2023年江苏省中考数学第一轮复习卷13图形的旋转

2023年江苏省中考数学第一轮复习卷：13图形的旋转一．选择题（共14小题）1．（2022•亭湖区校级三模）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到△A'B'C'．若∠A＝40°，∠B'＝110°，则∠BCA的度数是（）A．90° B．80° C．50° D．30°2．（2022•扬州三模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是（）A．45 B．43 C．52 D．2133．（2022•滨海县一模）如图，在△AOB中，AO＝2，BO＝AB＝3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A'OB'，连接AA'．则线段AA'的长为（）A．2 B．3 C．22 D．4．（2022•无锡二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝53，点P在线段BC上运动（含B、C两点），将点P为绕点A逆时针旋转60°到点Q，连接DQ，则线段DQ的最小值为（）A．52 B．52 C．533 5．（2022•镇江二模）△ABC是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE，则△BDE周长的最小值是（）A．2+23 B．2+3 C．4+3 6．（2022•梁溪区二模）下列是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．平行四边形 B．正方形 C．等边三角形 D．菱形7．（2022•建邺区一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，3），将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B．若点B的坐标是（5，﹣1），则点C的坐标是（）A．（﹣0.5，﹣2.5） B．（﹣0.25，﹣2） C．（0，﹣1.75） D．（0，﹣2.75）8．（2022•苏州模拟）如图，是我国国粹京剧的脸谱图案，该图案（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形 C．既是轴对称图形，也是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形9．（2022•徐州一模）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（3，5），则点B与点C的坐标分别为（）A．（﹣3，5），（﹣3，﹣5） B．（﹣5，3），（5，﹣3） C．（﹣5，3），（3，﹣5） D．（﹣5，3），（﹣3，﹣5）10．（2022•亭湖区校级三模）围棋起源于中国．古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行了围棋人机大战．截取对战机棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A． B． C． D．11．（2022•高邮市模拟）如图，已知含30°的三角板较长的直角边与作业本的一条线重合，将三角板绕点A逆时针旋转n°后，若斜边与作业本的另一条线相交成∠1，则∠1的度数可用n表示为（）A．（n+30）° B．（150﹣n）° C．（n+60）° D．（120﹣n）°12．（2022•苏州一模）如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC＝8，BC＝6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为（）A．1.4 B．1.8 C．1.2 D．1.613．（2022•靖江市二模）如图，在正方形网格中，点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（4，3），线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合（C、D均为格点），若点A的对应点是点C，则它的旋转中心的坐标是（）A．（1，2） B．（2，1） C．（3，1） D．（5，4）14．（2022•惠山区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4，动点E从点A出发沿射线AB运动，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转30°得到CF，连接AF，则△AFC的面积变化情况是（）A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．逐渐变大 D．不变二．填空题（共8小题）15．（2022•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B'处，线段AB扫过的面积为．16．（2022•无锡）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是．17．（2022•建湖县三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，点D、E分别在边BC、AB上，且DE⊥BC，BD＝6，将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，点D、E分别对应点D1、E1，当A、D1、E1三点共线时，则CD1的长为．