专题16其他竞赛综合真题专项训练（全国竞赛强基计划专用）

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】专题16其他竞赛综合真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）一、单选题1．（2018·全国·高三竞赛）已知函数的定义域为，函数的定义域为，则、应满足A． B．C． D．【答案】B【详解】．若，则应有或，即或，但，则且.2．（2020·北京·高三校考强基计划）已知实数a，b满足，设的所有可能取值构成的集合为M，则（

）A．M为单元素集 B．M为有限集，但不是单元素集C．M为无限集，且有下界 D．M为无限集，且无下界【答案】B【分析】利用因式分解可求可求或，故可得正确的选项.【详解】题中条件即，也即，其中．从而或．因此的取值集合为，选项B正确．故选：B.3．（2019·全国·高三竞赛）在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个侧面的中心点、1个体的中心点,这27个点中,共球面的8点组的个数是.A．4462 B．4584 C．4590 D．4602【答案】B【详解】将立方体放入空间直角坐标系中,以体中心为原点,8个顶点分别为、、,其中,表示及其置换.由这三个平面将27个点分成三层,对每个共球面的八点组,其在任一层上至多有4个点(因每层上的9个点中无5点共圆),至少在某一层上至少有3个点.此3点的外接圆圆心(x,y)只可能在;;;;.故八点共球面的球心只可能在(1);(2),;(3);(4);(5);(6);(7),;(8).记以点为球心、为半径的球面为.该球面上包含27个点中的点的个数为.(1).,S(2).(3)(4).(5)(6)(7)(8).综上,共球面的八点组共有故答案为B4．（2018·全国·高三竞赛）已知区域与的面积分别为、（其中，表示不大于的最大整数），则A． B．C． D．不能比较与的大小【答案】C【详解】由题意知，因为、，，所以，或解得或画出其图形，可知，故.5．（2019·全国·高三竞赛）已知为锐角.则是的（

）.A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】解法1：必要性.取，有.充分性.由三维平均值不等式，有，

（1）

（2）（1）、（2）两式左右两边分别相加左边，右边.这说明，（1）、（2）两式同时取等号，有得但为锐角，故.解法2：解方程求出唯一解便可确定为充要条件.由，有.设，则，且.∴.解得，舍去.故只有，得，故，.所以，条件是充分必要的.故答案为C二、填空题6．（2019·全国·高三竞赛）计算:=_______.【答案】【详解】注意到，.两边积分得.故答案为7．（2018·湖南·高三竞赛）已知n为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于_____.【答案】【详解】因为，当时，若，则是一个既约分数，故当时，该分数是既约分数.所以这个分数为.故答案为8．（2018·湖南·高三竞赛）如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.设是第n次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为____________________.【答案】【详解】原正三角形的面积为，而第k次一共挖去个小三角形，.因此，可以采用等比级数求和公式，得到答案为.故答案为9．（2019·全国·高三竞赛）把函数的系数按其自然位置排成两行两列，记为二阶矩阵．其中，每一个数字称为二阶矩阵的元素．又记的系数所组成的二阶矩阵为A的平方，即．观察二阶矩阵乘法的规律，写出中的元素________．【答案】【详解】根据二阶矩阵乘法的规律，知中的应是中第i行的元素分别乘以A中第j列对应元素的代数和，则．故答案为10．（2018·全国·高三竞赛）设定义在上，其值域，且对任意，都有，及．则________．【答案】39【详解】由，知．若，则，矛盾．因此，．则，，，．又，故，，，．因为，，所以，，．因此，．11．（2019·全国·高三竞赛）如图，设圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．若圆台的高为，是下底面与夹角为的直径，则异面直线、所成角的余弦值为________．【答案】【详解】如图，设异面直线、所成角为，向量、的夹角为，以下底面中心为原点、所在直线为轴建立空间直角坐标系.则、、、.于是，.因此.而，，故.从而，.故答案为12．（2019·全国·高三竞赛）设为常数.若对一切，有，则实数的取值范围是____.【答案】【详解】注意到故答案为13．（2021·全国·高三竞赛）若，则的值为_______．【答案】【详解】研究二次方程和，即和．因此两方程的公共根．，故．故答案为：.14．（2021·全国·高三竞赛）若一个分数（a，b均为正整数）化为小数后，小数部分出现了连续的“2020”，例如，就称它为“好数”.则“好数”的分母的第二小的可能值为________.【答案】193【详解】我们总可以将一个“好数”适当乘一个10的方幂并减去其整数部分后使之成为一个小数点后前四位是“2020”的真分数，于是，进而，即.若，则且，所以.若，则且，所以.若，则.另一方面，是“好数”，因此b的第二小的可能值为193.故答案为：193.15．（2021·江苏·高三强基计划）使得等式成立的实数a的值为______________．【答案】8【分析】采用换元法（须注意新元的取值范围），将所给等式转化为整式方程并求解.【详解】解：由题意可得，，所以，故.设，则.解得，或（舍），或（舍）所以所以故答案为：816．（2018·全国·高三竞赛）设．且满足．则的最小值是________．【答案】【详解】已知等式因式分解得．令．则．从而，或．又点为双曲线上的点，故所求即为两图像间最小距离的平方．如图所示，显然，即为所求．故答案为17．（2019·全国·高三竞赛）已知函数与轴有两个不同的交点，并且，则的值是______．【答案】【详解】由，得或,根据题意知则，于是，解得或（舍去）.18．（2019·全国·高三竞赛）已知、、是一个直角三角形三边之长，且对大于2的自然数，成立．则______．【答案】4【详解】设，，，有．

