有理数计算中的规律性问题（解析版）

重难点01有理数计算中的规律性问题探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．一．选择题（共8小题）1．如图，在数轴上，点P表示﹣1，将点P沿数轴做如下移动，第一次点P向右平移2个单位长度到达点P1，第二次将点P1向左移动4个单位长度到达P2，第三次将点P2向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点Pn，给出以下结论：①P5表示5；②P12＞P11；③若点Pn到原点的距离为15，则n＝15；④当n为奇数时，|Pn﹣Pn﹣1|＝2Pn；以上结论正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④【分析】先根据数轴的定义分别求出P1，P2，P3，P4，P5表示的数，再总结出Pn的规律，然后逐个判断即可．【解答】解：由题意知，点P1表示的数是﹣1+2＝1，点P2表示的数是1﹣4＝﹣3，点P3表示的数是﹣3+6＝3，点P4表示的数是3﹣8＝﹣5，点P5表示的数是﹣5+10＝5，点P6表示的数是5﹣12＝﹣7，...，∴当n为奇数时，Pn＝n，当n为偶数时，Pn＝（﹣1）n﹣1（n+1），其中n为正整数，∴①P5表示5，正确；∵P11＝11，P12＝﹣13，∴②P12＞P11，不正确；由前面的规律知Pn＝15时，n有奇数和偶数两种情况，∴③若点Pn到原点的距离为15，则n＝15，不正确；④当n为奇数时，|Pn﹣Pn﹣1|＝|n﹣（﹣1）n﹣1+1（n﹣1+1）|＝|n+n|＝2n＝2Pn，∴④正确，故选：D．【点评】本题主要考查数字的变化规律，归纳出Pn的规律是解题的关键．2．（2022秋•姜堰区期中）观察下列两行数：第一行：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，⋯．第二行：0，6，﹣6，18，﹣30，66，⋯．取每行的第8个数，这两个数的和是（）A．0 B．256 C．514 D．1024【分析】通过观察发现，第一行的第n个数是（﹣2）n，第一行的每一个数加2与第二行的数相对应，求出第一行的第8个数，即可求第二行的第8个数，再求和即可．【解答】解：∵第一行：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，⋯，∴第n个数是（﹣2）n，∴第一行的第8个数是256，∵第一行的每一个数加2与第二行的数相对应，∴第二行的第8个数是258，∴256+258＝514，∴这两个数的和是514，故选：C．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察探索出第一数的排列规律是解题的关键．3．（2022秋•江阴市期中）《九章算术》里记载过这样一个三角形数阵——杨辉三角，它是我国古代数学的杰出研究成果之一．它的每行最开始和结尾的数字都是1，中间的每个数都等于它上方的两个数的和．则杨辉三角的第9排左起第5个数是（）A．28 B．35 C．56 D．70【分析】根据题意补全杨辉三角形，再求解即可．【解答】解：如图所示：第9排左起第5个数是70，故选：D．【点评】本题考查数字的变化规律，根据题意补全杨辉三角形是解题的关键．4．（2022秋•丰县校级月考）已知整数a1，a2，a3，a4……满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|……，以此类推，则a2023的值为（）A．﹣1007 B．﹣1008 C．﹣1011 D．﹣2016【分析】通过计算可得当n是奇数时，结果等于﹣，当n是偶数时，结果等于﹣，再求值即可．【解答】解：∵a1＝0，∴a2＝﹣|a1+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣2，a5＝﹣|a1+4|＝﹣2，a6＝﹣|a2+5|＝﹣3，a7＝﹣|a3+6|＝﹣3，……∴a2＝a3＝﹣1，a4＝a5＝﹣2，a6＝a7＝﹣3，……，∴当n是奇数时，结果等于﹣，当n是偶数时，结果等于﹣，∴a2023的值为﹣1011，故选：C．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的运算规律是解题的关键．5．（2022秋•崇川区月考）计算：2﹣4+6﹣8+10﹣12+…+98﹣100＝（）A．﹣200 B．﹣100 C．﹣50 D．50【分析】观察所求的式子，将式子变形为（2﹣4）+（6﹣8）+（10﹣12）+…+（98﹣100）再求和即可．【解答】解：2﹣4+6﹣8+10﹣12+…+98﹣100＝（2﹣4）+（6﹣8）+（10﹣12）+…+（98﹣100）＝﹣2×25＝﹣50，故选：C．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所求的式子，探索出式子的一般规律是解题的关键．6．（2022秋•仪征市校级月考）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2022应标在（）A．第505个正方形的左下角 B．第505个正方形的右上角 C．第506个正方形的右上角 D．第506个正方形的右下角【分析】通过观察正方形所标的数字发现每4个数循环一次，再由2022÷4＝505……2，进而确定2022的位置即可．【解答】解：每4个数循环一次，∵2022÷4＝505……2，∴2022的位置与2的位置相对应，∴2022应该标在第506个正方形的右上角，故选：C．