18．（2022•亭湖区校级一模）如图．矩形ABCD，AB＝2，BC=3，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，点C的运路径为CC′当点B′落在CD上时，图中阴影部分的面积为19．（2022•江都区校级二模）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，E在AC上且AE=23AC，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值是20．（2022•扬州三模）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是．21．（2022•涟水县一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点H在AD上，且AH＝2，点E绕着点B旋转，且BE＝3，在AE的上方作正方形AEFG，则线段FH的最小值是．22．（2022•武进区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，DC=22，∠B与∠D互余，M是BC边的中点，N是AB边上一动点，在MN的右侧作等边三角形MNP，则AP长度的取值范围是．（参考数据：tan75°＝2+3，sin75°三．解答题（共8小题）23．（2022•常州）如图，点A在射线OX上，OA＝a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°（0＜n≤360）到OA′，那么点A′的位置可以用（a，n°）表示．（1）按上述表示方法，若a＝3，n＝37，则点A′的位置可以表示为；（2）在（1）的条件下，已知点B的位置用（3，74°）表示，连接A′A、A′B．求证：A′A＝A′B．24．（2022•连云港）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝3．【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．（1）如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．（3）连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．（4）如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是．25．（2022•沭阳县校级模拟）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1））点E恰好落在边AC上，如图1，求∠ADE的大小；（2）如图2，若△ABC绕点C顺时针旋转的角度为60°，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形．26．（2022•海州区校级二模）在等腰△ABC中，∠B＝90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC，垂足为N，∠EMF＝135°、将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF＝BM；（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=3，AW＝22+2，求27．（2022•靖江市校级模拟）将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A、C、D的对应点分别为A1、C1、D1．（1）如图1当点A1落在AC上时．连接CD1、AD1交CB于点O，求证：DO＝AO；（2）若BC＝5，CD＝3，①如图2，当A1D1过点C时．求出A1A的长度．②当∠A1BA＝45°时，作A1E⊥AB，△A1EB绕点B转动，当直线A1E经过D时，直线A1E交AB边于N，直接写出AN：EN的值＝．（可在备用图上画出草图求解）．28．（2022•丹徒区模拟）【探究发现】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M是边AC上一点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM．如图1，若BN与线段AC相交，连接AN、CN，在BM上取一点P，使∠BCP＝∠ACN，CP交BN于点Q，①证明：∠NAC＝∠MBC；②探究CP与CN的数量关系，并写出探究过程；【类比学习】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝n，M是边AC上一点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM，BN与线段AC相交，连接AN、CN，在BM上取一点P，使∠BCP＝∠ACN，CP交BN于点Q，CPCN=（用含【拓展应用】在前面的发现和探究的经验下，当n=22时，M是AC的中点时，若AN•NQ＝12，求29．（2022•钟楼区校级模拟）将一副三角板按如图所示的方式摆放，AB＝6，DE＝9，点D为边AC上的点，ADAC=33，（1）∠ADE的大小为度．