江苏省重点中学2023届高考冲刺数学模拟试题

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合4={幻上=，一2人+%+3},3={x|log2^>l}则全集U=R则下列结论正确的是（）

A.AB=AB.A<JB=BC.（6/B=0D.

2.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，

共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019

年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述第族的是（）

c=ane-iaae--"tsn«E一道口地调

A.这五年，出口总飙之和比进口总辨之和大

B.这五年，2015年出口额最少

C.这五年，2019年进口增速最快

D.这五年，出口增速前四年逐年下降

3.如图，设尸为AA3C内一点，且=则AA3P与八钻C的面积之比为

34

I

B.

3

2]_

D.

36

4.已知双曲线C：「一与=1（a＞0力＞0）的左右焦点分别为6，F,,P为双曲线。上一点，。为双曲线C渐近

ab-

线上一点，P,。均位于第一象限，且2QP=P%，•。尸2=0,则双曲线C的离心率为（）

A.V3-1B.V3+1C.V13+2D.V13-2

22

5.若双曲线E：__21=1（。＞0/＞0）的一个焦点为尸（3,0）,过P点的直线/与双曲线E交于A、B两点,

/b2

且AB的中点为尸（一3,-6）,则E的方程为（）

A.《上=1B.片一片=1C.二一片=1D.片一£=1

54456336

6.正项等比数列｛4｝中的％、%039是函数/（x）=gr-4x2+6x—3的极值点，则log6生020=（）

A.-1B.1C.y/2D.2

7.过双曲线二-二=1（。＞0,。＞0）的左焦点作倾斜角为30。的直线/,若/与）’轴的交点坐标为（0力），则该双曲

Q-b~

线的标准方程可能为（）

22222

A.——y2=1B.——_y2=1C.——y2=1D.--^―=1

234-32

8.设a，b，c是非零向量.若卜怜Y=；（a+/?＞c，则（）

A.&-（〃+d）=（）B.a-（b-c）=0C.（«+/?）•（?=（）D.（^d-h）-c=0

9.设左＞1,则关于的方程（1一攵）¥+;/=42一]所表示的曲线是（）

A.长轴在）'轴上的椭圆B.长轴在x轴上的椭圆

C.实轴在y轴上的双曲线D.实轴在X轴上的双曲线

10.已知向量4=（见1）,Z?=（3，加一2）,则加=3是a/妨的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

11.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设xwR,

用国表示不超过X的最大整数，则y=[可称为高斯函数，例如：[-0.5]=-1,[1.5]=1,已知函数

/(x)=4.一32+4<0<x<2),则函数>=［/(切的值域为()

A.--B.1-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2}

12.设y=/(x)是定义域为R的偶函数，且在［0,+8)单调递增，a=log020.3,Z7=log20.3,则()

A.f(a+b)>f(ab)>f(.Q)B.f(a+b)>f(0)>f(ab)

C.f(ab)>f(a+b)>f(0)D.J\ab)》于⑼)于(a+b)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设a为锐角，若cos(a+¥)=^^,贝Usin2a的值为.

64

14.如图梯形ABC。为直角梯形，ABrAD,CDrAD,图中阴影部分为曲线y=/与直线x=x+2围成的平面图形,

向直角梯形ABCO内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是

15.若函数/(x)=(x-a)(x+3)为偶函数，贝U/(2)=.

16.边长为2的菱形ABC。中,AC与BO交于点。,后是线段8的中点,AE的延长线与8相交于点匕若

NBAD=60°,Jil!|BEEF=•

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数g(x)=e*—(a—1)1—反一l(a,Z,eR),其中e为自然对数的底数.

(1)若函数/(x)=g'(x)在区间［0,1］上是单调函数，试求。的取值范围；

(2)若函数g(x)在区间［0,1］上恰有3个零点，且g(D=0,求。的取值范围.

18.(12分)每年3月20日是国际幸福日，某电视台随机调查某一社区人们的幸福度.现从该社区群中随机抽取18名,

用“10分制”记录了他们的幸福度指数，结果见如图所示茎叶图，其中以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为

叶.若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”.

