沪教版 七年级数学 实数的运算

第宇权由运箪务

骸课苛刑忒

【题目】课前测试

数轴上点A与点B之间的距离为m,且点A在点B的左侧，若点B所对应的数

是-娓，则点A所对应的数是（）

A.m+疾B.m-V5C.-m+娓D.-m-5/5

【答案】D

【解析】

根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案.

解：设A点对应的数是x,由题意，得

-娓-x=m,

解得x=-m-V5,

故选：D.

总结：本题考察了实数与数轴，利用数轴上两点间的距离是大数减小数得出方程

是解题关键.

【难度】3

【题目】课前测试

如果a<ST<a+l,那么整数2=

【答案】3

【解析】

首先估算值大小，再确定整数a的值即可.

解：

,•,V9<Vn<Vi6,

••.3<Vil<4,

1-,a4/H〈a+l，

.・整数a=3.

故答案为：3.

总结：本题考查了估算无理数的大小，其常见的思维方法：用有理数逼近无理

数，求无理数的近似值.

【难度】3

逢如识更行

适用范围沪教版，七年级

知识点概述：本章重点部分是实数的运算。了解，掌握实数与数轴，估计无理数

的大小，重点掌握实数的运算法则，其中实数的运算会出现计算题，需要多练习

适用对象：成绩中等偏下的学生

注意事项熟练掌握实数运算的步骤，以及法则

重点选讲：

①实数与数轴，实数大小比较

②估计无理数的大小

i

③实数的运算

•・MB•MB•■MB•MB•MM•MB•OB,・OHB••■■»・

如田烧锂

◎加诅梳理1:宗数与数轴，空数卡小比较

,＜；;_.一•

实数与数轴:

1、实数与数轴上的点是——对应的，就是说所有的实数都可以用数轴上的

点来表示；反之，数轴上的每一点都表示一个实数

2、数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相

;等

3、利用数轴可以比较任意两个实数的大小，右边的总比左边的大

实数大小比较

实数的大小比较方法：负数小于零；零小于正数；两个正数，绝对值大的数较

大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上看，右边的数总比左边的数大。

如图：有理数可以在数轴上表示出来：-2、-1、0、1、2

无理数也可以在数轴上表示出来：V2

\1/

实数比较大小的方法：

（1）作差法（2）求商法（3）倒数法（4）平方法（5）近似值比较法

（6）找中间量法（7）移动因式法

实际中还有很多方法，要灵活多变

念如诅短拽2：估计无理数的大小

3包?估计无理数的大小，需要记住1到20的整数的平方，根据要估计的数

值来找出最接近的数值。

例如：估计诟的值的范围

知道32=9、42=16

因为9<15<16,所以开平方即为：3（而<4

益-如识幅趣3：宏数由运W

\1/

有理数的加法:

l、(±a)+(±6)=±刎+忖)(。力同号)

2、(±a)+(R)=(।।।［刎〉网)(a力异号)

卜刎一例)

3、一a+a=0;a+0=a

y

3曾.有理数的减法:

a-b=a+(-b)

y

时.例（a,b同号）

况?=<_卜卜网（。力异号）

（）（4或b为零）

y

3管有理数的乘方：优表示n个a相乘.正数的任何次幕都是正数；负数的

奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数。

3等有理数的开方：

(1)平方根：如果X2=a(a?O),那么x叫做a的平方根(或二次方根)。

数a的平方根记做士&,其中―(即+石)叫做a的算术平方根。一个

正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

(2)立方根：如果*3=a,那么X叫做a的立方根(或三次方根)。数的

立方根记做布。因此版

任意一个实数有且只有一个立方根。

(3)求一个数的平方根的运算叫做开平方；求一个数的立方根的运算叫做开

立方

二等实数的运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号,

就先算括号里面的。去括号的顺序是先去小括号，再去中括号，最后大括号。

同一级运算，如果没有括号，可按由左至右的顺序进行。

实数运算律：

(1)力口法交换律;a+b=b+a

(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

(3)乘法交换律:ab=ba

(4)乘法结合律:(ab)c=a(be)

(5)乘法分配律\[a+b)c=ac+be

(其中a、b、c表示任意实数.运用运算律有时可使运算简便.)