（2）若三角板DEF固定，将三角板ABC绕点D逆时针旋转，①当点B第一次落在直线DE上时停止旋转，请在图1中用直尺和圆规画出线段AB旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法），则该图形的面积为．②当旋转至A、B、E三点共线时，求BE的长．30．（2022•宜兴市校级二模）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连接PQ交AC于点E，连接DP、DQ．设点P的运动时间为t秒，线段CE的长为y．（1）求出y与t之间的函数关系式；（2）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围；（3）如图②，取PD的中点M，连接QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．

2023年江苏省中考数学第一轮复习卷：13图形的旋转参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2022•亭湖区校级三模）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到△A'B'C'．若∠A＝40°，∠B'＝110°，则∠BCA的度数是（）A．90° B．80° C．50° D．30°【解答】解：由题意可得△ABC≌△A'B'C，∴∠B＝∠B'＝110°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣110°＝30°，故选：D．2．（2022•扬州三模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是（）A．45 B．43 C．52 D．213【解答】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE，∴∠EDA＝∠FEG，在△AED和△GFE中，∠A=∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，AD＝EG，∵AD＝AB，∴AB＝EG，∴AE＝BG，∴BG＝FG，∴F点在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C'，∵EG＝DA，FG＝AE，∴AE＝BG，∴BG＝FG，∴∠FBG＝45°，∴∠CBF＝45°，∴BF是∠CBC′的角平分线，即F点在∠CBC′的角平分线上运动，∴C'点在AB的延长线上，当D、F、C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，在Rt△ADC'中，AD＝4，AC'＝8，∴DC'=AD2∴DF+CF的最小值为45，故选：A．3．（2022•滨海县一模）如图，在△AOB中，AO＝2，BO＝AB＝3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A'OB'，连接AA'．则线段AA'的长为（）A．2 B．3 C．22 D．【解答】解：由旋转性质可知，AO＝A'O＝2，∠AOA'＝90°，∴△AOA'为等腰直角三角形，∴AA'=AO2故选：C．4．（2022•无锡二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝53，点P在线段BC上运动（含B、C两点），将点P为绕点A逆时针旋转60°到点Q，连接DQ，则线段DQ的最小值为（）A．52 B．52 C．533 【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，∴∠BAP＝∠FAQ，在△BAP和△FAQ中，BA=FA∠BAP=∠FAQ∴△BAP≌△FAQ（SAS），∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°=10∴点Q在射线FE上运动，∵AD＝BC＝53，∴DE＝AD﹣AE=5∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴DH＝DE•sin60°=5根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为52故选：A．5．（2022•镇江二模）△ABC是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE，则△BDE周长的最小值是（）A．2+23 B．2+3 C．4+3 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BAC＝60°，∵∠PBE＝60°，∴∠ABP＝60°﹣∠PBD＝∠CBE，∵BP＝BE，∴△ABP≌△CBE（SAS），∴∠BAP＝∠BCE，∵△ABC是等边三角形，AD是高，∴∠BAD=12∠BAC＝30°，BD=12过B点作BF⊥CE，交CE的延长线于点F，延长BF到G，使得BF＝FG，连接CG，DG，DG与CF交于点E′，连接BE′，EG，则∠CBF＝60°，BF＝FG=12BC＝∴BG＝BC＝4，∴△BCG为等边三角形，∴DG＝BD•tan60°＝23，CF垂直平分BG，∴BE′＝GE′，BE＝GE，∴BE′+DE′＝GE′+DE′＝DG＝23，BE+DE＝GE+DE≥DG，当E与E′重合时，即D、E、G三点共线时，BE+DE的值最小为：BE+DE＝DG＝23，∴△BDE的周长的最小值为2+23．故选：A．6．