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列情况，探索出数的循环规律是解题的关键．7．（2022秋•海门市期末）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为3，则第2023次输出的结果是（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣6【分析】按运算程序先计算，通过计算结果找出规律，利用规律得结论．【解答】解：输入x＝3，∵3是奇数，∴输出3﹣5＝﹣2．输入x＝﹣2，∵﹣2是偶数，∴输出﹣2×＝﹣1．输入x＝﹣1，∵﹣1是奇数，∴输出﹣1﹣5＝﹣6．输入x＝﹣6，∵﹣6是偶数，∴输出﹣6×＝﹣3．输入x＝﹣3，∵﹣3是奇数，∴输出﹣3﹣5＝﹣8．输入x＝﹣8，∵﹣8是偶数，∴输出﹣8×＝﹣4．输入x＝﹣4，∵﹣4是偶数，∴输出﹣4×＝﹣2．输入x＝﹣2，∵﹣2是偶数，∴输出﹣2×＝﹣1．输入x＝﹣1，∵﹣1是奇数，∴输出﹣1﹣5＝﹣6..．依次类推，除去第一次输入，输出分别以﹣2、﹣1、﹣6、﹣3、﹣8、﹣4循环．∴2023÷6＝337.....1．故第2023次输出的结果是﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了代数式的求值，通过输入输出的计算得到规律是解决本题的关键．8．（2022秋•通州区期中）小亮运用一种方法来扩展数，并称这种方法为“亮化”，步骤如下（以﹣10为例）：①写出一个数：﹣10；②将该数加1，得到数：﹣9；③将上述两数依序合并在一起，得到第一次亮化后的一组数：（﹣10，﹣9）；④将（﹣10，﹣9）各项加1，得到（﹣9，﹣8），再将这两组数依序合并，得到第二次亮化后的一组数：（﹣10，﹣9，﹣9，﹣8）；…按此步骤，不断亮化，会得到一组数：（﹣10，﹣9，﹣9，﹣8，﹣9，﹣8，﹣8，﹣7，…），则这组数的第68个数是（）A．一9 B．﹣8 C．﹣7 D．﹣6【分析】首先根据题意确定每一次亮化后的具体数量，然后再根据变化规律找到数字．【解答】解：根据题意得：第一次亮化之后为：[﹣10，﹣9]，为2位为21；第二次亮化之后为：[﹣10，﹣9，﹣9，﹣8]，为4位为22；第三次亮化之后为：[﹣10，﹣9，﹣9，﹣8，﹣9，﹣8，﹣8，﹣7]，为8位为23；第四次亮化之后位：[﹣10，﹣9，﹣9，﹣8，﹣9，﹣8，﹣8，﹣7，﹣9，﹣8，﹣8，﹣7，﹣8，﹣7，﹣7，﹣6]，为16位为24；64＝26，第6次亮化为64个数字，第68个数为第6次亮化后第4个数字加1得到，所以，﹣8+1＝﹣7．故选：C．【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是读懂题意能发现数字变化的规律，利用规律解决问题．二．填空题（共13小题）9．（2022秋•常州期中）已知数a1，规定运算：a2＝1﹣，a3＝1﹣，a4＝1﹣，a5＝1﹣，…，an＝1﹣．按上述方法计算：当a1＝2时，a1+a2+a3+a4+…+a2023＝1013．【分析】通过计算发现运算结果2，，﹣1循环出现，再确定所求的和一共有674组循环多一个2，由此求解即可．【解答】解：∵a1＝2，∴a2＝1﹣＝，a3＝1﹣2＝﹣1，a4＝1﹣（﹣1）＝2，a5＝1﹣＝，…，∴运算结果2，，﹣1循环出现，∵2023÷3＝674……1，∴a2023＝2，∵2+﹣1＝，∴a1+a2+a3+a4+…+a2023＝×674+2＝1013，故答案为：1013．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．10．（2022秋•海安市校级月考）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是1，可发现第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2022次输出的结果是1．【分析】通过计算发现，运算结果每三次计算循环一次，由此可知第2022次输出的结果与第三次输出的结果相同，再求解即可．【解答】解：第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是1，第六次输出的结果是4，……，∴运算结果每三次计算循环一次，∵2022÷3＝674，∴第2022次输出的结果与第三次输出的结果相同，∴第2022次输出的结果是1，故答案为：1．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键．11．（2022秋•宜兴市月考）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2022＝4．【分析】分别求出a1＝﹣，a2＝，a3＝4，a4＝﹣，……，发现每三次运算后结果循环出现，即可求a2022＝a3＝4．【解答】解：∵a1＝﹣，∴a2＝＝，a3＝＝4，a4＝＝﹣，……，∴每三次运算后结果循环出现，∵2022÷3＝674，∴a2022＝a3＝4，故答案为：4．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．12．（2022秋•泗洪县期中）如图，表B是表A的一部分，则表B中x等于21或24．【分析】根据所给的表格，将表格B补充完整再求解即可．