俐魅精第

题型1:实数与数轴

已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列等式成立的是()

b□ai>

A.|a+b|=a+bB.|a+b|=a-bC.|a+l|=a+lD.|b+l|=b+l

【答案】C

【解析】

◎如理烧锂2二砧廿无锂数由大小

总结：本题考查了实数与数轴，利用绝对值的性质是解题关键.

【难度】3

【题目】题型1变式练习1

已知数轴上A、B两点表示的数分别为-3和娓，则A、B间的距离为.

【答案】娓+3

【解析】

根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案.

解：A、B两点表示的数分别为-3和遍，则A、B间的距离为遥-(-3)=V5

+3,

故答案为：V5+3

总结：本题考查了实数与数轴，利用数轴上两点间的距离是大数减小数是解题关

键.

【难度】3

【题目】题型1变式练习2

已知数轴上点A到原点的距离为1,且点A在原点的右侧，数轴上到点A的距

离为E的点所表示的数是―.

【答案】a+1或F-1

【解析】

根据数轴上点A到原点的距离为1,且点A在原点的右侧，可以得到点A表示

的数，从而可以得到数轴上到点A的距离为«的点所表示的数.

解：•・•数轴上点A到原点的距离为1,且点A在原点的右侧，

・・•点A表示的数是1,

•・•数轴上到点A的距离为E的点所表示的数是：北+1或遂-1,

故答案为：我+1或盛-1.

【难度】3

题型2:估计无理数的大小

加的整数部分是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数

的整数部分.

解:,.1<2<4,

••-1<V2<2,

二•加的整数部分为1,

故选：B.

总结：本题主要考查了无理数的估算，利用“夹逼法"确定该无理数在那两个数

之间是解题关键.

【难度】3

【题目】题型2变式练习1

已知面积为10的正方形的边长为x,那么x的取值范围是（）

A.1<x<3B.2<x<3C.3<x<4D.4<x<5

【答案】C

【解析】

根据正方形的面积公式，求得正方形的边长，再进一步根据数的平方进行估算.

解：根据题意，得正方形的边长是伍.

••-9<10<16,

-'-3<V10<4.

故选：C.

【难度】3

【题目】题型2变式练习2

若&+V^=a+b,其中a是整数，0<b<1,则a的值是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

首先得出a+b的取值范围，进而得出答案.

解：1••V2+V5=a+b,72-1.4,解82.23,

..3<a+b<4,

•.a是整数，0<b<l,

••a的值是：3.

故选：B.

【难度】3

题型3:实数比较大小

比较大小-5&-4退（用">"、"<"或"="填空）

【答案】<

【解析】

首先把括号外的数移到括号内，然后再比较大小即可.

解：

-5&=-屈，-473=-V48,

,•■V50>V48/

-572<-4V3,

故答案为：<.

总结：此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握两个负实数相比较，绝对值

大的反而小.

【难度】3

【题目】题型3变式练习1

比较大小：n泥（填）

【答案】>

【解析】

根据TI>3和&<3解答即可.

解:-.H>3,解<F=3,

.,.Tl>V8,

故答案为：>

【难度】3

【题目】题型3变式练习2

已知a=V7-V5,b=V5-V3,c=3-V7那么a、b、c三个数的大小关系是.

【答案】c<a<b.

【解析】

先根据已知求出巳、张十的值，再进行比较，即可得出a、b、c三个数的大小

关系.

解：,.a=V7-V5,b=V5-V3,c=3-V7,

显然：abc均为正数，大于零，

与r亚普4（行+近），

台丐事（我+泥），

号爵7二93+祈），

cab

，a、b、c三个数的大小关系是c<a<b;

故答案为:c<a<b.

【难度】4

题型4:实数的运算

计算：(-2)2+(3.14-万)。-|-2|+(3)

【答案】5

【解析】

首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可.

