2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例课时素养评价含解析北师大版必修4

PAGE课时素养评价二十二向量应用举例(15分钟30分)1.已知在△ABC中,=a,=b,且a·b<0,则△ABC的形态为 ()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等腰直角三角形【解析】选A.因为a·b=|a||b|cos∠BAC<0,所以cos∠BAC<0,所以90°<∠BAC<180°,故△ABC是钝角三角形.2.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10牛,方向与水平面成60°角,当小车向前运动10米时,力F做的功为A.100焦耳 B.50焦耳C.50QUOTE焦耳 D.200焦耳【解析】选B.设小车位移为s,则|s|=10米,WF=F·|F||s|·cos60°=10×10×QUOTE=50(焦耳).3.过点A(2,3),且垂直于向量a=(2,1)的直线方程为 ()A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0【解析】选A.设P(x,y)为直线上一点,则⊥a,即(2-x)×2+(3-y)×1=0,即2x+y-7=0.4.在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(2,0),E,F是y轴上的两个动点,且||=2,则·的最小值为.

【解析】设点E,F的坐标分别为(0,m),(0,m+2),则=(1,m),=(-2,m+2),所以·=(m+1)2-3,当m=-1时,·取最小值-3.答案:-35.如图,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.(1)|F1|,|F2|随角θ的改变而改变的状况如何?(2)当|F1|≤2|G|时,求θ角的取值范围.【解析】(1)由力的平衡原理知,G+F1+F2=0,作向量=F1,=F2,=-G,则+=,所以四边形OACB为平行四边形,由已知∠AOC=θ,∠BOC=90°,所以||=,||=||=||tanθ.即|F1|=QUOTE,|F2|=|G|tanθ,θ∈QUOTE.由此可知,当θ从0°渐渐增大趋向于90°时,|F1|,|F2|都渐渐增大.(2)当|F1|≤2|G|时,有QUOTE≤2|G|,所以cosθ≥QUOTE,又0°≤θ<90°,所以0°≤θ≤60°.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知点O是△ABC的外心,AB=2,AC=3,则·= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选C.如图所示.取弦AC的中点D,则OD⊥AC,所以·=(+)·=·+·=QUOTE+0=QUOTE,同理可得·=QUOTE,·=·-·=QUOTE-QUOTE=QUOTE×32-QUOTE×22=QUOTE.2.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度是40m/s,A.QUOTEm/s B.QUOTEm/sC.QUOTEm/s D.QUOTEm/s【解析】选C.设鹰的飞行速度为v1,鹰在地面上的影子的速度为v2,则|v2|=40m/s,因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下,故|v1|=QUOTE=QUOTE(m/s).3.已知△ABC是边长为2的等边三角形,D为BC的中点,且=QUOTE,则·= ()A.QUOTE B.1 C.QUOTE D.3【解析】选D.由题意,设=a,=b,则|a|=2,|b|=2,且a与b的夹角为60°,又由向量的运算法则可得=QUOTE(a+b),=QUOTEa+QUOTEb,所以·=QUOTE·QUOTE=QUOTEa2+QUOTEa·b+QUOTEb2=QUOTE×22+QUOTE|a|·|b|cos60°+QUOTE×22=QUOTE+QUOTE×2×2×QUOTE+QUOTE=3.4.已知点O是△ABC内部一点,并且满意+2+3=0,△BOC的面积为S1,△ABC的面积为S2,则QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为+2+3=0,所以+=-2(+),分别取AC,BC的中点D,E,则+=2,+=2.所以=-2,即O,D,E三点共线且||=2||.如图所示,则S△OBC=QUOTES△DBC,由于D为AC中点,所以S△DBC=QUOTES△ABC,所以S△OBC=QUOTES△ABC,即QUOTE=QUOTE.【误区警示】本题中易找不到思路从而选不出正确结果.5.直线l经过点P(1,0),且圆x2+y2-4x-2y+1=0上到直线l距离为1的点恰好有3个,满意条件的直线l有 ()A.0条 B.1条 C.2条 D.3条【解题指南】方法一:先将圆的方程化成标准式,求出圆心与点P的距离为QUOTE(圆心到直线l的最大距离),而圆心C到直线的距离刚好为1(1<QUOTE)时,即可满意圆上恰好有三个点到直线的距离为1,由几何学问可知这样的直线有两条.方法二:依据圆心C到直线的距离刚好为1时,即可满意圆上恰好有三个点到直线的距离为1,用点到直线的距离公式算出即可知.【解析】选C.方法一:x2+y2-4x-2y+1=0可变形为(x-2)2+(y-1)2=4,所以圆心C(2,1),CP=QUOTE<2,所以圆心C到直线l的距离刚好为1(1<QUOTE)时,即可满意圆上恰好有三个点到直线l的距离为1,由几何学问可知这样的直线有两条.方法二:圆心C到直线l的距离刚好为1时,即可满意圆上恰好有三个点到直线l的距离为1.当直线l:x=1时,明显满意;设直线l:y=k(x-1),所以圆心C(2,1)到直线l的距离d=QUOTE=1,解得k=0,所以这样的直线有两条.二、填空题(每小题5分,共15分)6.河水的流速为2m/s,一艘小船以10m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶【解题指南】先找出三个速度之间的关系,再利用船的实际速度与水流的速度垂直求解.【解析】设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则v=v1+v2,|v1|=2,|v|=10.因为v⊥v1,所以v·v1=0,所以|v2|=|v-v1|=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.答案:2QUOTE7.已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于A,B两点,且AB=1,则·=.