（2022•梁溪区二模）下列是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．平行四边形 B．正方形 C．等边三角形 D．菱形【解答】解：A选项，平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意；B选项，正方形是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意；C选项，等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项符合题意；D选项，菱形是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意；故选：C．7．（2022•建邺区一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，3），将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B．若点B的坐标是（5，﹣1），则点C的坐标是（）A．（﹣0.5，﹣2.5） B．（﹣0.25，﹣2） C．（0，﹣1.75） D．（0，﹣2.75）【解答】解：如图，设AB的中点为Q，∵A（﹣2，3），B（5，﹣1），∴Q（1.5，1），过点Z作AN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥AN于点K，过点C作CT⊥QK于T，则K（﹣2，1）AK＝2，QK＝3.5，∵∠AKQ＝∠CTQ＝∠AQC＝90°，∴∠AQK+∠CQT＝90°，∠CQT+∠TCQ＝90°，∴∠AQK＝∠TCQ，在△AKQ和△QTC中，∠AKQ=∴△AKQ≌△QTC（AAS），∴QT＝AK＝2，CT＝QK＝3.5，∴C（﹣0.5，﹣2.5）故选：A．8．（2022•苏州模拟）如图，是我国国粹京剧的脸谱图案，该图案（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形 C．既是轴对称图形，也是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【解答】解：该图案是轴对称图形，但不是中心对称图形．故选：A．9．（2022•徐州一模）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（3，5），则点B与点C的坐标分别为（）A．（﹣3，5），（﹣3，﹣5） B．（﹣5，3），（5，﹣3） C．（﹣5，3），（3，﹣5） D．（﹣5，3），（﹣3，﹣5）【解答】解：∵正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，且A点的坐标为（3，5），∴C点的坐标为（﹣3，﹣5），B点的坐标为（﹣5，3），故选：D．10．（2022•亭湖区校级三模）围棋起源于中国．古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行了围棋人机大战．截取对战机棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．11．（2022•高邮市模拟）如图，已知含30°的三角板较长的直角边与作业本的一条线重合，将三角板绕点A逆时针旋转n°后，若斜边与作业本的另一条线相交成∠1，则∠1的度数可用n表示为（）A．（n+30）° B．（150﹣n）° C．（n+60）° D．（120﹣n）°【解答】解：如图：由题意可知：∠3＝∠4＝30°，∠1＝∠2，∵三角板绕点A逆时针旋转n°，∴∠B'AB＝n°，∴180°﹣∠2＝n°+30°，∴∠2＝（150﹣n）°，∴∠1＝（150﹣n）°，故选：B．12．（2022•苏州一模）如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC＝8，BC＝6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为（）A．1.4 B．1.8 C．1.2 D．1.6【解答】解：如图，连接CF，∵AC＝8，BC＝6，∴AB=AC2∵点M是AC中点，∴AM＝MC＝4，∵将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，∴∠A＝∠D，DM＝AM，CM＝MF，DE＝AB＝10，∴AM＝MF＝CM，∴∠AFC＝90°，∵12×AB×CF=12∴CF=24∴AF=AC∵∠A＝∠D，∠A＝∠AFM，∴∠D＝∠AFM，又∵∠DFE＝90°，∴DG＝GF，∠E＝∠GFE，∴GF＝GE，∴GF＝GD＝GE＝5，∴AG＝AF﹣GF=325-5故选：A．13．（2022•靖江市二模）如图，在正方形网格中，点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（4，3），线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合（C、D均为格点），若点A的对应点是点C，则它的旋转中心的坐标是（）A．（1，2） B．（2，1） C．（3，1） D．（5，4）【解答】解：平面直角坐标系如图所示，作AC、BD的垂直平分线交于点E，旋转中心为点E，E（2，1），故选：B．14．