2024-2025学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何4.3第1课时两条直线所成的角直线与平面所成的角学案北师大版选择性必修第一册

PAGE4．3用向量方法探讨立体几何中的度量关系第1课时两条直线所成的角、直线与平面所成的角必备学问·自主学习导思1.怎样求异面直线所成的角？2．怎样求直线与平面所成的角？空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角θ设l1与l2的方向向量分别为a，b，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直线l与平面α所成的角θ设l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？提示：设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则θ＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－〈a，n〉，〈a，n〉∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，,〈a，n〉－\f(π,2)，〈a，n〉∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))．))1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．()(2)直线与平面所成的角不是锐角就是直角．()(3)斜线和它在平面内的射影所成的角是锐角．()(4)若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2所成的角的余弦值等于－eq\f(2,5).()提示：(1)×.两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等或互补．(2)×.角的度数还可以是零度．(3)√.斜线和平面不垂直，也不在平面内或与平面平行，所以和它的射影所成的角肯定是锐角．(4)×.|a|＝eq\r(5)，|b|＝2eq\r(5)，a·b＝(0，－2，－1)·(2，0，4)＝－4，所以cos〈a，b〉＝eq\f(－4,\r(5)×2\r(5))＝－eq\f(2,5)，但异面直线夹角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故夹角余弦值应为eq\f(2,5).2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，则直线l与平面α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】选A.设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝eq\f(1,2)，所以θ＝30°.3．已知两异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，若cos〈v1，v2〉＝－eq\f(1,2)，则l1与l2所成角为________.【解析】由cos〈v1，v2〉＝－eq\f(1,2)，则〈v1，v2〉＝120°，l1，l2所成角为其补角60°.答案：60°关键实力·合作学习类型一向量法求异面直线所成的角(数学运算、直观想象)【典例】如图，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．四步内容理解题意条件：①直三棱柱A1B1C1­ABC②AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4③点D是BC的中点结论：异面直线A1B与C1D所成角的余弦值思路探求利用直三棱柱的特征建立空间直角坐标系，由长度得到点和向量的坐标，应用公式计算．书写表达以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则B(2，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4).因为cos〈，〉＝＝eq\f(18,\r(20)×\r(18))＝eq\f(3\r(10),10)，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为eq\f(3\r(10),10).题后反思当几何体适合建立空间直角坐标系时，一般建系，写点，写向量，代入公式计算，关键是正确写出各点坐标．利用向量求异面直线所成角的方法(1)基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，常常采纳基底的方法，在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))可分别作为a，b的方向向量，则cosθ＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|)，依据条件可以把eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))用基底表示，再进行计算．(2)坐标法：依据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避开了传统找角或作角的步骤，使过程变得简洁．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(\r(5),3)C．eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(3,5)【解析】选A.设CB＝1，则A(2，0，0)，B1(0，2，1)，C1(0，2，0)，B(0，0，1)，＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1).cos〈，〉＝＝eq\f(3,\r(5)×3)＝eq\f(\r(5),5).类型二向量法求线面角(数学运算、直观想象)【典例】已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为eq\r(2)a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．【思路导引】建立坐标系，求平面AMC1的法向量，计算法向量与向量的夹角余弦，再转化为线面角的正弦．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\r(2)a))，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，\r(2)a))，B(0，a，0)，故＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，\r(2)a))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\r(2)a))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，－\f(a,2)，\r(2)a)).设平面AMC1的法向量为n＝(x，y，z).则所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)ax＋\f(a,2)y＋\r(2)az＝0，,\f(a,2)y＋\r(2)az＝0，))令y＝2，则z＝－eq\f(\r(2),2)，x＝0.所以n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2，－\f(\r(2),2))).又＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，－\f(a,2)，\r(2)a))，所以cos〈，n〉＝＝eq\f(－a－a,\r(3)a×\r(\f(9,2)))＝－eq\f(2\r(6),9).设BC1与平面AMC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝eq\f(2\r(6),9).向量法求线面角的步骤(1)分析图形关系，建立空间直角坐标系．(2)求出直线的方向向量a和平面的法向量n.(3)求出夹角〈a，n〉．(4)推断直线和平面所成的角θ和〈a，n〉的关系，求出角θ.