第21讲简单几何体的表面积与体积7种常考题型

第21讲简单几何体的表面积与体积7种常考题型【考点分析】考点一：多面体的表面积和体积①柱体1.棱柱的侧面展开图：棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长，如图①所示；圆柱的侧面展开图是矩形，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图②所示．2.柱体的表面积：柱体的表面积S表＝S侧＋2S底．3.柱体的体积柱体的底面积S，高为h，其体积V＝Sh．②锥体1.侧面展开图：棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，则侧面积为各个三角形面积的和，如图①所示；圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，如图②所示．2.锥体的面积：锥体的表面积S表＝S侧＋S底．3.锥体的体积锥体的底面积为S，高为h，其体积V＝eq\f(1,3)Sh．③台体的表面积1.侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的和，如图①所示；圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，如图②所示．2.台体的表面积：台体的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底．3．台体的体积台体的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋S′)h.③球的表面积和体积1．球的体积球的半径为R，那么它的体积V＝eq\f(4,3)πR3．2．球的表面积球的半径为R，那么它的表面积S＝4πR2．【题型目录】题型一：棱柱表面积体积题型二：棱锥表面积体积题型三：棱台表面积体积题型四：圆柱表面积体积题型五：圆锥表面积体积题型六：圆台表面积体积题型七：球的表面积体积【典型例题】题型一：棱柱表面积体积【例1】如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（

）A．258 B．234 C．222 D．210【答案】C【分析】先明确题目的含义：正方体共有6个直通小孔，有6个交汇处，计算即可【详解】正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，正方体共有6个直通小孔，有6个交汇处，表面积等于正方体的表面积减去12个表面上的小正方形面积，加上6个棱柱的侧面积，减去6个通道的6个小正方体的表面积．则故选：C．【例2】已知长方体所有棱的长度之和为28，一条对角线的长度为，则该长方体的表面积为（）A．32 B．20 C．16 D．12【答案】A【详解】设长方体的长、宽、高分别为，因长方体所有棱的长度之和为28，所以，即，因一条对角线的长度为，所以，因，解得，所以该长方体的表面积为【例3】如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是______．【答案】【详解】棱柱的体积公式是，其中是q底面积，是高．在图2中，水面是中截面，水面以上部分是一个三棱柱，所以这个三棱柱的底面积是原来三棱柱底面的，从而这个小三棱柱的体积是大棱柱体积的（高一样），所以水的体积是大三棱柱体积的，那么图1中水面的高度是棱柱高的，即为．故答案为：．【例4】我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2），其高为，到平面的距离为，为，则可估算硬山式屋顶的体积约为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三棱柱的体积公式求解即可.【详解】解：如图，过作于，由题意可知，在直三棱柱中，到平面的距离为，即，又，所以该柱体体积为【例5】某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒，现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的表面积为______．【答案】【分析】作出辅助线，求出包装盒的侧面积和底面积，相加求出表面积.【详解】如图，取正六边形的中心为，连接，则点在上，由正六边形的每个内角为．按虚线处折成高为的正六棱柱，即，所以，可得正六棱柱底面边长，所以正六棱柱的侧面积，其中，所以底面积为所以无盖正六棱柱包装盒的表面积．故答案为：【题型专练】1.已知直三棱柱底面的一边长为2cm，另两边长都为3cm，侧棱长为4cm，它的侧面积为，体积为．【解析】解：如图，ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝4．它的侧面积为：4×（2+3+3）＝32cm2．∴VABC−A1B1C1故答案为：32cm2；82cm3．2．如图，已知正方体的棱长为，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，据此变化，进行求解.【详解】由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，由于截面为矩形，长为，宽为，所以面积为，所以拼成的几何体的表面积为.故选：C.3.在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六､八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是六棱柱形.如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为，底面边长为（数据为笔筒的外观数据），用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据正六棱柱的底面边长为，得正六棱柱的侧面积为，所以至少需要绒布的面积为故选：C．4．如图，用若干棱长为的小正方体组成一个模型，该模型的表面积是______.【答案】【分析】由几何体模型，分别计算侧面积、各部分上底面积，求和即可得解.【详解】根据所给几何体，分别求得每层的侧面积，再加上下底面积，减去覆盖部分的面积，可知表面积为：故答案为：.5．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是______．【答案】8【分析】根据勾股定理即可求出底面边长与高，再求出侧面积即可.【详解】如图所示：，，又，，解得：，所以棱柱的侧面积.故答案为：86．已知直平行六面体的底面是菱形，若过不相邻的两对侧棱的截面面积分别是3和4，则这个平行六面体的侧面积是______．【答案】10【分析】设直平行六面体的高，根据直平行六面体的性质结合截面面积得到底面菱形的边长，从而根据直平行六面体的侧面积公式求解.【详解】如图，因为六面体是直平行六面体，则截面均为矩形，设侧棱，因为截面的面积分别是4m2和3m2，则.设AC与BD相交于点O，则由底面ABCD是菱形得，则在Rt△AOB中，有，所以直平行六面体的侧面积为.故答案为：10.7．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为__________.【答案】9【分析】先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面ABC水平放置时，液面高度.【详解】设的面积为x，底面ABC水平放置时，液面高为h则水的体积为当底面ABC水平放置时，水的体积为，解得故答案为:9题型二：棱锥表面积体积【例1】（2020·新课标Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，设，则，由题意，即，化简得，解得（负值舍去）.【例2】如图，在体积为16的斜三棱柱中，P为棱上一点，三棱锥PABC的体积为4，则三棱锥的体积为（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】结合柱体、锥体体积公式以及几何体的结构求得正确答案.【详解】设三棱柱的底面积为S，其高为h，设三棱锥的高为，三棱锥的高为，则，，所以，即，又，即，所以，所以．故选：A【例3】“堑堵”“阳马”和“整臑”是我国古代对一些特殊几何休的称谓．《九章算术．商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为整臑”，即一个长方体沿对角面斜解（图1）．得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱维称为整臑（图4）．若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和整臑的体积分别为，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据棱锥，棱柱的体积计算公式，结合题意求解即可.【详解】设长方体的长宽高分别为，则，，，故，，，，则ABC错误，D正确；故选：D.【例4】距今5000年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的一种茅屋如图1所示，该茅屋主体是一个正四棱锥，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户甬道.甬道形似从一个直三棱柱上由茅屋一个侧面截取而得的几何体，一头与茅屋的这个侧面连在一起，另一头是一个等腰直角三角形.如图2是该茅屋主体的直观图，其中正四棱锥的侧棱长为8m，，，，点D在正四棱锥的斜高PH上，平面且.不考虑建筑材料的厚度，则这个茅屋（含甬道）的室内容积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过作交于连接，所求体积，根据条件求计算体积时所需要的长度.【详解】设为正四棱锥底面中心，连接，则，，，取的中点，连接，过作于，则，在直角中，过作交于连接，则，所求体积，故选：C【例5】六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛的用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子之间的距离为，则以六氟化硫分子中6个氟原子为顶点构成的正八面体的体积是（