解：

(-2)2+(3.14—万)。-|-2|+(g)

=4+1-2+2

=5

总结：此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开

方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从

左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.正确化简

各数是解题关键.

【难度】3

【题目】题型4变式练习1

计算：血旬近弓叵-啦

【答案】0

【解析】

本题涉及零指数幕、开立方、二次根式化简3个考点.在计算时，需要针对每个

考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

解：

=V2-5--V2-l

5

=1—1

=0

总结：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题

型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幕、零指数幕、二次根式、绝

对值等考点的运算

【难度】4

【题目】题型4变式练习2

计算:

【答案】；9

【解析】

任意一个非零数的0次幕都等于1;(4)2=a,77=间，据此进行计算即可.

33

=-1-

42

9

~4

总结：本题主要考查了实数的运算，解决问题的关键是掌握零指数幕的概念以

及数的开方，解题时注意：任意一个非零数的0次黑都等于1.

【难度】3

【题目】题型4变式练习3

th:V45x—+J12xy/3—^27+V3

【答案】苧

【解析】

此题涉及平方根、立方根的求法，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算,

然后根据实数的运算法则求得计算结果即可.

解：

V45XJ1|-V12X73-V27-V3

=3V5x'+2,\/3x^3-3+V3

3

=58+26xg-6

=史.6

2

_373

~~T

总结：此题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握

平方根、立方根的运算

【难度】3

【题目】题型4变式练习4

计算：f—j-|1-Vsj+(^-3.14)°

【答案】11

【解析】

根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式

的值是多少即可.

解：(g)_1—+(乃—3.14)°+；决

=9-(V2-l)+l+|x2V2

=9-V2+l+l+V2

=11

【难度】3

【题目】题型4变式练习5

计算：(V3—y/2+V6卜5+V2-V6)

【答案】46-5

【解析】

(s/3—V2+V6[V5+V2—5/6)

=[\/3-(A/2—A/6)]X^[3+(V2—y[b)]

/份一代@

=3-(2+6-4A/3)

=4百-5

【难度】3

【题目】兴趣篇1

设，11-6血的整数部分为x,小数部分为y,则x+N。•的值是

【答案】1-3&

【解析】

估算得出x与y的值，代入原式计算即可求出值.

解:••-64<72<81,

.•.8<6&<9,即-9<-6y<-8,

..2<11-672<3,

-.x=2,丫="1-6版-2,

则原式=5一6&+加_6&-24（33）2+衣3方%=3-后+F7T3

-1

故答案为：1-3&

总结：此题考查了估算无理数的大小，设实数为a,a的整数部分A为不大于a

的最大整数，小数部分B为实数a减去其整数部分，即B=a-A;理解概念是解

题的关键.

【难度】4

【题目】兴趣篇2

规定用符号冈表示一个实数的整数部分，如［2.83］=2,［娓］=2,贝孔飒-

3］=-.

【答案】1

【解析】

先估算出倔的大小，然后再求得痛-3的范围，最后依据符号冈表示的意义

求解即可.

解:--16<24<25,

•'-4<V24<5.

，4-3<724-3<5-3,即1<724-3<2.

.1•[V24-3]=l.

故答案为：1.

【难度】3

【题目】备选题目1

已知，a,b分别是3-F的整数部分和小数部分，求4ab-b2的值

【答案】1

【解析】

首先判断出F的整数部分在1和2之间，即3-加的整数部分a=l,则b=2-

M,然后把a和b的值代入代数式求值即可.

解:-.l<73<2,

的整数部分在1和2之间，

二3一盛的整数部分a=l,b=2-盛，

则4ab-b2

=4xlx(2-V3)-(2-V3)2

=8-4V3-(4-473+3)

=1.

【难度】3

【题目】备选题目2

用下面"逐步逼近"的方法可以求出我的近似值.

先阅读，再答题：

因为22<7<32,所以2<小<3.

第一步：取孝-2.5,由2.52=6.25<7得2.5<近<3.

第二步：取誓匹2.75,由2.752=7.5625>7得2.5<行<2.75

请你继续上面的步骤，写出第三步，并回