必考点01简单几何体的表面积与体积（原卷版）

必考点01简单几何体的表面积与体积题型一空间几何体的结构特征例题1给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D.3例题2下列命题正确的是()A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形【解题技巧提炼】辨别空间几何体的2种方法定义法紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定反例法通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可题型二空间几何体的表面积例题1在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A．(5＋eq\r(2))π B．(4＋eq\r(2))πC．(5＋2eq\r(2))π D.(3＋eq\r(2))π例题2如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为()A．4＋4eq\r(2) B．4＋4eq\r(3)C．12 D.8＋4eq\r(2)【解题技巧提炼】求解几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积时通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积题型三空间几何体的体积例题1已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D­BB1C1的体积为________．例题2（1）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体例题3如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为()A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)【解题技巧提炼】求空间几何体的体积的常用方法公式法对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解割补法把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积等体积法一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积题型四与球有关的切、接问题例题4已知三棱锥P­ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()A．8eq\r(6)π B．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)π D.eq\r(6)π例题2(1)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是________．(2)已知正三棱锥的高为1，底面边长为2eq\r(3)，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．【解题技巧提炼】[规律探求]看个性考向(一)是几何体的外接球一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．考向(二)是几何体的内切球求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径找共性解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：题型五直观图例题5（2021·浙江高三期末）已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，那么是一个（）A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．三边互不相等的三角形（2）（2021·河南高一月考）如图，边长为的正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，则平面图形以为轴旋转一周所围成的几何体是（）A．一个圆柱B．一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体C．一个圆锥和一个同底面的圆柱(内部挖去一个同底等高的圆锥)的组合体D．两个同底的圆锥的组合体【解题技巧提炼】[1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．题型一空间几何体的结构特征1．(多选)给出下列命题，其中真命题是()A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱D．存在每个面都是直角三角形的四面体2．(一题两空)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图②是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．题型二空间几何体的表面积1.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.2．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq\f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5eq\r(15)，则该圆锥的侧面积为________．题型三空间几何体的体积1.如图，正四棱锥P­ABCD的底面边长为2eq\r(3)cm，侧面积为8eq\r(3)cm2，则它的体积为________cm3.2.如图，已知体积为V的三棱柱ABC­A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一点，则四棱锥P­AA1C1C的体积为________．题型四与球有关的切、接问题1.如图，在矩形ABCD中，EF∥AD，GH∥BC，BC＝2，AF＝FG＝BG＝1.现分别沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为()A．24π B．6πC.eq\f(16,3)π D.eq\f(8,3)π2．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________．题型五直观图1．如图，在水平放置的三角形的直观图中，是中边上的点，且，，，那么，，三条线段对应原图形中线段，，中（）A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是2如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原平面图形ABC中（）A．AB与AC相等B．AD的长度大于AC的长度C．AB的长度大于AD的长度D．BC的长度大于AD的长度一、单选题1．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，胡夫金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米.因年久风化，胡夫金字塔现高约为136.5米，则与建成时比较顶端约剥落了（

）A．8米 B．10米 C．12米 D．14米2．设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为（

）A．12 B．24 C．4 D．303．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC=AB=2，则原平面图形的面积为（

）A． B． C． D．4．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约5100年．至新石器中晚期，玉琮在江浙一带的良渚文化、广东石峡文化、山西陶寺文化中大量出现，尤以良渚文化的玉琮最发达，出土与传世的数量很多．现一仿古玉琮呈扁矮的方柱体，通高，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔，孔径，外径，试估计该仿古玉琮的体积约为（

）（单位：）A．3300 B．3700 C．3900 D．45005．已知四棱锥底面为边长为2的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为，则它的表面积为（

）A．8 B．12 C． D．206．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（

）A．4 B．3 C．2 D．27．在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（

）A． B． C． D．8．六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是（不计氟原子的大小）（

）A． B． C． D．二、多选题9．如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（

）A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为10．某圆锥的底面半径为3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（

）A．圆锥的侧面展开图的圆心角为B．圆锥的体积为C．过圆锥的两条母线作截面的面积最大值为8D．圆锥轴截面的面积为11．（多选）圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为（

）A． B． C． D．12．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则下列结论正确的是（

）A．若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值是4B．勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是C．勒洛四面体ABCD的体积是D．勒洛四面体ABCD内切球的半径是2

图3三、填空题13．已知圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面）是一个边长为2的正方形，则此圆柱的体积为________．14．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为，则圆柱的高为________．15．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高_______．16．在三棱锥中，已知，，两两垂直，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为___________.四、解答题17．已知圆柱高为4，母线与侧面展开图的对角线成角，求该圆柱的体积.18．如图，已知直三棱柱，其底面是等腰直角三角形，且，.(1)求该几何体的表面积；(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值.19．已知一圆锥的母线长为，底面半径为.（1）求圆锥的高；（2）若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积和体积.20．一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球的表面积的，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.（1）试确定R与r的关系，