（*）不妨设为斜边，则，．可知，，．∴（*）式等价于，即．另一方面，成立，或．因为，，为单调减函数，仅在一个点处取，因此，，．故答案为419．（2019·全国·高三竞赛）设实常数k使得方程在平面直角坐标系中表示两条相交的直线,交点为P.若点A、B分别在这两条直线上,且,则_____.【答案】【详解】由题设知，关于的二次多项式可以分解为两个一次因式的乘积.因，所以，，其中，为待定的常数.将上式展开后比较对应项的系数得.解得.再由得两直线斜率为，交点.设两直线的夹角为（为锐角）.则.故或.故答案为三、双空题20．（2018·全国·高三竞赛）阅读下面一道题目的证明，指出其中的一处错误．题目：平面上有六个点，任何三点都是三边互不相等三角形的顶点，则这些三角形中有一个的最短边又是另一个三角形的最长边．证明：第一步，对已知的六个点作两两连线，可以得出15条边，记为，，…，.第二步，由于任何三点组成的都是“三边互不相等的三角形”，因此，15条边互不相等不妨设.第三步，由于“任何三点都是三边互不相等三角形的顶点”，因此，任取三条边都可以组成三角形，则、、组成的三角形的最长边，也是、、组成的三角形的最短边,命题得证.这三步中，第______步有错误，理由是______.【答案】

二或三

第三步有错误，理由是：不能推出“任取三条边都可以组成三角形”或第二步有错误，理由是：不能推出.【详解】不能推出“任取三条边都可以组成三角形”，比如，从六个点、、、、、中，记、的连线为，记、的连线为，记、的连线为（、、互不相等），则、、未必能组成三角形，即使组成三角形也不是本题所说的“三点两两连线”所成的三角形．第二步也有错误，理由是三点组成的“单个三角形”内部边长互不相等，不能推出“多个三角形”之间边长互不相等，因而，“”中的“”也可能有“”．说明：虽然证明有错误，但结论是成立的，可把六个点“两两连线”的每个三角形最长边染成红色，剩下的边染成蓝色，然后证明必有同色三角形，又因为每个三角形都有红边，所以，同色三角形必有三边同红色的三角形，这个三角形的最短边便又是另一个三角形的最长边．四、解答题21．（2019·全国·高三竞赛）设异面直线、成角，它们的公垂线段为，且，线段的长为4，两端点、分别在、上移动.求线段中点的轨迹方程.【答案】【详解】易知点在过的中点，且与、平行的平面内.如图所示，设、在内的射影分别为、，点、在内的射影分别为、，则，且的中点即为的中点.又，，则.于是，问题转化为求定线段的两个端点分别在、上移动时，其中点的轨迹.如图所示，以的平分线为轴，为原点，建立直角坐标系.不失一般性，令，.在中，.

