y2),

因A,B,D不共线，故1的斜率不为0,

Ix=my+n

令1的方程为：x=my+n,则由熄+4丫2=4得(m?+4)y2+2mny+n2-4=0，

A7272

△=4m、.4(nT+4)(n-4)>0>

“ADO=4BDO,,,,kDA+kDB=0,

即三+与0,整理得,少尸的-4%+丫2)=0,②

X]・4X2-4

而XM+XM=y1(my2+n)+y2(my1+n)=2my1y2+n%+y2),代入⑷得：

2my1y2+(n-4)d+y2)=0,Q3?

把代入得：，

当时，得：，

此时1的方程为：，过定点.

当时，亦满足，此时I的方程为：

综上所述，直线1恒过定点.

【点睛】

本题考查了椭圆的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，通常需要联立直线与椭圆方程，由韦达定理，结

合题中条件求解即可，考查中档题.

2

19、(1)见解析；(2)6本；(3)-

【解析】

【分析】

(1)先求出x与再根据直方图求出平均值；

(2)根据分层抽样是按比例抽样可得结果；

(3)用列举法和古典概型概率公式求出结果

【详解】

(1)样本中图书的销售单价在[14,16)内的图书数是x2x10()=2(X)x,

样本中图书的销售单价在[18,20)内的图书数是y2x100=200)，，

依据题意，有200x=2x200y,即x=2y,①

根据频率分布直方图可知(0.1x2+0.025+x+0.05+y)x2=1,②

由①<2)得x=0.15,y=0.075.

根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数为

8+10八c10+1212+1414+1616+1818+20„

-------x0.025x2+--------x0.05x2+---------x0.1x2+--------x0.15x2+--------x0.1x2+---------x0.075x2=0.45+1.1+

222222

2.6+4.5+3.4+2.85=14.9(元)

(2)因为销售单价在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]的图书的分层抽样比为1：2：4：

6：4：3,故在抽取的40本图书中，销售单价在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]内的图

124643

书分别为40X—=2,40X—=4,40X—=8,40X—=12,40X—=8,40X—=6(本)

202020202020

(3)这40本书中价格低于12元的共有6本，其中价格低于1。元的2本，记这2本为A，4,另外4本

记为4，鸟,员,4，从中抽取2本的基本事件有:

A4,4耳,A/4四,4星,42片,4%A2%耳为,耳岛,8色,共is个,其中价

格不低于10元的有6个，所以：

这2本书价格都不低于10元的概率尸=2=[.

【点睛】

本题考查了频率分布直方图、分层抽样及概率问题，较为简单

20、(I)A=(II)a=

【解析】

【分析】

(I)由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角函数的性质即可确定角的大小；

(II)由题意首先由面积公式确定c的值，然后结合余弦定理即可求得边长a的值.

【详解】

([)因为bsin(A+：)=asinB，由正弦定理得sinBsin(A+：)=sinAsinB，

因为0<B<兀，所以sinBRO,所以sin(A+])=sinA,

所以sinA=sinAcos^+cosAsin]

所以tanA=Vi，因为。<A<?r,所以A=：.

(II)因为SAABC=；bcsinA，所以3招=；x3cxsin：，所以c=4,

所以a~=b~+c--2bccosA=9+16-2x3x4xcosg=13，所以a=

【点睛】

在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一

般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解

决三角形问题时，注意角的限制范围.

2n2n

21、(1)an=2n-\(2)Sn=-

2〃+1

【解析】

【分析】

(1)由条件列方程组，求出首项和公差，确定通项公式；

⑵利用为确定力，再将2裂项变形，代入S“，化简可得.

【详解】

(1)设数列｛4｝的首项为卬，依题意,

2q+10d=22

(q+7d『=(q+44)(q+12d)'

解得6=1,Q=2,

•••数列｛q｝的通项公式为%=2〃-1.

⑵b4——4/

a〃a〃+T（2〃—1）（2〃+1）4n2-1

i1.If111

（2n-l）（2n+l）2（2〃-12几+1J

2n2+2〃

=n+—

22〃+1

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，利用裂项相消求数列前n项的和，考查方程的思想，属于中档题.

22、(I)见解析.

(II)乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中.

3

(III)

5

【解析】

分析：(D根据中位数的定义可得甲、乙两位同学成绩的中位数,由茎叶图可得频数，由频数得频率，从而

可得纵坐标，进而可补全直方图；(II)从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，

乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中；(III)利用列举法，甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任

意选出2个成绩的基本事件有10个，其中2个成绩分属不同同学的事件有6个，利用古典概型概率公式可

得结果.