（2022•惠山区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4，动点E从点A出发沿射线AB运动，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转30°得到CF，连接AF，则△AFC的面积变化情况是（）A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．逐渐变大 D．不变【解答】解：在射线AB上截取EH＝AC＝4，连接CH，过点C作CG⊥AB，垂足为G，由旋转可得：∠ECF＝30°，CE＝CF，∵∠BAC＝30°，∴∠HEC＝∠BAC+∠ECA＝30°+∠ECA，∵∠ACF＝∠ECA+∠ECF＝30°+∠ECA，∴∠ACF＝∠HEC，∴△ACF≌△HEC（SAS），∴△ACF的面积＝△HEC的面积，∵EH＝AC＝4，在Rt△AGC中，CG＝AC•sin30°＝4×12∴△HEC的面积=12EH•CG=12×4∴△AFC的面积为4，∴△AFC的面积变化情况是不变，故选：D．二．填空题（共8小题）15．（2022•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B'处，线段AB扫过的面积为π3【解答】解：∵AB＝2BC＝2，∴BC＝1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，∠D＝∠DAB＝90°，∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，∴AB'＝AB＝2，∵cos∠DAB'=AD∴∠DAB'＝60°，∴∠BAB'＝30°，∴线段AB扫过的面积=30°×π×2故答案为：π316．（2022•无锡）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝80°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是4-3【解答】解：∵△ACB，△DEC都是等边三角形，∴AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，CB=CA∠BCD=∠ACE∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠DBC＝∠EAC＝20°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．如图1中，设BF交AC于点T．同法可证△BCD≌△ACE，∴∠CBD＝∠CAF，∵∠BTC＝∠ATF，∴∠BCT＝∠AFT＝60°，∴点F在△ABC的外接圆上运动，当∠ABF最小时，AF的值最小，此时CD⊥BD，∴BD=BC∴AE＝BD＝4，∠BDC＝∠AEC＝90°，∵CD＝CE，CF＝CF，∴Rt△CFD≌Rt△CFE（HL），∴∠DCF＝∠ECF＝30°，∴EF＝CE•tan30°=3∴AF的最小值＝AE﹣EF＝4-3故答案为：80，4-317．（2022•建湖县三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，点D、E分别在边BC、AB上，且DE⊥BC，BD＝6，将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，点D、E分别对应点D1、E1，当A、D1、E1三点共线时，则CD1的长为12或6．【解答】解：如图1，当点D1在线段AE1上，∵∠ACD＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，∴AB＝12，BC=3AC＝63∵将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，∴D1B＝6＝DB，∠BD1E1＝90°，∴AD1=AB2-D∴AD1＝BC，且AC＝BD1，∴四边形ACBD1是平行四边形，且∠ACB＝90°，∴四边形ACBD1是矩形，∴CD1＝AB＝12，如图2，当点D1在线段AE1的延长线上，∵∠ACB＝∠AD1B＝90°，∴点A，点B，点D1，点C四点共圆，∴∠AD1C＝∠ABC＝30°，∵AC＝BD1，AB＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△BAD1（HL），∴∠D1AB＝∠ABC＝30°，且∠BAC＝60°，∴∠CAD1＝30°＝∠AD1C，∴AC＝CD1＝6，综上所述：CD1＝12或6，故答案为：12或6．18．（2022•亭湖区校级一模）如图．矩形ABCD，AB＝2，BC=3，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，点C的运路径为CC′当点B′落在CD上时，图中阴影部分的面积为78π-【解答】解：如图连接AC，AC′，过B′作B′E⊥AB于E，则B′E＝BC=3∵将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，∴AB′＝AB＝2，AC′＝AC=7∴AE=AB'∴B′C＝BE＝1，∵B'E=3，AE＝1∴∠B'AB＝∠AB'E＝45°，∴∠B′AB＝∠C′AC＝45°，∴图中阴影部分的面积＝S扇形C′AC﹣S△AB'C′﹣S△AB′C=45π×7360-12×2故答案为：78π-19．