0

7

(I)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；

(II)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记X表示抽到“很幸福”的人数,

求X的分布列及E(X).

19.(12分)已知椭圆C:二+:=1缶＞。＞0)的离心率为也，且过点A(0』).

ab2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点尸是椭圆上异于短轴端点A,5的任意一点，过点尸作PQJ-y轴于。，线段尸。的中点为M直线AM与直

线丁=-1交于点N,O为线段8N的中点，设0为坐标原点，试判断以。。为直径的圆与点M的位置关系.

-121「1(T

20.(12分)已知矩阵知=,MN=.

21J[_01

(1)求矩阵N；

(2)求矩阵N的特征值.

21.(12分)在直角坐标系xOy中，长为3的线段的两端点4B分别在x轴、y轴上滑动，点P为线段上的点，

且满足|4尸1=2|2?|.记点2的轨迹为曲线后.

(1)求曲线上的方程；

(2)若点M、N为曲线E上的两个动点，记OMON=m，判断是否存在常数，"使得点。到直线MN的距离为定

值？若存在，求出常数加的值和这个定值；若不存在，请说明理由.

cosBcosCsinA

22.(10分)已知在AABC中，角A,B,C的对边分别为b,c,且「一+----二厂.八.

bcV3sinC

(1)求。的值;

（2）若cos8+J5sin8=2,求AABC面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

化简集合A,根据对数函数的性质，化简集合3,按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论.

【详解】

由一212+工+320,(2x-3)(%+1)40,

3,故在A=(—8,一l)u俘+8),

则4=-1,-

由log2》>］知，8=(2,+8),因此AB=0,

3

AuB=-1,-u(2,+a>),(2A)c3=(2,+oo),

(2,+oo)c(-oo,-l)ul-,+ooj,

故选:D

【点睛】

本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.

2、D

【解析】

根据统计图中数据的含义进行判断即可.

【详解】

对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确;

对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；

对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；

对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；

故选：D

【点睛】

本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.

3、A

【解析】

作PD//AC交A3于点。，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出Sga与S,MBC的比例，再由与SA”/,的

比例，可得到结果.

【详解】

如图，作PD//AC交A3于点

则AP=AO+£）P，由题意，AD^^-AB,DP^^-AC,且264。2+/048=180，

34

所以%郎=；|AO||OP|sinNAOP=；xg|A8|x；|AC|sinNC48qSMBc

又AO=〈AB,所以，SMPB=3SMDP=NS^BC，即沁=；，

34^^ABC-

所以本题答案为A.

【点睛】

本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键.

4、D

【解析】

22

由双曲线的方程二=1的左右焦点分别为£,鸟，。为双曲线C上的一点，。为双曲线C的渐近线上的一点,

Q-

且RQ都位于第一象限，且2QP=P尸2，。4。/2=0，

可知P为QK的三等分点，且Q"，Q6，

点。在直线法一股'=0上，并且|00=c,则Q3,份，K（c,O）,

设P（xi,%）,则2（xi-a,yl-b）=（c-xl,-yl）,

曲由2a+c2b2tz+c2b

解得玉=-=W，即DPZ（-y-，可），

代入双曲线的方程可得Q"+c>一j_=],解得e=£=/一2,故选D.

4a24a

点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重

要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a，c,代入公式e=£；②只需要

根据一个条件得到关于〃力,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）,

即可得e(。的取值范围).

5、D

【解析】

求出直线/的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组,

求得。,人的值，即可得到答案.

【详解】

由题意，直线/的斜率为&=Apr=答=1,

可得直线/的方程为y=x-3,

22

把直线/的方程代入双曲线5—1=1,可得(〃—。2»2+6/%—94—/人2=0,

a"b~

6

设A8,x),B(x2,y2),则xi+x2=”,,

a-b

由AB的中点为P(-3,-6),可得乎二=—6,解答从=2/,

a-b~

又由"+/?2=c?=9，即/+2/=9，解得。=6力=遥，

22

所以双曲线的标准方程为L一匕=1.