）．（氟原子的大小可以忽略不计）A． B． C． D．【答案】D【分析】如图，连接，设交于点，连接，令相邻两个氟原子之间的距离为，则由正四棱锥的性质结合已知条件可得的长，从而可求出其体积.【详解】如图，连接，设交于点，连接，因为，为的中点，也是的中点，所以，因为，平面，所以平面，令相邻两个氟原子之间的距离为，则，，因为，所以，因为四边形为正方形，所以，所以，所以该正八面体的体积是，故选：D【例6】将边长为24、20、16的三角形沿三条中位线折叠成一个四面体，则该四面体的体积为______.【答案】【分析】由题意可知该四面体的四个面都是一个边长分别为的三角形，故该四面体可放置与一个长方体中，即可求解【详解】由题意可知该四面体的四个面都是一个边长分别为的三角形，故该四面体可放置与一个长方体中，即图中的三棱锥，不妨设，则，设，则，解得，所以，所以，故答案为：【例7】在三棱锥中，已知，则该三棱锥的体积为___________.【答案】8【分析】如图，设长方体的三条棱长为，解方程组求出即得解.【详解】如图，设长方体的三条棱长为，由题得；；，解之得.所以.所以该三棱锥的体积为.故答案为：8【例8】图中的多面体的底面是边长为的正方形，上面的棱平行于底面，其长为，其余的棱长都是．已知，则这个多面体的体积是______．【答案】288【分析】将该几何体分解成一个三棱柱加两个三棱锥，结合几何中的关系分别计算体积求解即可.【详解】如图，在线段上分别取两点，使得平面平面，中点为，连接.则由题意，，.又，故，.故这个多面体的体积.故答案为：288【题型专练】1.《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其卷五“商功”中记载这样一个问题:今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺，问积几何?其含义是:今有正四棱锥，下底边长为丈尺，高丈尺，问它的体积为多少立方尺（）(注丈尺)A． B． C． D．【答案】A【详解】由题可知下底面积为，高为所以由体积公式可知立方尺.故选:A.2.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O—EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得，，∵四棱锥O−EFGH的高为3cm，∴．又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为．3.如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E−BCD的体积是▲.【答案】10【解析】因为长方体的体积为120，所以，因为为的中点，所以，由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.4.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为.5．在三棱锥中，顶点在底面内的投影为点，，底面是正三角形，边长为，，分别是侧棱，的中点，则四棱锥的体积为______．【答案】【分析】根据锥体体积公式和割补法计算出正确答案.【详解】由于在平面的投影为，所以平面，所以.设到平面的距离为，由于是的中点，所以到平面的距离为，由于是的中点，所以，，所以,所以.故答案为：6．为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.(1)类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为、、，求此四面体的体积；(2)对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形.【答案】(1)2；(2)证明见解析.【分析】（1）设四面体所在长方体棱长分别为，，，则长方体的对角线长分别为，，，利用勾股定理列方程求出，，，使用做差法求出四面体体积．（2）在四面体中，由已知可得四面体的四个面为全等三角形，设长方体的长、宽、高分别为、、，证明为锐角三角形，即可证明这个四面体的四个面都是锐角三角形.【详解】（1）由于四面体的对棱分别相等，结合长方体的面对角线性质，可以将其置于长方体中，使其顶点与长方体顶点重合，如下图：设此四面体所在长方体的棱长分别为，，，则，解得四面体的体积．（2）在四面体中，，，，如下图，将四面体放置长方体中，使其顶点与长方体顶点重合四面体的四个面为全等三角形，即只需证明一个面为锐角三角形即可．设长方体的长、宽、高分别为、、，则，，，，，，为锐角三角形，则这个四面体的四个面都是锐角三角形.题型三：棱台表面积体积【例1】已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（

