2024-2025学年高中数学第1章计数原理1.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用作业含解析新人教A版选修2-3

PAGE第一章1.11.1.2【基础练习】1．某电脑用户支配运用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，依据须要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有()A．5种 B．6种C．7种 D．8种【答案】C2．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必需全部运用且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．36个 B．18个C．9个 D．6个【答案】B3．某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，已知甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，乙同学不选择面条，则这5名同学不同的主食选择方案种数为()A．1024 B．625C．576 D．400【答案】C4．将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下图是一种填法，则不同的填写方法共有()123312231A.6种 B．12种C．24种 D．48种【答案】B【解析】第一步，从第一行选出一格填入1，有三种方法；其次步，在其次行中除去第一行中1所在的列，剩下的两个格子中选出一个填入1，有两种方法；第三步，在第三行中除去第一、二行中1所在的列，剩下的一个格子填入1；第四步，在第一行两个空格中选出一个填入2，剩下的填入3，有两种方法；第五步，在二、三行中对应填入2,3，只有一种方法．共有3×2×1×2×1＝12(种)．故选B.5．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有________种．【答案】126．从集合{1,2,3，…，10}中，选出5个不同的数组成子集且使得这5个数中任两个数的和都不等于11，则这样的子集共有________个．【答案】327．从1～20共20个整数中任取两个相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种？【解析】第一类，两个偶数相加，由分步乘法计数原理，共有eq\f(10×9,2)＝45(种)不同的取法；其次类，两个奇数相加，由分步乘法计数原理，共有eq\f(10×9,2)＝45(种)不同的取法．由分类加法计数原理得，共有45＋45＝90(种)不同取法．8．3个人要坐在同一排的8个空座位上，若每个人左右都有空座位，有多少种不同坐法？【解析】3个人在一排的8个空座位上坐下后，只剩下5个空座位，我们可以构造这样的解题过程，依次将3个人连同他的座位逐个地插入5个空座位形成的空位当中．如图所示：eq\a\vs4\al(1○○○○○3○○□○○□○,2○○□○○○4○□○□○○□○)○表示没有坐人的空位□表示已经坐人的位置由于每人左右都要有空位子，因此将第一个人连同他的座位插入时，不能插在两边，所以有4种插法(如图中的(1)到(2))；然后将其次个人连同他的座位插入时，只有3种插法(如图中的(2)到(3))；最终将第三个人连同他的座位插入时，只有2种插法(如图中的(3)到(4))．这时，我们再依据分步乘法计数原理，可以得到插入的不同方法共有4×3×2＝24(种)．【实力提升】9.(2024年上海模拟)如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形（每次旋转90°仍为L形的图案），那么在5×6个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案的个数是（）A.36 B.64 C.80 D.96【答案】C【解析】依据题意，在一个“田”字型方格中，可画出4个L形图案，而在由5×6个小方格组成的方格纸上有4×5=20个“田”字型方格，所以可以画出不同位置的L形图案的个数是20×4=80.故选C.10．第十三届全国运动会于2024年9月在天津实行，有8名运动员进入男子100米赛跑决赛，假设甲、乙、丙三人必需在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则支配这8名运动员竞赛的方式共有()A．2880种 B．1440种C．120种 D．24种【答案】A【解析】分两步支配这8名运动员．第一步：支配甲、乙、丙三名运动员，共有1,3,5,7四条跑道可支配，支配方式有4×3×2＝24种；其次步：支配另外5名运动员，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道支配，支配方式有5×4×3×2×1＝120种．∴支配这8名运动员的方式有24×120＝2880种．11.(2024年上海期末)设集合A={(x1,x2,x3,…，x10)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,…,10}，则集合A中满意条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为_____.【答案】58024.【解析】对于A中的元素，x1,x2,x3,…，x10可以从-1，0，1中任取一个数，故集合A中元素的个数为310=59049.易得不满意条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的状况有两类：①|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0，此时x1=x2=x3=…=x10=0，只有1个元素；②|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10，此时x1，x2，x3，…，x10都可以从-1，1中任取一个数，满意的元素个数为210=1024.所以集合A中满意条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为59049-1-1024=58024.12．用n种不同颜色给下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在a，b，c，d四个区域中相邻(有公共边)的区域不能用同一种颜色．(1)若n＝6，为甲着色，共有多少种不同的方法？(2)为乙着色时共有120种不同方法，求n.【解析】(1)对甲图，因为a，d只与四周两个区域相邻，而b，c与四周三个区域相邻，若a，d同色有n种不同方法，b，c不同色有(n－1)(n－2)种不同方法，共有n(n－1)(n－2)种不同方法；若a，d不同色有n(n－1)种不同方法，b，c不同色有(n－2)(n－3)种不同方法，共有n(n－1)(n－2)(n－3)种不同方法．故共有n(n－1)(n－2)＋n(n－1)(n－2)(n－3)＝n(n－1)(n－2)(n－2)种不同方法．当n＝6时，共有480种不同的着色方法．(2)对乙图，任何一个区域均与其他