（2022•江都区校级二模）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，E在AC上且AE=23AC，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值是2+【解答】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE＝∠EHF＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠EDG+∠DEG＝90°＝∠HEF+∠DEG，∴∠EDG＝∠FEH，又∵EF＝DE，∴△DEG≌△EFH（AAS），∴HF＝EG，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，AE=23∴AE＝4，CE＝2，∠AEH＝∠CEG＝30°，∴CG=12CE＝1，AP=12∴EG=3CG=∴HF=3∴当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为3个单位，∴当AF⊥EG时，AF的最小值为AP+HF＝2+3故答案为：2+320．（2022•扬州三模）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是63-4．【解答】解：如图，作AG⊥BC于点G，连接BD交AF于点I，连接GI，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，∴BC＝AB＝6，∴BG＝CG=12BC＝∵∠AGB＝90°，∴AG=AB2∵四边形ABFD是平行四边形，∴AI＝FI，BI＝DI，∵CD＝4，∴GI=12CD＝∵AI+GI≥AG，∴AI≥33-2∴2AI≥63-4∴AF≥63-4∴线段AF的最小值是63-4故答案为：63-421．（2022•涟水县一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点H在AD上，且AH＝2，点E绕着点B旋转，且BE＝3，在AE的上方作正方形AEFG，则线段FH的最小值是10﹣32．【解答】解：连接AF，AC，CH，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AC=2AB，∠BAC＝45∵四边形AEFG是正方形，∴AF=2AE，∠FAE＝45∴∠BAC＝∠FAE，ACAB∴∠BAC﹣∠CAE＝∠FAE﹣∠CAE，∴∠BAE＝∠FAC，∴△BAE∽△CAF，∴BECF∴CF=2BE＝32∴点F在以点C为圆心，32为半径的圆上，由图形可知：当点C，F，H三点在一条直线上时，FH的值最小，最小值为CH﹣CF，∵AH＝2，AD＝AB＝CD＝8，∴DH＝6，∴CH=DH∴线段FH的最小值＝CH﹣CF＝10﹣32，故答案为：10﹣32．22．（2022•武进区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，DC=22，∠B与∠D互余，M是BC边的中点，N是AB边上一动点，在MN的右侧作等边三角形MNP，则AP长度的取值范围是12(6-4)≤AP≤2．．（参考数据：tan75°＝【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵∠B与∠D互余，∴∠B+∠D＝90°，∴∠B＝∠D＝45°，当点N在点B时，点P的位置如下图所示，当点N运动到点A的位置时，动点P的位置用P′来表示如下图所示，由此可知，P的运动轨迹是一条线段，∵△B（N）PM是等边三角形，△A（N）MP′是等边三角形，∴BM＝PM，∠BMP＝60°，AM＝P′M，∠AMP′＝60°，∴∠BMP＝∠AMP′，∴∠BMA＝∠PMP′，∴△ABM≌△PMP′（SAS），∴∠P′PM＝∠ABM＝45°，∴PP′是一条线段，点P的轨迹是一条线段，则AP的最小值是当AP⊥PP′时，AP最小，AP的最大值是AP′，过点A作AH⊥PP′，垂足为H，过点M作MQ⊥AB，垂足为Q，如下图所示，过点A作AE⊥PM．垂足为E，∵∠ABM＝45°，M是BC边的中点，∴BM=1∴BQ=BM∴AQ＝AB﹣BQ=22∴AM=A∴∠AMB＝90°，∴∠AMP＝∠AMB﹣∠BPM＝90°﹣60°＝30°，∵PM＝BM＝AM＝2，∴∠APM=180°-30°∴AE=1∵sin∠APM=AE∴AP=AE∴∠APP′＝∠APM﹣∠MPP′＝75°﹣45°＝30°，在Rt△APH中，AH=1AP′＝AM＝2，∴AP长度的取值范围是12(6-故答案为：12(6-三．解答题（共8小题）23．（2022•常州）如图，点A在射线OX上，OA＝a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°（0＜n≤360）到OA′，那么点A′的位置可以用（a，n°）表示．（1）按上述表示方法，若a＝3，n＝37，则点A′的位置可以表示为（3，37°）；（2）在（1）的条件下，已知点B的位置用（3，74°）表示，连接A′A、A′B．求证：A′A＝A′B．【解答】（1）解：由题意，得A′（a，n°），∵a＝3，n＝37，∴A′（3，37°），故答案为：（3，37°）；（2）证明：如图：∵A′（3，37°），B（3，74°），∴∠AOA′＝37°，∠AOB＝74°，OA＝OB＝3，∴∠A′OB＝∠AOB﹣∠AOA′＝74°﹣37°＝37°，∵OA′＝OA′，∴△AOA′≌△BOA′（SAS），∴A′A＝A′B．24．（2022•连云港）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝3．【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．