【解析】因为圆x2+y2=1的半径为1,AB=1,所以△AOB为正三角形.所以·=1×1·cos60°=QUOTE.答案:QUOTE8.如图所示,一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1000km到达B地,因大雾无法着陆,故转向C地飞行,若C地在A地的南偏西60°方向,并且A,C两地相距2000km,则飞机从B地到C地的路程为【解析】由题意得||=1000,||=2000,∠BAC=60°,所以||2=|-|2=||2+||2-2||·||·cos60°=20002+10002-2×1000×2000×QUOTE=3×106,所以||=1000QUOTE,∠ABC=90°.取AC的中点D,由||=2||且∠BAD=60°,知为正南方向,有∠ABD=60°,于是∠DBC=30°,所以飞机从B地到C地的位移的大小为1000QUOTEkm,方向为南偏西答案:1000QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,▱ABCD中,=a,=b,BM=QUOTEBC,AN=QUOTEAB.(1)试用向量a,b来表示,.(2)AM交DN于O点,求AO∶OM的值.【解析】(1)因为AN=QUOTEAB,所以=QUOTE=QUOTEa,所以=-=QUOTEa-b.因为BM=QUOTEBC,所以=QUOTE=QUOTE=QUOTEb,所以=+=a+QUOTEb.(2)因为A,O,M三点共线,所以∥.设=λ,则=-=λ-=λQUOTE-b=λa+QUOTEb.因为D,O,N三点共线,所以∥,存在实数μ,使=μ,λa+QUOTEb=μQUOTE.由于向量a,b不共线,所以QUOTE解得QUOTE所以=QUOTE,=QUOTE,所以AO∶OM=3∶11.10.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,DC的中点,BE,BF与AC分别交于点R,T,证明:R,T为AC的三等分点.【证明】设=a,=b,则=a+b,=QUOTEb-a.由于与共线,因此存在实数m,使得=m(a+b).又与共线,因此存在实数n,使得=n=nQUOTE.由=+=+n,得m(a+b)=a+nQUOTE,整理得(m+n-1)a+QUOTEb=0.由于向量a,b不共线,所以有QUOTE解得QUOTE所以=QUOTE.同理=QUOTE,所以=QUOTE,所以AR=RT=TC,所以R,T为AC的三等分点.若a,b是两个不共线的非零向量,t∈R.(1)若a,b的起点相同,t为何值时,a,tb,QUOTE(a+b)三个向量的终点在一条直线上?(2)若|a|=|b|且a与b的夹角为60°,t为何值时,|a-tb|最小?【解析】(1)由题意得a-tb与a-QUOTE(a+b)共线,则设a-tb=mQUOTE,m∈R,化简