36

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关

系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

6、B

【解析】

根据可导函数在极值点处的导数值为0,得出4a4039=6,再由等比数列的性质可得.

【详解】

解：依题意%、。39是函数/(力=；%3—4/+6X—3的极值点，也就是r(x)=f-8x+6=0的两个根

404039=6

又｛%｝是正项等比数列，所以％020=\la\^4039=屈

•••端甸20=1咻m=1.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.

7、A

【解析】

直线/的方程为y=#（x+c），令X=0,得y=1?c，得到”,〃的关系，结合选项求解即可

【详解】

直线/的方程为丫=/（％+°），令x=0,得y=^c.因为乎c=。，所以”=c2—〃=382一"=2",只有选

项A满足条件.

故选：A

【点睛】

本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力.

8、D

【解析】

试题分析：由题意得：若a.c=O-c，贝U（a-〃）1=0；若“.0=一力.（:，则由。q=怜式=g可知，

ac=bc=。,故（。一/?）N=0也成立，故选D.

考点：平面向量数量积.

【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、

数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常

用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解（较易）；②将条件通过向量的线性

运算进行转化，再利用①求解（较难）；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.

9、C

【解析】

22

根据条件，方程（l-Z）f+尸=公-1.即/-----—=1,结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型.

'7k2-lk+l

【详解】

解：,:k>l,：A+k>0,*2-1>0,

22

方程(1一%)/+、2=Z2一],即戚《一占=1,表示实轴在y轴上的双曲线，

故选C.

【点睛】

22

本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为，-----匚=1是关键.

k2-\Z+1

10、A

【解析】

向量：=(机,1),)=(3,机-2)，a〃b，则3=M根一2),即加2一2〃?一3=0，%=3或者-1,判断出即可.

【详解】

解：向量.=(/〃,1),/?=(3,m—2')>

allb>则3=加叱—2),即M—2»i—3=0，

根=3或者-1,

所以/”=3是加=3或者m=-1的充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.

11、B

【解析】

利用换元法化简/(X)解析式为二次函数的形式，根据二次函数的性质求得/(X)的取值范围，由此求得〉=[/(x)]的

值域.

【详解】

4”12

因为‘(©=40_32+4(0<X<2),所以，=^-3.2'+4=5(2')~-3-2'+4,令2—(1</<4),则

113

20

/(r)=-r-3r+4(l<r<4),函数的对称轴方程为z=3,所以/⑺而口=/(3)=—/«max=/(D=-，所以

「13、

/U)e-,-1,所以丁=[/(切的值域为｛T0」｝.

故选：B

【点睛】

本小题考查函数的定义域与值域等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，运算求解能力，转化与化归思想,

换元思想，分类讨论和应用意识.

12、C

【解析】

根据偶函数的性质，比较明即可.

【详解】

解：|a+W=|log0,20.3+log20.3|=M|+詈

1g0.21g2

lg0.3xlgjlg0.3xlg|

-Ig5xlg2Ig5xlg2

lg0.3lg0.3

\ab\=|log020.3xlog20.3|=

-lgO.3xlgO.3_lg0.3xlg0.3

Ig5xlg2Ig5xlg2

-lg0.3x(—lg0.3)

Ig5xlg2

lg0.3xlg—

003

Ig5xlg2

显然Iggclgg,所以|。+可＜|明

y=/（x）是定义域为R的偶函数，且在［0,+8）单调递增,

所以/（灿）＞/（。+。）＞/（0）

故选：C

【点睛】

本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

it3+3+

J.J、---------

8

【解析】

：a为锐角，cos(a+—)=—>/•sin(a+—)=>

6464

sin(2a+—)=2sin(a+—)cos(a+—)=-^,cos(2a+—)=2cos2(a+—)-1=--,

3664364

77+36

故sin2a=sin[(2a+-)--]=sin(2a+—)cos--cos(2a+—)sin—=—x—+—x—=

33333342428

3

14、

5

【解析】

联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出最后根

据几何概型的概率公式计算可得；

【详解】

V—x2fx=2[x=—1

解：联立)解得，或，，即8(2,4),C(-l,l),£>(-1,0),A(2,0),

y=x+2[y=4[y=i

=2223]]5

阴影|[(x+2)-x^<i¥=-x+2X--X|^=—,SAfiCD=(l+4)x3x-=—

—I

9

.p=S阴影=2=3

"SABCD~15-5

2

3

故答案为：—

【点睛】

本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题.