①设的中点的坐标为，则代入式①，化简整理得.

②这里得到的是椭圆②夹在内的弧.在另外3种情形中，同样可得到椭圆②的另3段弧.综合得点的轨迹是椭圆.22．（2018·全国·高三竞赛）已知自然数有20个正整数因子（包括1和本身），它们从小到大依次记作，，，…，，且序号为的因数为．求自然数．【答案】2000【详解】因为是的因数，所以，与是的因数．于是，，．∴．∵，∴．∴．此时，，．由知，含有1，2，4，5，10，20这六个正整数因子，所以至少含有2和5这两个质因子．又有20个正因子，，故可设为（为不等于2和5的质数）、、或．（1）当时，①当时，，，…，依次为1，2，3，4，5，6，8，10．此时，，与相矛盾．②当时，，，…，依次为1，2，4，5，7，8，10，14．此时，，与相矛盾．③当时，，，，…，依次为1，2，4，5，8，10，，16或为1，2，4，5，8，10，16，，与相矛盾．④当时，的正因数为1，2，4，5，8，10，16，20，40，80，，，，，，…．∴，，，．∴．于是，，不为质数，故．（2）当时，，，，．不满足．（3）当时，，与相矛盾．（4）当时，，，，，，，．显然满足，．∴．故所求的自然数为2000．23．（2018·湖南·高三竞赛）（1）已知P是矩形ABCD所在平面上的一点，则有.试证明该命题.（2）将上述命题推广到P为空间上任一点的情形，写出这个推广后的命题并加以证明.（3）将矩形ABCD进一步推广到长方体，并利用（2）得到的命题建立并证明一个新命题.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【详解】（1）如图①，设在直角坐标平面中，矩形ABCD的顶点坐标分别为，点是直角坐标平面上的任意一点，则故.（2）推广命题：若棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，则有.证明：如图②，设棱锥的底面ABCD在空间直角坐标系的平面上，矩形ABCD的顶点坐标为，设P点坐标为，则，，故.（3）再推广命题：设是长方体，P是空间上任意一点，则.证明：如图③，由（2）中定理可得，所以.24．（2023·全国·高三专题练习）证明不等式：．【答案】证明见解析【分析】设，求出再代入的二阶泰勒公式，即得解.【详解】设，则，，代入的二阶泰勒公式，有，．所以原题得证.25．（2019·全国·高三竞赛）在直角坐标系中，有三只青蛙A、B、C，其起始位置分别为，首先，A以B为中心跳到其对称点上，然后，B以C为中心跳到其对称点上，接着，C以A为中心跳到其对称点上，……依此类推．设A、B、C第n次跳到的位置分别为，的三边长分别为a、b、c，面积为S．证明:【答案】见解析【详解】设的三边长分别为.则由题意知

①②③由式①得

④将式④代入式②得

⑤将式⑤代人式③并整理得.其特征方程为，即.解得.则

⑥在式④、⑤、⑥中令n=0，得24解得.故又每只青蛙跳后，三只青蛙所组成的三角形面积不变，即.而，故26．（2018·全国·高三竞赛）设，记.求的值.【答案】【详解】注意到，.27．（2018·全国·高三竞赛）给定正整数,求,其中,表示不超过实数的最大整数.【答案】0【详解】令.其中,.此时,,所以,.若,则，此时.若,则，此时.若,则.若,则.则.故28．（2023·全国·高三专题练习）证明：【答案】证明见解析【分析】利用拉格朗日和三阶泰勒公式即可证明.【详解】证明：设，则在处带有拉格朗日余项．三阶泰勒公式29．（2018·全国·高三竞赛）已知为实数,且,对的子集,定义.其中,规定，问：从个这样的和中至多可以选出多少个,使得其中任何两个的差的绝对值都小于1?【答案】【详解】不妨设所有的.