详解：(D甲的成绩的中位数是119,乙的成绩的中位数是128,

（II）

从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中.

(III)甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a,b,乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c,d,e

现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有：

(a,b),(a,c)(a,d)(a,e)(b,c)(b,d)(b,e)(c,d)(c,e)(d,e)共10种，

其中2个成绩分属不同同学的情况有：(a,c)(a,d)(a,e)(b,c)(b,d)(b,e)共6种

因此事件A发生的概率P(A)=指=|.

点睛：本题主要考查茎叶图与直方图的性质、古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公

式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本事件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件

个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个

数时，一定要按顺序逐个写出：先(4，耳)，(人网)….(A，纥),再(4,男)，(怎打).….(匹纥)依

次(4,耳)(4也)….⑷出,)…这样才能避免多写、漏写现象的发生.

2019-2020高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.不等式1-，>0成立的充分不必要条件是

X

A.X>\B.%>—1C.%<—1或0<%<1。・一1<%<0或无>0

2.执行右面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=（）

7

2OT-

B.2

3.若p〉l,0<m<n<1,则下列不等式正确的是（）

但）P、1p-min-p-p

A.K'B.南7（二C.m<nD.logmP>lognp

4.以下四个数中，最大的是（）

]_Imi炳nl5

A.1。盯B.ec.兀D.30

5.如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表

面积为（）

A.9"+20B.9%+26c.5乃+20D.5乃+26

6.在边长为1的等边三角形ABC中，点P是边A3上一点，且.BP=2PA,则CPCB=（）

2£2

A.3B.2c.3D.1

7.已知全集1}=£集合4={l,2,3,4,5},B={xeR|xN2},下图中阴影部分所表示的集合为()

A.{1}B.{刈C.J"D,{04,2}

8.不等式一^<0的解集为

x+2

{x\-2<x<3}{x|x<-2}{x|x(-2期>3}{x|x>3}

9.在平面直角坐标系X。)，中，角a、厂的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终

3443

边分别与单位圆相交于A、B两点,若点A、8的坐标分别为和(一^]),则sin(a+£)的值为

()

24_1__24

A.25B.25c.0D.25

/、facosx+2,x>0,i

10.已知函数f(x)=2X-1,g(x)=〈2(aGR),若对任意X1G[L+oo),总存在X26R,

[x+2a,x<Q

使f(xi)=g62),则实数a的取值范围是()

[U]

AUK]VDHlit

11.若/(x)=lg(x2_2G+l+a)在区间(F,1]上单调递减，则。的取值范围为()

A.U，2)B.U’2】c,U，+8)D.12，+8)

12.运行如图所示的程序框图，则输出的s值为()

A.-10B.-9C.-8D.-6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(%)=Acos(的+。)的图象如图所示，/(|)=-|,贝！]/(0)=

.jA—B..2+V2

sm----------bsinAsin3=

14.在△ABC中，24，角0=

„邑3+1=〃

15.已知数列｛4J的通项公式为4=2,记数列｛”/"｝的前〃项和为S"，若2"+],则数列出“｝

的通项公式为2=.

16.某校共有高

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在AABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对边的长，a（sinA-smB）=（c-b）（sinB+sinC）.求

角C的值；若a=4b,求sinB的值.

18.（12分）已知函数/（x）=lnx,g（x）=o?_x（aeR）^a=_i,求函数R（x）=/（%）+g（x）的单调

区间；若曲线“X）与g（x）在公共点P处有相同的切线，求点P的横坐标；设。＞0,且曲线/（X）与g（%）

总存在公切线，求”的最小值.

19.（12分）如图所示，正三棱锥ABC—A万G的高为2,点。是AB的中点，点E是⑸G的中点.

证明：。£//平面ACGA；若三棱锥E-OBC的体积为

x+y-2<Q

{x-y-l<0

x>0,求该正三棱柱的底面边长.

22万

„二+今=1（。＞。〉0）e=~r

20.（12分）已知椭圆°：才b~的左、右焦点分别是E、F,离心率4,过点厂

的直线交椭圆C于A、B两点，AA3E的周长为16.求椭圆°的方程；已知。为原点，圆°：

5-3）2+^=非（/＞0）与椭圆°交于"、N两点,点P为椭圆C上一动点，若直线PM、尸N与x轴

分别交于G、H两点，求证：为定值.

21.（12分）如图（1）,梯形ABC。中，AB//CD,过A,B分别作4EJ.C。，BFLCD,垂足分别

EF.AB=AE=2,CD=5,已知。E=l,将梯形A8CO沿同侧折起，得空间几何体A0E—

BCF,如图（2）.

（1）若AFLBD,证明：