15、-5

【解析】

二次函数为偶函数说明一次项系数为0,求得参数。，将x=2代入表达式即可求解

【详解】

由/,。)=/+(3-。»-3。为偶函数，知其一次项的系数为0,所以3—a=0,a=3,所以/(x)=f-9,

/(2)=22-9=-5

故答案为：-5

【点睛】

本题考查由奇偶性求解参数，求函数值，属于基础题

【解析】

取基向量AQ，AB，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将8E，律表示为基向量后再相乘可得.

【详解】

设AF-AAD4-(1—A,)AC9又AE——AD+—AO=—A。+—AC,

且存在实数/使得

AAD4-(1-A)AC=-tAD+LAC,

24

l-2=-r

4

/.AF=-AD+-AC

339

/.EF=AF-AE=-AD-^—AC,

612

BE.EF=(AE-AB).EF=(AD+DE-AB).EF=(4。+：DB—AB)£AD+卷AC)

=(AD+-AB--AJD-AB).(-AD-F—AC)

44612

3311

=(-AD——AB).(-A。+—AB)

44412

32I2I

=—AD——AB——AB.AD

16168

=—3x4)1x4)—1xc2xc2x—1

161682

j_

-4

故答案为：

4

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)°o,—u—+1,+ooJ；(2)(e—1,2).

【解析】

(1)求出g'(x)=/(x),再求/”(x)NO,XG［0,1］恒成立，以及尸(x)40,XG［0,l］恒成立时,“的取值范围；

(2)由已知g(l)=g(O)=O,g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点，转化为/(x)=g'(x)在区间(0,1)内恰有两个零点,

由(1)的结论对。分类讨论，根据)(x)单调性，结合零点存在性定理，即可求出结论.

【详解】

(1)由题意得/(x)=e"-2(。一1)》一/?,则/'(X)=e'-2(“一1),

当函数fW在区间［0,1］上单调递增时，

f'(x)=ex-2(a—1)..0在区间［0,1］上恒成立.

.\2(a-l)„(e').=1(其中xe［0,l］),解得知

当函数f(x)在区间［0,1］上单调递减时，

f(x)=e*-2(a-1)„0在区间［0,1］上恒成立，

=e(其中xe［0,l］),解得4.F+1.

\/max2

综上所述，实数”的取值范围是1-00,gU］+1，+=°)

(2)=ex-2(a-l)x-h-f(x).

由g(0)=g⑴=0,知g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点,

设该零点为七,则g(x)在区间(0,小)内不单调.

...)(X)在区间((),七)内存在零点七，

同理/*)在区间(％』)内存在零点x2.

.../(X)在区间(0,1)内恰有两个零点.

由(1)易知，当4,g时，/(x)在区间(0/)上单调递增，

故在区间(()/)内至多有一个零点，不合题意.

当a.S+1时，/*）在区间［0,1］上单调递减，

2

故/（X）在区间（（）/）内至多有一个零点，不合题意,

2<a<S+1.令/'(x)=0,得x=ln(2a-2)G(0,1),

22

函数/（x）在区间（0』n（2a—2）］上单凋递减,

在区间（ln（2a—2）,1）上单调递增.

记fW的两个零点为司,马（王<々）,

:.x{G(0,ln(2(2-2)],x2£(ln(2a-2),1),必有f(0)=l-b>0,/(l)=e-2〃+2-/?>0.

由g(l)=。，得a+/?=e.

IS=&+1-(Q+0)=&+l-e<0

又f（0）-u—c+\>0,f（1）=2-a〉0,

•.e—l<a<2.