）A．80 B．240 C．350 D．640【答案】B【分析】根据已知棱台的上下底面边长以及侧棱长，可求得侧面梯形的高，进而求得侧面积.【详解】由题意可知，该棱台的侧面为上、下底分别为4和16，腰长为10的等腰梯形，∴等腰梯形的高为，∴等腰梯形的面积为，∴该棱台的侧面积为.故选：B.【例2】已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（

）A．36 B．C． D．48【答案】B【分析】先求出侧面上的斜高，再求出正四棱台的上、下底面的面积和侧面积，由表面积公式即可得出答案.【详解】设正四棱台上、下底面的中心为，为侧面上的斜高，过作交边于点，所以，所以，所以正四棱台的上、下底面的面积为：，正四棱台的侧面积为：，则其表面积为：.故选：B.【例3】已知一个正棱台的上、下底面是边长分别为2、8的正方形，侧棱长为5，则该棱台的表面积为（

）A．148 B．168 C．193 D．88【答案】A【分析】先计算棱台的侧面的高，再计算侧面积和底面积，即可求解.【详解】棱台的侧面是等腰梯形，高，所以一个侧面积，所以该棱台的表面积.故选：A【例4】已知正三棱台两底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则该棱台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用勾股定理得到棱台的高，然后利用相似得到该棱台和其所在的棱锥的体积比，最后求体积即可.【详解】设上底面边长为，下底面边长为，侧棱为l，则，，，所以棱台的高．因为．所以棱台体积为其所在棱锥体积的．故．故选：D．【例5】已知正六棱台的上､下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据台体体积公式即可求解.【详解】设正六棱台的上下底面面积分别为,因为正六边形是由6个全等的等边三角形组成，所以所以六棱台的体积.故选:B.【例6】在正方体中，点为侧棱上一点，且，平面将该正方体分成两部分，其体积分别为，则__________.【答案】【分析】平面延展开后即为平面，将该正方体分成的两部分一部分是三棱台，另一部分是剩余的部分，结合三棱台的体积公式求解即可.【详解】由题意，延长线段与的延长线交于点，连接交于，连接，故平面延展开后即为平面，将该正方体分成的两部分一部分是三棱台，另一部分是剩余的部分.由于，故，不妨设正方体棱长为3，，，即.故答案为：.【题型专练】1．正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得正四棱台的侧面为四个等腰梯形，先计算侧面的高，然后利用梯形的面积公式代入计算即可.【详解】由题意可知，正四棱台的侧面为四个等腰梯形，已知上、下底面边长分别是和，侧棱长是，由勾股定理可得侧面的高为，所以侧面积为.故选：B2．已知一个正四棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（