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】选A.建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，eq\r(2)，0)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1，eq\r(2)，－1)，平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，所以cos〈eq\o(PC,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(\o(PC,\s\up6(→))·n,|\o(PC,\s\up6(→))||n|)＝－eq\f(1,2)，所以〈eq\o(PC,\s\up6(→))，n〉＝120°，所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.备选类型高考中的立体几何(直观想象、数学运算、逻辑推理)【典例】(2024·新高考全国Ⅱ卷)如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【思路导引】(1)过P在平面PAD内作直线l∥AD，推得l为平面PAD和平面PBC的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；(2)以D为坐标原点，直线DC，DA，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D­xyz，设Q(0，m，1)，(m＞0)，运用向量法，求得平面QCD的法向量，结合向量的夹角公式，以及基本不等式可得所求最大值．【解析】(1)过P在平面PAD内作直线l∥AD，由AD∥BC，可得l∥BC，即l为平面PAD和平面PBC的交线．因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，又BC⊥CD，CD∩PD＝D，所以BC⊥平面PDC，因为l∥BC，所以l⊥平面PDC；(2)如图，以D为坐标原点，直线DC，DA，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D­xyz，则D(0，0，0)，C(1，0，0)，A(0，1，0)，P(0，0，1)，B(1，1，0)，设Q(0，m，1)(m>0)，eq\o(DQ,\s\up6(→))＝(0，m，1)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1，1，－1)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1，0，0)，设平面QCD的法向量为n＝(a，b，c)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(DC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DQ,\s\up6(→))＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,mb＋c＝0，))取c＝1，可得n＝(0，－eq\f(1,m)，1)，所以cos〈n，eq\o(PB,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(PB,\s\up6(→)),|n||\o(PB,\s\up6(→))|)＝eq\f(－1－\f(1,m),\r(3)·\r(1＋\f(1,m2)))，所以PB与平面QCD所成角的正弦值为eq\f(1＋\f(1,m),\r(3)·\r(1＋\f(1,m2)))＝eq\f(\r(3),3)·eq\r(\f(1＋\f(2,m)＋\f(1,m2),1＋\f(1,m2)))＝eq\f(\r(3),3)·eq\r(1＋\f(2,m＋\f(1,m)))≤eq\f(\r(3),3)·eq\r(1＋\f(2,2))＝eq\f(\r(6),3)，当且仅当m＝1时取等号，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为eq\f(\r(6),3).高考中的立体几何问题解法高考中的立体几何问题通常须要证明平行、垂直关系，求直线与平面所成的角或者两个平面的夹角，一般平行、垂直关系运用几何的方法推理证明，各种角的计算则运用向量的方法，一般是在几何图形中建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量的坐标，通过向量的夹角获得待求的各种角．已知△ABC的各边长为3，点D，E分别是AB，AC上的点，且满意eq\f(CE,EA)＝eq\f(1,2)，D为AB的三等分点(靠近点A)，(如图(1))，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1­DE­B的平面角为90°，连接A1B，A1C(如图(2)).(1)求证：A1D⊥平面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由题干图(1)可得：AE＝2，AD＝1，A＝60°.从而DE＝eq\r(12＋22－2×1×2×cos60°)＝eq\r(3)，故得AD2＋DE2＝AE2，所以AD⊥DE，BD⊥DE.所以A1D⊥DE，BD⊥DE，所以∠A1DB为二面角A1­DE­B的平面角，又二面角A1­DE­B为直二面角，所以∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB，因为DE∩DB＝D且DE，DB⊂平面BCED，所以A1D⊥平面BCED.(2)存在．由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D­xyz，如图，过P作PH∥DE交BD于点H，设PB＝2a(0≤2a≤3)，则BH＝a，PH＝eq\r(3)a，DH＝2－a，易知A1(0，0，1)，P(2－a，eq\r(3)a，0)，E(0，eq\r(3)，0)，所以＝(a－2，－eq\r(3)a，1).因为ED⊥平面A1BD，所以平面A1BD的一个法向量为eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，0).因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，所以sin60°＝＝eq\f(3a,\r(4a2－4a＋5)×\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，解得a＝eq\f(5,4).所以PB＝2a＝eq\f(5,2)，满意0≤2a≤3，符合题意．所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB＝eq\f(5,2).课堂检测·素养达标1．平面α的斜线l与它在这个平面上的射影l′的方向向量分别为a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，则斜线l与平面α所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】选C.因为直线与平面所成角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以l与α所成的角为a与b所成的角(或其补角)，因为cos〈a，b〉＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|a||b|)))＝eq\f(1,2)，所以〈a，b〉＝60°.2．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝eq\f(2π,3)，则l与α所成的角为()A．eq\f(2π,3)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)D．eq\f(5π,6)【解析】选C.如图所示，直线l与平面α所成的角θ＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,2)＝eq\f(π,6).3．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为()A.eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2)D