【解答】解：如图：x＝18+3＝21，x＝18+6＝24，故答案为：21或24．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出每列数的排列规律是解题的关键．13．（2022秋•阜宁县期中）观察上面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出b的值为141．【分析】通过观察可知，左下边正方形中的数是2n，b＝a+13，求出a的值再求解即可．【解答】解：最上边正方形中的数是奇数，左下边正方形中的数是2n，∴a＝27＝128，∵b＝a+13＝128+13＝141，故答案为：141．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出a的规律，能够准确求出a的值是解题的关键．14．（2022秋•灌南县校级月考）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2024个格子的数为﹣1．3abc﹣12……【分析】根据题意可得格子中的数3，﹣1，2循环出现，再由循环规律求解即可．【解答】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴这三个相邻的数分别是3，﹣1，2，∴格子中的数3，﹣1，2循环出现，∵2024÷3＝674……2，∴第2024个格子的数为﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的表格，确定表格中的三个数，并探索出数的循环规律是解题的关键．15．（2022秋•吴江区校级月考）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a2023＝﹣2．【分析】通过计算发现，每三次运算结果循环一次，由此可得a2023＝a1＝﹣．【解答】解：∵a1＝﹣，∴a2＝＝，a3＝＝3，a4＝＝﹣，……，∴每三次运算结果循环一次，∵2023÷3＝674……1，∴a2023＝a1＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键．16．（2022秋•吴江区校级月考）有一列数﹣，，﹣，，…，那么第8个数是．【分析】通过观察可得第n个数是（﹣1）n•，再求解即可．【解答】解：∵，，﹣，，…，∴﹣，，﹣，，……，∴第n个数是（﹣1）n•，∴第8个数是，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键．17．（2022秋•宜兴市月考）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝5，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019等于．【分析】通过计算发现每四次运算结果循环出现，由此可求a2019＝a3＝．【解答】解：∵a1＝5，∴a2＝＝﹣，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝5，……，∴每四次运算结果循环出现，∵2019÷4＝504……3，∴a2019＝a3＝，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．18．（2021秋•广陵区期末）【阅读】计算1+3+32+…+3100的值时，令S＝1+3+32+…+3100，则3S＝3+32+33+…+3100+3101，因此3S﹣S＝3101﹣1，所以．仿照以上推理，计算：＝．【分析】令S＝1﹣4+42﹣43+44﹣45+…+42020﹣42021，则4S＝4﹣42+43﹣44+45﹣…+42021﹣42022，求出S＝﹣，再运算即可．【解答】解：令S＝1﹣4+42﹣43+44﹣45+…+42020﹣42021，则4S＝4﹣42+43﹣44+45﹣…+42021﹣42022，∴5S＝1﹣42022，∴S＝﹣，∴1﹣4+42﹣43+44﹣45+…+42020﹣42021+＝﹣+＝，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给的例子仿照列式，并准确计算是解题的关键．19．（2021秋•东台市期末）如图，“海春书局”把WIFI密码做成了数学题．小红在海春书局看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“海春书局”的网络，那么她输入的密码是167288．【分析】通过观察发现，密码的前两位数是第一个数字与第三个数的乘积，中间两位数字是第二个数与第三个数的乘积，最后两个数是所得的两个积的和．【解答】解：通过观察可知密码的前两位数是2×8＝16，中间两位数是9×8＝72，最后两位数是16+72＝88，故答案为：167288．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的密码，探索出密码与所给数字之间的运算关系是解题的关键．20．（2022秋•东台市期中）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2022应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是131．【分析】通过观察可得前a行共有a2个数，再由第44行最后一个数是1936，可得2022在第45行第86个数，从而求出m、n的值即可求解．