）．A．80 B．240 C．320 D．640【答案】C【分析】在侧面等腰梯形中求得斜高后可得侧面积．【详解】由题意正四棱台的斜高为，所以侧面积为．故选：C．3．“斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示．其可近似看作正四棱台，上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，高为．“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正四棱台性质，求得高为，再结合侧面积公式和正方形的面积公式，即可求解.【详解】由正四棱台，上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，高为，四棱台的侧面均为等腰梯形，则其高为，所以“斗”的所有侧面的面积之和为，下底面的面积为，所以.故选:A.4．在正四棱台中，，则该四棱台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出轴截面，过点作，结合等腰梯形的性质得高，再计算体积即可.【详解】解：作出轴截面如图所示，过点作，垂足为，因为正四棱台中，所以，，，即梯形为等腰梯形，所以，，所以，该四棱台的体积为故选：B5．如图，棱锥、棱柱、棱台的底面积和高均相等，分别为s，h，棱台上底面的面积为，现将装满水的棱锥、棱柱、棱台中的水分别倒入底面积为s的圆柱里，对应的水面高分别记为，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别计算出棱锥、棱柱、棱台的体积，进而求得，，即可求解.【详解】设棱锥、棱柱、棱台的体积分别为，则，则，显然.故选：A.6．某校高一级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去正四棱台后所得的几何体，其中，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属，不考虑损耗，所需金属膜的质量为____________．【答案】##【分析】根题意计算该几何体的表面积，再求得质量即可【详解】由题意，该几何体侧面4个面的面积和为，底面积，正方形面积.考虑梯形，高为，故正四棱台的侧面积为，故该模型表面积为，故所需金属膜的质量为故答案为：7．如图，在正四棱台中，，且四棱锥的体积为48，则该四棱台的体积为___________.【答案】399【分析】方法一：设点到平面的距离为，根据的体积可得，再代入棱台的体积公式求解即可；方法二：延长交于一点，设为，根据台体体积为锥体体积之差求解即可.【详解】方法一：由题意，设点到平面的距离为，由四边形面积为，得四棱锥的体积为，得.所以棱台体积为.方法二：由题意，设点到平面的距离为，由四边形面积为，得四棱锥的体积为，得.由棱台定义知，延长交于一点，设为，设棱锥的高为，则棱锥的高为，由三角形相似可得，得，于是棱台体积3）.故答案为：3998．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为______.【答案】【分析】分析可知，设，则，过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，根据正四棱台的侧面积计算出的值，再利用台体的体积公式可求得结果．【详解】解：由题意得，设，则，.过点，在平面内分别作，，垂足分别为点、，在等腰梯形中，因为，，，则四边形为矩形，所以，，则，因为，，，所以，所以，在中，由勾股定理得，所以等腰梯形的面积为，所以.所以，，方亭的高，故方亭的体积为.故答案为：题型四：圆柱表面积体积【例1】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半轻为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】【解析】正六棱柱体积为圆柱体积为所求几何体体积为【例2】中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则该几何体的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆柱侧面积公式以及圆的面积公式即可求解每个面的面积,进而可求表面积.【详解】此几何体为两个半圆柱的组合体：一个大的半圆柱中间挖去一个小的同轴半圆柱，.故选：D【例3】我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（dăo），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的表面积约为（

）（注:1丈=10尺，取3）A．1088平方尺 B．912平方尺 C．720平方尺 D．656平方尺【答案】B【分析】求出圆柱底面半径再由圆柱表面积公式求解即可.【详解】由1丈=10尺，则4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下图：则，，解得，则圆柱底面积为，侧面积为,则圆柱的表面积(平方尺)，故选：B.【例4】以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题设知旋转体为高和底面半径均为2的圆柱体，利用圆柱体表面积公式求几何体的表面积.【详解】由题意，所得几何体为高和底面半径均为2的圆柱体，所以几何体表面积为.故选：D【例5】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A．B．C．3D．2【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点M在上底面上，点N在下底面上，且可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B．【题型专练】1．用长为4，宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（