（1）如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．（3）连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．（4）如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是734【解答】解：（1）由题意得，∠BEF＝∠BED＝90°，在Rt△BEF中，∠ABC＝30°，BE＝3，∴BF=BEcos∠ABC=（2）①当点E在BC上方时，如图1，过点D作DH⊥BC于H，在Rt△ABC中，AC＝3，∴tan∠ABC=AC∴BC=ACtan∠ABC=在Rt△BED中，∠EBD＝∠ABC＝30°，BE＝3，∴DE＝BE•tan∠DBE=3∵S△BCD=12CD•BE=12∴DH=CD⋅BEBC②当点E在BC下方时，如图2，在Rt△BCE中，BE＝3，BC＝33，根据勾股定理得，CE=BC2∴CD＝CE﹣DE＝32-过点D作DM⊥BC于M，∵S△BDC=12BC•DM=12∴DM=CD⋅BEBC即点D到直线BC的距离为6±1；（3）如图3﹣1，连接CD，取CD的中点G，取BC的中点O，连接GO，则OG∥AB，∴∠COG＝∠B＝30°，∴∠BOG＝150°，∵点G为CD的中点，点O为BC的中点，∴GO=12BD∴点G是以点O为圆心，3为半径的圆上，如图3﹣2，∴三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150°所对的圆弧，∴点G所经过的路径长为150π⋅3180（4）如图4，过点O作OK⊥AB于K，∵点O为BC的中点，BC＝33，∴OB=3∴OK＝OB•sin30°=3由（3）知，点G是以点O为圆心，3为半径的圆上，∴点G到直线AB的距离的最大值是3+故答案为：7325．（2022•沭阳县校级模拟）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1））点E恰好落在边AC上，如图1，求∠ADE的大小；（2）如图2，若△ABC绕点C顺时针旋转的角度为60°，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形．【解答】（1）解：∵△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC，点E恰好落在边AC上，∴∠DCE＝∠ACB＝30°，CD＝CA，∠DEC＝∠ABC＝90°，∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA=12（180°﹣30°）＝在Rt△ADE中，∠ADE＝90°﹣∠EAD＝90°﹣75°＝15°；（2）证明：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∴∠A＝60°，AC＝2AB，∵点F是边AC中点，∴BF＝FA＝FC，∴AB＝BF，∵△ABC绕点C顺时针旋转的角度为60°，∴DE＝AB，CB＝CE，∠BCE＝60°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∴DE＝BF，∵CB＝CE，∠BCE＝60°，∴△BCE为等边三角形，∴∠CBE＝∠CEB＝60°，∵FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∴∠EBF＝∠EBC﹣∠FBC＝30°，∴∠DEB+∠EBF＝90°+60°+30°＝180°，∴DE∥BF，而DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．26．（2022•海州区校级二模）在等腰△ABC中，∠B＝90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC，垂足为N，∠EMF＝135°、将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF＝BM；（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=3，AW＝22+2，求【解答】（1）证明：如图①，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠C＝45°，∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC，∴BM＝MN，在四边形ABMN中，∠BMN＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，∵∠EMF＝135°，∴∠BME＝∠NMF，∴△BME≌△NMF，∴BE＝NF，∵MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，∵CN＝CF+NF，∴BE+CF＝BM；（2）如图②，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE＝NF，∵MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，∵NC＝NF﹣CF，∴BE﹣CF＝BM；如图③，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE＝NF，∵MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