热点6-2等比数列的通项及前n项和7大题型（原卷版）

热点62等比数列的通项及前n项和7大题型主要考查等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等比数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等差数列一般设置一道选择题和一道解答题。一、等比数列的判定方法1、定义法：（常数）为等比数列；2、中项法：（）为等比数列；3、通项公式法：（，为常数）为等比数列.二、等比数列前n项和运算的技巧1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答；2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体。三、等比数列前n项和的函数特征1、与的关系（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。2、与的关系当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。【题型1等比数列的基本量计算】【例1】（2023·陕西铜川·校考一模）设正项等比数列的前n项和为，若，，则通项（）A．B．C．D．【变式11】（2023秋·山东泰安·高三统考期末）已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，，则（）A．B．C．48D．96所以，故选:C【变式12】（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知等比数列的前4项和为30，且，则（）A．B．C．D．【变式13】（2023春·云南·高三校联考开学考试）等比数列的n前项和为，若，则（）A．3B．6C．12D．14【变式14】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知各项均为正数的等比数列，前n项和为，若，则n的值为（）A．4B．5C．6D．7【题型2等比中项及性质应用】【例2】（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）在各项均为正数的等差数列中，，若成等比数列，则公差d=（）A．或2B．2C．1或D．1【变式21】（2022秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）在等比数列中，若，是方程的根，则的值为（）A．B．C．D．或【变式22】（2023·广东佛山·统考一模）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（）A．30B．10C．9D．6【变式23】（2023·江西·校联考一模）已知等比数列满足：，，则的值为___________.【变式24】（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知是等比数列的前n项和，若，且，则（）A．96B．C．72D．【变式25】（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）在正项等比数列中，若是关于的方程的两实根，则（）A．8B．9C．16D．18【变式26】（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前n项积为，且，则使得的n的最小值为（）A．5B．6C．7D．8【题型3等比数列的判定与证明】【例3】（2023秋·河南开封·高三统考期末）在数列中,,,则（）A．是等比数列B．是等比数列C．是等比数列D．是等比数列【变式31】（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出为等比数列的条件是（）A．B．C．D．是等比数列【变式32】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则（）A．B．C．D．【变式33】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知数列的前项和为.（1）若是等比数列，求；（2）若，证明：均为等比数列.【变式34】（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知数列满足，，.（1）证明：是等比数列（2）求数列的前2n项和.【题型4等比数列的函数特征】【例4】（2022秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）设无穷等比数列的前项和为，若，则（）A．为递减数列B．为递增数列C．数列有最大项D．数列有最小项【变式41】（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为q，其前n项和为，并且满足条件，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．的最大值为【变式42】（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论正确的是（）A．B．是数列中的最大值C．D．数列无最大值【变式43】（2022·全国·高三专题练习）（多选）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（）A．为递减数列B．C．是数列中的最大项D．【题型5等比数列的前n项和性质】【例5】（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）等比数列的前n项和为，若，，则（）A．60B．70C．80D．150【变式51】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列中，，，，则（）A．2B．3C．4D．5【变式52】（2023·高三课时练习）已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为______．【变式53】（2023·全国·高三专题练习）设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______.【变式54】（2023·全国·高三专题练习）设正项等比数列的前项和为，且，则公比__________.【题型6等比数列的简单应用】【例6】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后而追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（）A．11.1米B．10.1米C．11.11米D．11米【变式61】（2022秋·福建宁德·高三校考期末）《庄子·天下》中讲到：“三尺之棰，日取其半，万世不竭．”这其实是一个以为公比的等比数列问题．有一个类似的问题如下：有一根一米长的木头，第2天截去它的，第3天截去第2天剩下的，…，第n天截去第天剩下的，则到第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的（）A．B．C．D．【变式62】（2023·全国·高三专题练习）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．“十二平均律”是将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比均为常数，且最后一个单音的频率为第一个单音频率的2倍．如图，在钢琴的部分键盘中，，，…，这十三个键构成的一个纯八度音程，若其中的（根音），（三音），（五音）三个单音构成了一个原位大三和弦，则该和弦中五音与根音的频率的比值为（）A．B．C．D．【变式63】（2022秋·山东烟台·高三统考期中）为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设为第n年的维修费用，为前n年的平均维修费用，若万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为（）A．2026B．2027C．2028D．2029【变式64】（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）（多选）2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”.它的绘制规则是：任意画一个正三角形，并把每一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线.重复上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，，…，，….设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为.若，则下列说法不正确的是（）.A．B．C．D．【题型7等差数列与等比数列综合】【例7】（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）设是公比大于0的等比数列，是等差数列，已知，，，．（1）求数列，数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【变式71】（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）已知数列，，的前n项和为.（1）若为等差数列，，求公差的值及通项的表达式；（2）若为等比数列，公比，且对任意，均满足，求实数的取值范围.【变式72】（2022秋·天津南开·高三统考阶段练习）已知数列是公差不等于0的等差数列，其前n项和为，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，其前n项和为．（ⅰ）若成等差数列，求m的值；（ⅱ）求．【变式73】（2023·福建漳州·统考二模）已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）（1）求的通项公式；（2）设，求的前n项和．【变式74】（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知等差数列的前n项和为，公差，是，的等比中项，．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，，求．（建议用时：60分钟）1．（2022·广西·校联考模拟预测）等比数列{}的前n项和为，若，则=（）A．488B．508

C．511

D．5672．（2023·河南郑州·统考一模）记为等比数列的前n项和．若，，则（）A．32B．31C．63D．643．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）在正项等比数列{}中，若，是关于的方程的两实根，则（）A．8B．9C．16D．184．（2022秋·宁夏·高三宁夏育才中学校考阶段练习）若成等差数列；成等比数列，则等于（）A．B．C．D．5．（2023·全国·高三专题练习）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，所有去掉的区间长度和为（）（注：或或或的区间长度均为）A．B．C．D．6．（2022秋·山东日照·高三统考期中）正项数列中，（k为常数），若，则的取值范围是（）A．B．[3，9]C．D．[3，15]7．（2022秋·江西赣州·高三校联考期中）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（）A．B．C．是数列中的最大值D．数列无最大值8．（2022秋·江西南昌