【解答】解：第一行1个数，第二行3个数，第三行5个数，……，第a行（2a﹣1）个数，∴前a行共有a2个数，∴第45行最后一个数是2025，∴2022在第45行第86个数，∴m＝45，n＝86，∴m+n＝45+86＝131，故答案为：131．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列，得到每行数的个数规律是解题的关键．21．（2022秋•鼓楼区校级月考）将1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）排成一列：1，，，，，…，，记a1＝1，a2＝a1+，a3＝a2+，…，记S1＝a1，S2＝a1+a2，S3＝a1+a2+a3，…，Sn＝a1+a2+a3+…+an，则S2022﹣S2021＝2022．【分析】由题意可知S2022﹣S2021＝a2022，再分别求a2＝a1+1，a3＝a2+1＝a1+2，…，an＝a1+n﹣1，即可得an＝n，求出a2022即为所求．【解答】解：∵S2022＝a1+a2+a3+…+a2022，S2021＝a1+a2+a3+…+a2021，∴S2022﹣S2021＝a2022，∵a2＝a1+，a3＝a2+，…，∴a2＝a1+＝a1+1，a3＝a2+＝a2+1＝a1+2，…，an＝a1+n﹣1，∵a1＝1，∴an＝n，∴a2022＝2022，故答案为：2022．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键．三．解答题（共10小题）22．（2022秋•江阴市校级月考）有一列数，第一个数用a1表示，第二个数用a2表示，…，第n个数用an表示，n为正整数；已知，，，，…（1）利用以上运算的规律，直接写出a5＝；a8＝；an＝；（2）计算：a1×a2×a3×a4…a10的值．【分析】（1）根据所给的等式，通过观察得到一般规律为an＝；（2）根据（1）的规律，可得所求式子为3×2××××××××，再计算求值即可．【解答】解：（1）a5＝，a8＝，an＝，故答案为：，，；（2）∵，，，，…，an＝，∴a1×a2×a3×a4…a10＝3×2××××××××＝66．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律是解题的关键．23．（2022秋•崇川区月考）阅读下列例题：计算：2+22+23+24+25+26+…+210．解：设S＝2+22+23+24+25+26+…+210，①那么2S＝2×（2+22+23+24+25+…+210）＝22+23+24+25+…+210+211．②②﹣①，得S＝211﹣2．所以原式＝211﹣2．仿照上面的例题计算：3+32+33+34+…+32022．【分析】由题意可得S＝3+32+33+34+…+32022，则3S＝32+33+34+…+32022+32023，再由作差法求解即可．【解答】解：S＝3+32+33+34+…+32022，则3S＝32+33+34+…+32022+32023，∴2S＝32023﹣3，∴S＝，∴3+32+33+34+…+32022＝．【点评】本题考查数字的变化规律，能够模仿所给的运算过程，对所给的式子进行运算即可．24．（2022秋•江都区月考）先观察下列等式，再完成题后问题：＝，，（1）请你猜想：＝﹣．（2）若a、b为有理数，且|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，求：的值．（3）＝．【分析】（1）通过观察已知的等式，直接写出即可；（2）由题意可得方程a﹣1＝0，ab﹣2＝0，求出a、b的值，再将所求的式子变形为1﹣+…+﹣，再求和即可；（3）将所求的等式变形为（1﹣+﹣+…+﹣），再求和即可．【解答】解：（1）＝，故答案为：；（2）∵|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，∴a﹣1＝0，ab﹣2＝0，∴a＝1，b＝2，∴＝+++…+＝1﹣+…+﹣＝1﹣＝；（3）＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝×（1﹣）＝，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行运算是解题的关键．25．（2022秋•宜兴市月考）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝×（1﹣）；第2个等式：a2＝＝×（﹣）；第3个等式：a3＝＝×（﹣）；第4个等式：a4＝＝×（﹣）…寻找规律，解决问题：（1）写出第5个等式：a5＝＝（﹣）；写出第10个等式：a10＝＝（﹣）；（2）求a1+a2+……+a2022的值．【分析】（1）根据所给的等式，直接写出即可；（2）通过观察可得规律：第n个等式为an＝＝×（﹣），再利用规律计算即可．【解答】解：（1）第5个等式为a5＝＝（﹣），第10个等式为a10＝＝（﹣），故答案为：，（﹣），，（﹣）；（2）由（1）可得，第n个等式为an＝＝×（﹣），∴a1+a2+……+a2022＝++++……+＝（1﹣+﹣+﹣+……+﹣）＝×（1﹣）＝＝．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律是解题的关键．26．（2022秋•锡山区校级月考）探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表：分母中加数的个数（n）和的倒数2345……（1）根据表中规律，求＝；（2）根据表中规律，则＝；（3）求的值．