2024高考数学-向量的减法运算

AC)+(DC-DB)=CB+BC=0.

1.向量减法运算的常用方法

2.向量加减法化笥的两种形式

(1)首尾相连且为和；

(2)起点相同且为差.

做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.

5.［变式训练］

化简：⑴又亍一七天一刀1+万后+弁；

(2)(-A?+~BO)~CDC-~DO-7)B).

解：⑴7r-石一记+/+讨=滴+*+,+/+罚

=~AE^~FA=~FE.

(2)(^4?-\-~BO+~OA)-CDC~~DO~^OB)=~^C+~BO+~OA~^DC

+W+0/=COA+^AC)+(W-7DC)+(W+W)=~^C+~CO+O

=0.

6.向量减法及其几何意义

［例2］如图，已知向量a,b,c不共线，求作向量a+b—

c.

［解］法一：如图①所示，在平面内任取一点O,作。了=@,AB=b,则

OB>=a+b,再作O(f=c,则C8>=a+b—c.

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法二：如图②所示，在平面内任取一点0,作O4>=a,AB=b,则二B>=

a+b,再作F>=c,连接OC,则3?=a+b—c.

7.求作两个向量的差向量的两种思路

(1)可以转化为向量的加法来进行，如a—b,可以先作一b,然后作a+(—b)

即可.

(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重•合，则差向

量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.

［变式训练］

如图所示，

。为△ABC内一点，Q?=a,OB=b,OC=c,求作：

(1)向量b+c—a；

(2)向量a—b—c.

解：⑴以,OC为邻边作。OBOC,如图，连接OD,A。，则0d=OB

+OC=b+c,AD=OD—OA=b+c—a.

(2)由a—b—c=a—(b+c),如图,

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作口OBEC,连接0E,则。广=OB+OC=b+c,连接4瓦则石。=a-

(b+c)=a—b—c.

8.用已知向量表示其他向量

［例引如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形内一点，

且7万=@,~AC=b,~AE=cf试用向量a,b,c表示向量七斤，~BD.

［ft?］因为四边形ACQE是平行四边形，

所以cB=AE=c,BC=AC—AZ?=b—a,

故BD=BC+~CD=b-a+c.

9.利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意

(1)一个关键

一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道.

(2)三点注意

①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系;

②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；

③注意在封闭图形中利用多边形法则.

10.［变式训练］

1.［变设问］本例条件不变，试用向量a,b,c表示B百与CE>.

解：~BE=~AE-~\B=c-a,

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CE=AE-AC=c-b.

2.［变条件］本例中的条件“点B是该平行四边形ACDE内一点”若换为

“点B是该平行四边形ACDE外一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？

解：因为四边形4CDE是平行四边形，

所以同=W=c,~BC=b-a,

~BD=~BC+TD=b-a+c.

11.测试题

ILLA级——学考合格性考试达标练

1.设b是a的相反向量，则下列说法错误的是（）

A.a与b的长度必相等B.a//b

C.a与b一定不相等D.a是b的相反向量

解析：选C根据相反向量的定义可知，C错误，因为0与。互为相反向

量，但0与0相等.故选C.

2.如图，一工。’等于（）

B.TDC

CTDBD.方

解析：选BA8>+BC-AD=AB-AD+BC=DB+BC=DC.

故选B.

3.［多选］下列结果为零向量的是（）

AM?-CBC+■)B.7B,-7C+BD-~CD

C7OA-~OD+~ADD.1V0-V~OP

解析：选BCDA项，-CBC-^-~CA)=^B~~BA=2AB;B项，

~\B~^C-V~BD-~CD=~CB-V~BC=0;C项，~OA-W-V~AD=~DA+

访=();D项，加+-^+加一加=可+-^=0.故选8、C、D.

4.已知O是平面上一点，OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且四边

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形ABC。为平行四边形，则()

A.a+b+c+d=()B.a—b+c—d=()

C.a+b—c—d=0D.a-b-c+d=O

解析：选B易知79一7江=渴，~OC-~OD=~DCt而在平行四边形

ABCD中有=DC,所以。1-0A=0C-ODf即b-a=c-d,也即a

-b+c—d=U.故选B.