）A．8π B．16π C．24π D．32π【答案】B【分析】分类讨论再结合圆柱侧面积公式求解即可.【详解】若以边长4为轴，旋转成一个圆柱，则侧面积，若以边长2为轴，旋转成一个圆柱，则侧面积，故选：B2．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据截面是面积为16的正方形可求底面圆的半径以及圆柱的高，进而可求圆柱的侧面积.【详解】如图所示，过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是正方形ABCD，面积为16，故边长，即底面半径，侧棱长为，则圆柱的侧面积是，故选：B.3．已知一个正方体与一个圆柱的高度均为1，且正方体的表面积与圆柱的侧面积相等，则圆柱的体积为______.【答案】【分析】设圆柱底圆半径为r，由正方体的表面积与圆柱的侧面积相等求得r，由体积公式即可求【详解】设圆柱底圆半径为r，由正方体的表面积与圆柱的侧面积相等得，故，故圆柱体积为.故答案为：4．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.【答案】2【分析】求出底面半径扩大为原来的2倍，从而得到侧面积扩大为原来的2倍.【详解】设圆柱的高为，底面半径为，则体积为，体积扩大为原来的4倍，则扩大后的体积为，因为高不变，故体积，即底面半径扩大为原来的2倍，原来侧面积为，扩大后的圆柱侧面积为，故侧面积扩大为原来的2倍.故答案为：25.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．【答案】【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为.6.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据题意，所得截面是边长为4的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面是半径为的圆，且高为4，所以其表面积.故选：B.7.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则这个圆柱的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，所以，，所以，所以圆柱的体积为.故选：C.题型五：圆锥表面积体积【例1】已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为_______．【答案】1【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得.【例2】在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为()A． B． C．3π D．4π【答案】A【解析】圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为的扇形，其面积，所以圆锥的侧面展开图面积为.【例3】已知圆锥的母线长为4，侧面展开图是一个面积为的扇形，则该圆锥的体积为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：设圆锥的底面半径为，母线为，则有，解得，故圆锥的高，故所求体积，故选：B.【例4】一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积等于（）A． B． C． D．【答案】C【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，解得，又，解得，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积是.故选：C.【例5】如图所示是一个装有红酒的圆锥形酒杯（杯体为一个圆锥），已知该酒杯的杯子杯口直径为（忽略杯子的厚度），侧面积（不含杯座和杯茎）为，红酒的高度比杯子的高度低，则红酒的体积为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】设圆锥形酒杯的母线为.作出轴截面图，如图所示，因为该酒杯的杯子口径为，侧面积（不含杯座和杯茎）为，所以，解得，即，.又红酒的高度比杯子的高度低，所以，所以，即，则红酒的体积为.故选：B．【例6】（多选题）如图所示，圆锥的底面半径，高，是底面圆周的一条直径，M为底面圆周上与B不重合的一点，则下列命题正确的是（

）A．圆锥的体积为B．圆锥的表面积为C．的面积的最大值是D．有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为【答案】AB【分析】由圆锥的底面半径和高，求出母线长，对于AB，代圆锥的体积公式和表面积公式计算可得；对于C，先求出轴截面的顶角，再代三角形面积公式计算；对于D，根据侧面展开图计算可得.【详解】圆锥的底面半径，高，所以母线长为2；对于A.圆锥的体积为，所以A正确；对于B.圆锥的表面积为，所以B正确；对于C.由轴截面为等腰三角形，且顶角为，当等腰的顶角为时，的面积取得最大值为：，所以C错误；对于D.圆锥的底面圆周长为，所以侧面展开图的圆心角为，所以圆锥侧面展开图中圆弧，蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为线段，且，所以D错误；故选：AB.【例7】分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为､､，则（）A． B．C． D．【答案】C【详解】设直角三角形的三边分别为、、，，即为斜边，则以边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为，则，以边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为，则，以边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为，则，，故选：C.【例8】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.【答案】【详解】∵∴∴∴.故答案为：.【题型专练】1．已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（