【分析】（1）根据所给式子可得，原式＝2×（﹣），再求解即可；（2）根据所给式子可得，原式＝2×（﹣），再求解即可；（3）由（1）（2）可得原式＝2×（﹣）+2×（﹣）+…+2×（﹣），再求解即可．【解答】解：（1）＝2×（﹣）＝，故答案为：；（2）＝2×（﹣）＝，故答案为：；（3）＝2×（﹣）+2×（﹣）+…+2×（﹣）＝2×（﹣）＝．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，探索出式子的一般规律并能加以运用是解题的关键．27．（2022秋•邳州市期中）观察下列三行数，并完成填空：①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，……②﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，……③﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，……（1）第①行第10个数是1024；第②行数第10个数是37；（2）第③行第n个数是（﹣1）n•n2；（3）取每行的第10个数，计算这三个数的和为1161．【分析】（1）不难看出第①行第n个数为（﹣2）n；第②行第n个数为（﹣1）n•（4n﹣3）；再令n＝10，分别求解即可；（2）通过观察发现，第③行第n个数为（﹣1）n•n2；（3）分别表示出第10个数，再求和即可．【解答】解：（1）∵①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，……，∴第n个数为：（﹣2）n，∴第10个数为：（﹣2）10＝1024；∵②﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，……，∴第n个数是（﹣1）n•（4n﹣3），∴第10个数是37，故答案为：1024，37；（2）∵③﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，……，∴第n个数是（﹣1）n•n2，故答案为：（﹣1）n•n2；（3）第③行的第10个数是100，∴1024+37+100＝1161，故答案为：1161．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算所给的数，能够探索出每行数的规律是解题的关键．28．（2022秋•阜宁县期中）折叠纸面，若在数轴上﹣1表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：（1）数轴上8表示的点与﹣4表示的点重合．（2）若数轴上M、N两点之间的距离为800（M在N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数各是多少？（3）如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示﹣1的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2022次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的哪个数重合？【分析】（1）先根据在数轴上﹣1表示的点与5表示的点重合求出中点表示的数，进而可得出结论；（2）先求出MN的值，再由中点是2表示的点得出结论；（3）正方形在数轴上向右滚动一次，二次，三次后落在数轴上一边的右端点表示的数，找出规律即可得出结论．【解答】解：（1）∵在数轴上﹣1表示的点与5表示的点重合，∴＝2，∴在数轴上﹣1表示的点与5表示的点的中点是2表示的点，∴数轴上8表示的点与﹣4表示的点重合．故答案为：﹣4．（2）∵数轴上M、N两点之间的距离为800（M在N的左侧），∴MN＝×800＝400，∴2+400＝402，2﹣400＝﹣398，∴M点表示的数是﹣398，N点表示的数是402．答：M、N两点表示的数分别是﹣398，402；（3）∵边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示﹣1的点处，∴正方形在数轴上向右滚动一次后落在数轴上一边的右端点表示的数是3；正方形在数轴上向右滚动2次后落在数轴上一边的右端点表示的数是5；正方形在数轴上向右滚动3次后落在数轴上一边的右端点表示的数是7．∴正方形在数轴上向右滚动2022次后落在数轴上一边的右端点表示的数是2×2022+1＝4045．∵4﹣4045＝﹣4041，∴正方形滚动2022次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的﹣4041重合．【点评】本题考查的是实数与数轴，根据题意找出规律是解答此题的关键．29．（2022秋•江都区月考）定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如3÷3÷3÷3等．类比有理数的乘方，我们把3÷3÷3÷3记作34，读作“3的下4次方”．一般地，把n个a（a≠0）相除记作an，读作“a的下n次方”．（1）直接写出计算结果：34＝．（2）关于除方，下列说法正确的有①②④（把正确的序号都填上）①对于任何正整数n，1n＝1；②a2＝1（a≠0）；③23＝32④负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数．