5.边长为1的正三角形ABC中，|Ai-Ze1的值为()

A.1B.2

C.2D.小

解析：选D如图延长A8到D

使Ab=BD.

：.~AB=~BD

-~BC\=\BD-~BC\=\CD\

因aABC为边长为1的正三角形.

.•・NABC=60。，・・・NQ=NBCO=30。，•••△AB。为直角三角形，.=

2

\l\AD\-(A^=y[3f

故选D.

6.下列四个等式：

(Da+b=b+a；②一(—a)=a；③AB+BC+CA=0；④a+(—a)=().

其中正确的是(填序号).

解析：由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的，③符合向量

的加法法则，也是正确的.

答案：①②③④

7.如图，在梯形ABC。中，AD//BC,AC与BD交于O

点，则石不一7?一为T+7^+万T=.

解析：由题图知々了一BC>—。1+OD-hDA=CA-OA=

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~CA.

答案：~CA

8.若a,b为相反向量，且|a|=l,|b|=l,则|a+b|=,|a—b|=

解析：若a,b为相反向量，则a+b=O,.*.|a+b|=O,

又a=—b,|a|=|—b|=1,Ta与b共线，/.|a—b|=2.

答案：02

9.已知菱形A3CD的边长为2,求向量7万一W+B的模.

解:如图，•:A*一7B>+~CD=AB+BC+TD=^4D,

：.\~AB-~CB+"CD|=|^W|=2.

10.如图，己知向量a和向量b,用三角形法则作出a—b+a.

解：作法：作向量Q4>=a,向量oH=b,则向量8A>=a—

b.如图所示；作向量又O=a,则2^=a—b+a.

11.2.B级——面向全国卷高考高分练

1.在如图所示的四边形A8CO中，设7r=a,~AD=b,~BC

=c,则DC=()

A.a-b+c

B.b-(a+c)

C.a十b十c

D.b—a+c

解析：选A。1=—A//+86?=—b+a+c=a—b+c.故选A.

2.在平面上有A,B,C三点，设m=7H+M,n=~AB-~BC,若m与

n的长度恰好相等，则有（）

A.A,B,C三点必在一条直线上

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B.△ABC必为等腰三角形且N8为顶角

C.△ABC必为直角三角形且N3为直角

D.△ABC必为等腰直角三角形

解析：选C以诉，*为邻边作平行四边形，则m=/万G

+BC—ACfn=AB—BC=AB—AD=DB,由m,n的

长度相等呼知，两对虎线相等，因此平行四边形一定是矩形.故

选C.

3.已知向量|a|=2,|b|=4,且a,b不是方向相反的向量，则|a一b|的取值

范围是（）

A.(2,6)B.[2,6)

C.(2,6]D.[2,6]

解析：选B由已知必有||a|一|b||W|a-b|V|a|+|b|,则所求的取值范围是［2,

6）.故选B.

4.若O是△4BC内一点，/+7耳+7）己=（）,则。是△4?。的（）

A.内心外心

C.重心垂心

解析：选C如图，以7正，N无为邻边作平行四边形OBDC,

则又市+市+/=0,

：.OB+OC=~OAf：.OD=-OA,：.Ar。，。三点

共线.设。。与8c的交点为旦则E是8c的中点，・・・AE是△48C的中线.同

理可证都在的中线上，・・・。是△的重心.故，

80,COaA5cABCA

选C.女人\

5.如图，在△48C中，若。是边BC的中点，E是边A8上一BD》

点，则隹一不？+其=.

解析：~BE-~DC+~ED=~BE-¥~ED+~CD=~BD+TD,因为同+

CD=0,所以BE-DC-\-~ED=0.

答案：0

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6.设平面向量ai,a?,a3满足ai—a2+a3=0,如果平面向量bi,b?>b3满

足|b|=2⑶I，且a,顺时针旋转30。后与bi同向,其中i=1,2,3,则bi—b?+b3=

解析：将法顺时针旋转30。后得a/,则a「—az'+aa'=0.

又・・・沃与a/同向,且|岳|=2⑶I,.\bi-b2+b3=0.

答案：0

7.如图，在uABCO中，~AB=a,~AD=b.

直？(1)当a,b满足什么条件时，a+b与a—b所