综上所述，实数a的取值范围为（e-1,2）.

【点睛】

本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、零点问题，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较

难题.

199

18、（I）丽.（II）见解析.

【解析】

（1）18人中很幸福的有12人，可以先计算其逆事件，即3人都认为不很幸福的概率，再用1减去3人都认为不很幸福

的概率即可；（II）根据题意，随机变量X列出分布列，根据公式求出期望即可.

【详解】

（I）设事件A=｛抽出的3人至少有1人是“很幸福”的｝,则无表示3人都认为不很幸福

=1£=1H

P(A)=1—P(Z)

%204204

(II)根据题意，随机变量xX的可能的取值为0,1,2,3

J1[2门2

P(X=0)=C；-=一;尸(X=l)=C；x—x-=—；

'7\3)27'739

P(X=2)=C/xf|Tx|=l,唳=3)=错[吟

JyJyJy乙/

所以随机变量X的分布列为:

X0123

1248

P

779927

c1,2c4c8C

=0x--Fix—+2x—+3x——=2

279927

【点睛】

本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题型.

19、(1)—+y2=[(2)点M在以8为直径的圆上

4

【解析】

(D根据题意列出关于“，b,。的方程组，解出“，b,。的值，即可得到椭圆C的标准方程；

(2)设点尸(X。，%),则时(£,%),求出直线AM的方程，进而求出点N的坐标，再利用中点坐标公式得到点0

的坐标，下面结合点P在椭圆C上证出揄.而=(),所以点M在以8为直径的圆上.

【详解】

b=\

a=2

(1)由题意可知，，,解得＜b=1,

a2

2一八2,二c=V3

2

二椭圆C的标准方程为：—+/=1.

4

(2)设点P(x(),%),则M(，，%),

y0-\2(yu-l)

，直线AM的斜率为&_0-X。，

2

•・・直线AM的方程为：y=二生Qx+1,

x()

令y=T得，》=丹，

|一%

.・•点N的坐标为(产，-D,

.・•点。的坐标为(Jr，-1),

“一打)

22

血血=多为)吟-^?%+。=子+%2-++%，

又点P(Xo，%)在椭圆C上,

2

+y（/=],=4-4y（：,

—f4(1—v2)

OM3M=1-=”+%=1-(1+%)+%=0,

4(1-%)

.•■点M在以O£＞为直径的圆上.

【点睛】

本题主要考查了椭圆方程，考查了中点坐标公式，以及平面向量的基本知识，属于中档题.

2

3

20、⑴心2j（2）4=；,4=7.

_3-3.

【解析】

/、「Q〃

(1)由题意，可得N=,,利用矩阵的知识求解即可.

ca

(2)矩阵N的特征多项式为/(/)=(/+；)令/(2)=0,求出矩阵N的特征值.

【详解】

b']F12aba+2cb+2d10

(1)设矩阵N=,,则MN=一

a2led2a-he2b+d__01

a+2c=1

b+2d=0EH1,22

所以解得。二一二，b=—

2a+c=03393

2〃+d=l

」1

33

所以矩阵'=2;；

_3-3.

⑵矩阵N的特征多项式为/(/)=卜+；j,

令/(2)=0,解得/1]=；,办=一1,

即矩阵N的两个特征值为4=g，4=T.

【点睛】

本题考查矩阵的知识点，属于常考题.

21、(1)乙+/=1(2)存在；常数加=(),定值2

45

【解析】

(1)设出P,A,8的坐标，利用AP=2PB以及|AB|=3,求得曲线E的方程.

(2)当直线MN的斜率存在时，设出直线MN的方程，求得。到直线MN的距离”.联立直线MN的方程和曲线E的

方程，写出根与系数关系，结合OM-ON=”以及〃为定值，求得〃?的值.当直线MN的斜率不存在时，验证乩加.

由此得到存在常数机=0,且定值"=冬叵.

5

【详解】

⑴解析:⑴设尸(x,y),A(%0),

由题可得AP=2PB

x=