）A．27π B． C． D．16π【答案】A【分析】根据条件先算出母线长与底面半径的关系，再根据体积计算出底面半径即可.【详解】设圆锥底面半径为r，母线长为l，则，所以，所以圆锥的高为，所以，解得，故其表面积；故选：A．2．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为，侧面展开图的半圆半径为，根据侧面积得到，，再根据体积公式计算即可.【详解】设圆锥的底面半径为，侧面展开图的半圆半径为，则，即.故圆锥的侧面积为，解得，圆锥的高为.故圆锥的体积为.故选：B3．已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的倍．给出下列结论：①设圆柱与圆锥的体积分别为、，则；②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为、，则；③设圆柱与圆锥的侧面积分别为、，则；④设圆柱与圆锥表面积分别为、，则.其中所有正确结论的序号是（

）A．① B．②③ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】设圆锥和圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，圆锥的高为，圆锥的母线长为，利用圆锥、圆柱的侧面积、表面积、体积公式以及三角形、矩形的面积公式判断可得出合适的选项.【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，圆锥的高为，圆锥的母线长为.对于①，，，则，①对；对于②，，，则，②错；对于③，，，则，③对；对于④，，，则，④对.故选：C.4．已知圆锥的体积为，其中S为圆锥的底面积，h为圆锥的高．现有一个空杯子，盛水部分为圆锥（底面半径为3cm，高为6cm），现向杯中以6ml/s的速度匀速注入水，则注水t（0＜t＜5）s后，杯中水的高度为（

）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】C【分析】利用注入的水的体积与杯中水的体积相等即可求解.【详解】假设注水后，杯中水的水面半径为xcm，则杯中水的高度，则由注入的水的体积与杯中水的体积相等得，解得，故杯中水的高度cm．故选：C.5．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏"是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是.计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏"中液体的高度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆柱体积公式可得液体的体积为，圆锥的体积为，所以计时结束后，圆锥中没有液体的部分的体积为，根据圆锥体积公式计算可得.【详解】如图，圆锥的底面半径是6cm，高是6cm，所以、是等腰直角三角形，所以，由已知可得：液体的体积为，圆锥的体积为，计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为，设计时结束后，“沙漏”中液体的高度AD为xcm，则，，，所以，所以计时结束后，“沙漏”中液体的高度为3cm.故选：B.6．（多选题）已知甲、乙两个圆锥侧面展开图的面积相等，母线长分别为l甲和l乙，底面半径分别为r甲和r乙，高分别为h甲和h乙，表面积分别为S甲和S乙，若，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据圆锥的侧面积公式的，即可判断A、B，再根据勾股定理表示出高，即可判断C、D.【详解】解：依题意，又，所以，故A错误；因为，所以甲圆锥的底面积小于乙圆锥的底面积，又两圆锥的侧面积相等，所以，故B正确；因为，，所以，，所以，故C正确；因为，所以，所以，故D正确；故选：BCD7．已知某圆锥的轴截面是面积为9的三角形，若该圆锥顶点到底面的距离为3，则其侧面积为______．【答案】【分析】利用轴截面面积出圆锥的底面半径，从而利用侧面积公式进行求解【详解】设圆锥的底面半径为，由题意得圆锥的高，则，解得：，设圆锥的母线长为l，故该圆锥的侧面积为.故答案为：8．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高.若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为______.【答案】【分析】设圆锥的底面半径为，求出圆锥与圆柱的侧面积，即可求解【详解】设圆锥的底面半径为，由题意圆锥的轴截面是一个正三角形，可知圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，所以圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为，故答案为：9．如图，在底面半径为1，高为的圆锥中，O是底面圆心，P为圆锥顶点，A，B是底面圆周上的两点，，C为母线PB的中点.(1)求该圆锥的表面积；(2)求在该圆锥的侧面上，从A到C的最短路径的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）将圆锥侧面展开得到扇形图，结合扇形的面积公式即可求出圆锥侧面展开图面积，加上圆锥底面圆面积，即可得到圆锥的表面积；（2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短，得到从到的最短路径是联结AC的线段长．【详解】（1）圆锥的底面半径为1，高为，则母线长，因此将圆锥侧面展开得到一个半圆，因此圆锥的侧面积为：，圆锥的底面圆面积为：，所以圆锥的表面积为：.（2）在底面圆中，，侧面展开图中，如图，联结AC，即线段的长为最短路径，设圆心角为，，，即到的最短路径长为.题型六：圆台表面积体积【例1】木桶作为一种容器，在我国使用的历史已经达到了几千年，其形状可视为一个圆台．若某圆台形木桶上、下底面的半径分别为15cm，8cm，母线长为25cm，木板厚度忽略不计，则该木桶的容积为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】由题意可知，圆台形木桶的高为（cm），所以该木桶的容积为，故选：D．【例2】一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（）A．2 B． C．4 D．8【答案】C【详解】设圆台的母线长为，上，下底面的半径分别为,则圆台的侧面积为，解得故选：C【例3】已知圆台下底面的半径为，高为，母线长为，则这个圆台的体积为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：设圆台上底面的半径为，下底面半径为，则有，解得或（舍去）.圆台的体积为故选：A.【例4】已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为，则其母线长为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意，圆台的体积，解得，故圆台的母线长，故选:．【例5】如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为，那么A．10 B．15 C．20 D．25【答案】D【分析】中截面把圆台分为上、下两个圆台，则两个圆台的侧高相等，且中截面半径等于两底面半径和的一半，根据中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积的比为，我们易构造出关于的方程，解方程即可求出的值．【详解】解：设中截面的半径为，则①记中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积分别为，，母线长均为，又②将①代入②整理得：故选：D．【题型专练】1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台的体积为（

