621622排列与排列数（精练）

排列与排列数【题型1排列的概念及其判断】1、（2022·高二课时练习）从集合中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？上面四个问题属于排列问题的是（）A．①②③④B．②④C．②③D．①④【答案】B【解析】∵加法满足交换律，∴①不是排列问题；∵除法不满足交换律，∴②是排列问题；若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有，故③不是排列问题；在双曲线中不管还是，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故④是排列问题．故选：B．2、（2022·高二单元测试）（多选）下列问题属于排列问题的是（）A．从10个人中选2人分别去种树和扫地B．从10个人中选2人去扫地C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队D．从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算【答案】AD【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人分工不同，是排列问题；对于B，从10个人中选2人去扫地，与顺序无关，是组合问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，是组合问题；对于D，从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题．故选AD.3、（2022·高二课时练习）（多选）下列问题中，属于排列问题的有（）A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选取方法B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动，共有多少种不同的选取方法C．平面上有五个点，任意三点不共线，这五个点最多可确定多少条直线D．从1，2，3，4四个数字中任选两个组成一个两位数，共有多少个不同的两位数【答案】AD【解析】对于A，因为两名同学担任的是正、副班长，所以是排列问题，A正确；对于B，因为两名同学参加的志愿者活动与顺序无关，所以不是排列问题，B错误；对于C，五个点中任取两个点，不涉及顺序问题，因此不是排列问题，C错误；对于D，四个数字中任取两个组成两位数，与顺序有关，是排列问题，D正确．故选：AD4、（2022春·山东烟台·高二莱州市第一中学校考开学考试）(多选)下列问题中，属于排列的有（）A．10本不同的书分给10名同学，每人一本B．10位同学去做春季运动会志愿者C．10位同学参加不同项目的运动会比赛D．10个没有任何三点共线的点构成的线段【答案】AC【解析】因为排列与顺序有关系，因此AC是排列，BD不是排列，故选AC.5、（2023·高二课时练习）给出下列问题：①有10位同学，每两人互通一次，共通了多少次？②有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？③有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？以上问题中，属于排列问题的是______．（写出所有满足要求的问题序号）【答案】②【解析】对于①，假设10位同学中含甲乙，甲与乙通一次，也就是乙与甲通一次，没有顺序区别，故不是排列问题；对于②，假设10位同学中含甲乙，甲给乙写一封信，跟乙给甲写一封信，是不一样的，是有顺序区别的，故属于排列问题；对于③，假设10位同学中含甲乙，甲与乙握一次手，也就是乙与甲握一次手，没有顺序区别，故不是排列问题，故答案为：②【题型2排列数的简单计算】1、（2022秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）计算：（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选：B2、（2021春·山西大同·高二校考阶段练习）若，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因且，表示81个连续正整数的乘积，其中最大因数为，最小因数为，由排列数公式的意义得结果为，所以.故选：D3、（2022·高二课时练习）（多选）（）．A．B．C．D．【答案】ABD【解析】，B正确，C不正确；而，即，A正确，D正确.故选：ABD4、（2022春·河北石家庄·高二校考阶段练习）的值为________．【答案】696【解析】由已知可得，解得，所以.5、（2022·高二课时练习）对任意正整数n，定义n的双阶乘：当n为偶数时，；当n为奇数时，，则下列四个命题中错误的是（）A．B．C．的个位数字为0D．的个位数字为5【答案】B【解析】由根据双阶乘的定义可得，，所以，所以A正确；由，所以B错误；因为能被10整除，所以的个位数字为0，所以C正确；因为能被5整除，所以个位数字为5或0，又是奇数，所以的个位数字为5，故D正确．故选：B．【题型3证明排列数恒等式】1、（2022·高二课时练习）证明，并利用这一结果化简：（1）；（2）．【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】（1）证明：由可得，则.所以（2）因为，所以.2、求证：．【答案】证明见解析【解析】左边，右边，所以，即证.3、（2022·高二课时练习）证明：.【答案】见解析【解析】,.4、（2021·高二课时练习）求证：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）右式左式，故等式成立；（2）左式右式，故等式成立.【题型4解排列式方程与不等式】1、（2022·高二课时练习）若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，化简可得，则.故选：B2、（2022·全国·高三专题练习）已知，则的值是______．【答案】【解析】由题设，，即，所以.故答案为：3、（2022·全国·高三专题）设，，则等式中______．【答案】【解析】，，解得：.故答案为：.4、（2022·全国·高三专题练习）若不等式成立，则_____________.【答案】6【解析】，，解得：又，即5、（2022·高二课时练习）（1）解不等式：；（2）解方程：【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可知，且，因为，，，所以原不等式可化为，整理得，所以，，所以原不等式的解集为；（2）易得，所以，，由得,整理得，即，解得或（舍去）.所以，原方程的解为.