，∵NC＝CF﹣NF，∴CF﹣BE＝BM；（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，BM=NMAM=AM∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），∴AB＝AN＝22+2在Rt△ABC中，BC＝AB＝22+2∴AC=2AB＝4+22∴CN＝AC﹣AN＝4+22-（22+2）＝在Rt△CMN中，CM=2CN＝22∴BM＝BC﹣CM＝22+2﹣22=在Rt△BME中，tan∠BEM=BM∴BE=2∴①由（1）知，如图1，BE+CF＝BM，∴CF＝BM﹣BE＝2-2②由（2）知，如图2，由tan∠BEM=3∴此种情况不成立；③由（2）知，如图3，CF﹣BE＝BM，∴CF＝BM+BE＝2+2综上所述，CF的长度为2-233或27．（2022•靖江市校级模拟）将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A、C、D的对应点分别为A1、C1、D1．（1）如图1当点A1落在AC上时．连接CD1、AD1交CB于点O，求证：DO＝AO；（2）若BC＝5，CD＝3，①如图2，当A1D1过点C时．求出A1A的长度．②当∠A1BA＝45°时，作A1E⊥AB，△A1EB绕点B转动，当直线A1E经过D时，直线A1E交AB边于N，直接写出AN：EN的值＝523【解答】（1）证明：如图2中，连接BD1，BD，DD1．∵BA＝BA1，BD＝BD1，∠ABA1＝∠DBD1，∴∠BAA1＝∠BDD1，∵∠BAA1＝∠BDC，∴∠BDC＝∠BDD1，∴D，C，D1共线，∵∠BCD1＝∠BAD1＝90°，BD1＝D1B，BC＝A1D1，∴Rt△BCD1≌Rt△D1A1B（HL），∴CD1＝BA1，∵BA＝BA1，∴AB＝CD1，∵AC＝BD1，∴四边形ABD1C是平行四边形，∴OC＝OB，∵CD＝BA，∠DCO＝∠ABO，∴△DCO≌△ABO（SAS），∴DO＝OA；（2）解：①如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．在Rt△A1BC中，∵∠CA1B＝90°，BC＝5．AB＝3，∴CA1=BC∵12•A1C•A1B=12•BC•A∴A1F=12∵∠A1FB＝∠A1EB＝∠EBF＝90°，∴四边形A1EBF是矩形，∴EB＝A1F=125，A1E＝BF∴AE＝3-12在Rt△AA1E中，AA1=A②如图4中，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAN＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，在Rt△A1BE中，∵BA1＝BA＝3，∠A1BE＝45°，∴BE＝EA1=3∵∠DAN＝∠BEN＝90°，∠AND＝∠BNE，∴△DAN∽△BEN，∴ANEN故答案为：5228．（2022•丹徒区模拟）【探究发现】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M是边AC上一点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM．如图1，若BN与线段AC相交，连接AN、CN，在BM上取一点P，使∠BCP＝∠ACN，CP交BN于点Q，①证明：∠NAC＝∠MBC；②探究CP与CN的数量关系，并写出探究过程；【类比学习】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝n，M是边AC上一点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM，BN与线段AC相交，连接AN、CN，在BM上取一点P，使∠BCP＝∠ACN，CP交BN于点Q，CPCN=n（用含【拓展应用】在前面的发现和探究的经验下，当n=22时，M是AC的中点时，若AN•NQ＝12，求【解答】【探究发现】①证明：由折叠得，AB＝NB，∠ABM＝∠NBM，∴∠BAN＝∠BNA，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，设∠ABM＝∠NBM＝α，∴∠MBC＝∠ABC﹣∠ABM＝45°﹣α，∠BAN＝∠BNA=180°-∠ABN2=90∴∠CAN＝∠BAN﹣∠BAC＝90°﹣α﹣45°＝45°﹣α，∴∠NAC＝∠MBC；②解：CP＝CN，理由如下：由①得，∠CAN＝∠MBC，∵ACB＝CB，∠BCP＝∠ACN，∴△CAN≌△CBP（ASA），∴CP＝CN；【类比学习】解：设∠ABM＝∠NBM＝α，设∠BAC＝β，∴∠ABC＝90°﹣β，∴∠MBC＝∠ABC﹣∠ABM＝90°﹣α﹣β，∠BAN＝∠BNA=180°-∠ABN2=90∴∠CAN＝∠BAN﹣∠BAC＝90°﹣α﹣β，∴∠NAC＝∠MBC，∵∠BCP＝∠ACN，∴△CAN∽△CBP，∴CPCN∵tan∠BAC=BC∴CPCN故答案为：n；【拓展应用】解：由折叠可得，MN＝AM，∴∠MAN＝∠ANM，∵点M是AC的中点，∴CM＝AM，∴∠MNC＝∠MCN，∵∠NAM+∠ACN+∠ANC＝180°，∴∠NAM+∠ACN+∠ANM+∠CNM＝180°，∴2∠ANM+2∠CNM＝180°，∴∠ANM+∠CNM＝90°，∴∠ANC＝90°，由上可知：△CAN∽△CBP，∴∠BPC＝∠ANC＝90°，∵∠ACN＝∠BCP，∴∠ACN+∠ACP＝∠BCP+∠ACP＝∠ACB＝90°，∴