）参考公式：台体的体积公式为.A． B． C． D．【答案】D【分析】由条件得，从而求得圆台两个底面的面积及高，进而可求圆台的体积.【详解】设圆台较小的底面的半径为，较大的底面的半径为，母线为，则由得，又因为圆台的侧面积为，所以，即，解得，故，所以圆台较小的底面面积为，较大的底面面积为，圆台的高，所以圆台的体积.故选：D.2．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成角，则这个圆台的侧面积是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意，作该圆台的轴截面，求得上下底面半径和母线长，根据侧面积计算公式，可得答案.【详解】由题意，可作该圆台的轴截面，如下图所示：则圆台的高，上底面半径，下底面半径，即，母线，即，在中，，，易知在正方形中，，则，即，综上，，圆台的侧面积.故选：B.3．若一个圆台的高为，母线长为，侧面积为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线为，由圆台的侧面积得，再由圆台的高为可得体积．【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线为，则圆台的侧面积，可得，又因为圆台的高为，可知，故有，圆台的体积．故选：B.4．某圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，侧面积为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆台的侧面积和体积公式，结合题意，准确运算，即可求解.【详解】设圆台的母线长为，高为，因为圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，侧面积为，可得，解得，所以圆台的高为，所以圆台的体积为.故选：B.5．某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆台的底面半径之比可得母线之比，进而根据锥体的侧面积公式即可求解.【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，设圆台的母线为，则圆锥的底面半径为，圆锥的母线为，圆锥的侧面积记为，截去的小圆锥的侧面积即为，故圆台的侧面积为,故选：C6．已知圆台的上、下底面半径分别为，若该圆台的表面积为，母线长为2，且，则________．【答案】3【分析】利用圆台的表面积公式进行求解.【详解】圆台的表面积为，从而，，因此，解得（负值舍）．故答案为：3.题型七：球的表面积体积【例1】如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是.【答案】【解析】设球半径为，则．故答案为．【例2】某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为的半球．已知该胶囊的表面积为，则它的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】设圆柱的高为，，；.故选：.【例3】圆柱形容器内盛有高度为的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图），则球的半径是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】设球半径为，则球体积为，原来水的体积为，淹没后球与水的体积为，所以，解得（0舍去），故选：D．【例4】一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】设球心为，截面圆心为，连接，则垂直于截面圆，如图所示，在中，，，球的半径，球的体积．故选：B.【例5】等体积的球和正方体的表面积分别为与的大小关系是（）A． B． C． D．无法确定【答案】A【详解】若球体的半径为r，则，若正方体的棱长为a，则，∵球和正方体的体积相等，∴，则，故，而，∴，即.故选：A【例6】一个圆柱和一个圆锥的底面直径，以及它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的个数是（）①圆柱的侧面积为；②圆锥的侧面