【题型5排列应用之排队问题】1、（2022秋·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）某学校文艺汇演准备从甲、乙、丙、丁、戊5人中选4人参加演出．要求甲和乙必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足甲在前、乙在后，那么不同的演出顺序种数有（）A．18种B．24种C．36种D．72种【答案】C【解析】先从丙、丁、戊3人中选2人，有种，再把4人排列满足甲在前、乙在后，有，∴总共有种．故选：C2、（2022秋·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）根据新课改要求，昆明市艺卓中学对学校的课程进行重新编排，其中对高二理科班的课程科目：语文、数学、英语、物理、化学、生物这六个科目进行重新编排（排某一天连续六节课的课程，其中每一节课是一个科目），编排课程要求如下：数学与物理不能相邻，语文与生物要相邻，则针对这六个课程不同的排课顺序共有（）A．144种B．72种C．36种D．18种【答案】A【解析】语文与生物要相邻，将语文与生物捆绑看作一个整体.数学与物理不能相邻，采用插空法，后排.第一步，将语文与生物捆绑看作一个整体后，与英语、化学共3个，排列种类为；第二步，第一步完成后共有4个位置，将物理和数学排好，排列种类为；第三步，语文与生物的排列种类为.所以，总的排列顺序有.故选：A.3、（2023·全国·高三专题练习）“四书”“五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，共有种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有种排法，排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位，从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有种排法，故总共有种排法，故选：C.4、（2023·全国·高三专题练习）现有6家商户预租赁某夜市的6个相邻的推位，其中3家商户开特色小吃店，2家商户开文创产品店，一家商户开新奇玩具店，夜市管理部门要求特色小吃店必须都相邻，且文创产品店不相邻，则不同的排法总数为（）A．48B．72C．144D．96【答案】B【解析】先把3家小吃店捆绑全排共有种排法，再把小吃店与玩具店全排共有种排法，然后把2家文创店插空全排共有种排法，所以共有6×2×6＝72种故选：B.5、（2022春·江苏盐城·高二盐城市田家炳中学校考期中）现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答）（1）两端是女生，有多少种不同的站法？（2）任意两名女生不相邻，有多少种不同的站法？（3）女生甲要在女生乙的右方(可以不相邻)，有多少种不同的站法？【答案】（1）720；；（2）1440；；（3）2520；【解析】（1）选2女生排两端有种方法，再排其余学生有种方法，所以两端是女生的不同站法有种.（2）先排4名男生有种方法，再将3名女生插入5个空隙中有种方法，所以任意两名女生不相邻的不同站法有种.（3）7名学生的全排列为，而甲乙的顺序有2种，所以女生甲要在女生乙的右方的不同站法有种.【题型6排列应用之排队问题】1、（2022·高二课时练习）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（）A．24B．18C．12D．6【答案】C【解析】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2中选一个数字为个位数，有2种可能，从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有种可能，故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为．故选：C．2、（2022春·全国·高二期末）用数字0，1，2，3，4，5，可以组成没有重复数字，并且比30000大的五位偶数（）．A．288个B．192个C．144个D．126个【答案】B【解析】个位上是0时，有个；个位上是2时，有个；个位上是4时，有个，∴共有符合条件的偶数个；故选：B．3、（2022春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）（多选）用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是（）A．组成的三位数的个数为60B．在组成的三位数中，偶数的个数为30C．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24【答案】BC【解析】对于A，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为，故A不正确；对于B，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为，则有种，②个位数为或，则有种，所以在组成的三位数中，偶数的个数为，故B正确；对于C、D，将这些“凹数”分为三类，①十位为，则有种，②十位为，则有种，③十位为，则有种,所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为,故C正确，D不正确.故选：BC.4、（2022·高二课时练习）有0，1，2，3，4，5六个数字．（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？【答案】（1）156；（2）108；（3）284【解析】（1）由题意组成无重复数字的四位偶数分为三类：第一类：0在个位时，有个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个，有种，十位和百位从余下的数字中选，有种，共有个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个，由分类加法计数原理知，共有个无重复数字的四位偶数．（2）组成无重复数字且为5的倍数的四位数分为两类：个位上的数字是0时，满足条件的四位数有个；个位数上的数字是5时，满足条件的四位数有个，故满足条件的四位数有（个）．（3）组成无重复数字且比1230大的四位数分为四类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个；第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个；第三类：形如124□，125□，共有个；第四