（3）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：（幂的形式）．试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：65＝（）3；＝（﹣3）7．（4）计算：．【分析】（1）根据定义直接运算求值即可；（2）分别运算每一个选项，再进行判断即可；（3）根据所给的例题，进行计算即可；（4）原式变形为（﹣2）2÷（﹣2）3﹣8+（﹣6）×2，再按有理数的运算法则运算即可．【解答】解：（1）34＝3÷3÷3÷3＝，故答案为：；（2）∵1n＝1÷1÷1÷…÷1＝1，故①符合题意；∵a2＝a÷a＝1，∴a2＝1，故②符合题意；∵23＝2÷2÷2＝，32＝3÷3＝1，∴23≠32，故③不符合题意；根据除法的定义可得，负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数，故④符合题意；故答案为：①②④；（3）65＝6÷6÷6÷6÷6＝6××××＝（）3，＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）＝（﹣3）7，故答案为：（）3，（﹣3）7；（4）＝（﹣2）2÷（﹣2）3﹣8+（﹣6）×2＝﹣﹣8﹣12＝﹣20．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的运算，探索出运算规律，并能灵活应用新运算计算，弄清定义是解题的关键．30．（2023春•常州期末）观察下列等式：32﹣12＝8；52﹣32＝16；72﹣52＝24；92﹣72＝32；…根据上述规律，解答下列问题：（1）填空：132﹣112＝48，192﹣172＝72；（2）用含n（n是正整数）的等式表示这一规律，证明你的结论是正确的．【分析】（1）按题所给算式计算即可；（2）分别探索三个数列的规律，再按照等式形式表示即可，将结论按照平方差公式展开计算即可．【解答】解：（1）132﹣112＝48，192﹣172＝72，故答案为：48，72．（2）由数列3，5，7，9...，得第n个数为：2n+1，由数列1，3，5，7...，得第n个数为：2n﹣1，由数列8，16，24，32...，得第n个数为：8n，∴该等式的规律为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n．等式左边：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n，∴结论正确．【点评】本题考查了数字规律的探究，等差数列规律的性质及平方差公式的应用是解题关键．31．（2022秋•扬州期中）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．4□☆△6﹣5……（1）□＝6，☆＝﹣5，Δ＝4；（2）试判断第2022个格子中的数是多少，并给出相应的理由；（3）判断：前n个格子中所填整数之和是否可能为2035？若能，求出对应的n值，若不能，请说明理由．【分析】（1）根据其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，通过计算可得Δ＝4，□＝6，又因为第9个格中的数是﹣5，可得☆＝﹣6；（2）表格中的数字规律4，6，﹣5的循环，用2022除以3，通过余数可以判断第2022个格子的数字；（3）根据表中的规律先计算一个循环的和为4+6﹣5＝5，用2035÷5＝407，再将结果乘以3，可得n的值．【解答】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴4+□+☆＝□+☆+△，∴Δ＝4，∵□+☆+Δ＝6+☆+△，∴□＝6，∴表中数字的排列规律为：4，6，☆，4，6，☆，•••，∵表中第9个数字为﹣5，∴☆＝﹣5．故答案为：6，﹣5，4．（2）第2022个格子中的数是4．理由：由（1）知：表格中的数字规律是4，6，﹣5的循环．∵2022÷3＝674，∴第2022个格子中的数字与第三个数字相同．∴第2022个格子中的数字为﹣5；（3）前n个格子中所填整数之和能为2035，理由如下：∵4+6﹣5＝5，∴每一个循环组的和为5．∵2035÷5＝407，∴407组数字之和为2035．∴407×3＝1221．又∵4+6﹣5﹣5＝0，当n＝1217时，不符合题意，∴n＝1221．【点评】本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算，正确找出数字变化的规律是解题的关键．一．选择题（共3小题）1．（2021秋•高邮市期末）如图，在这个数运算程序中，若开始输入的正整数n为奇数，都计算3n+1；若n为偶数，都除以2．若n＝21时，经过1次上述运算输出的数是64；经过2次上述运算输出的数是32；经过3次上述运算输出的数是16；…；经过2022次上述运算输出的数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分别求出部分输出结果，发现第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次，从第5次输出结果开始，每3次结果循环一次，则经过2022次上述运算输出的数与第6次输出的结果相同，由此可求解．【解答】解：当n＝21时，经过1次运算输出的数是64，经过2次运算输出的数是32，经过3次运算输出的数是16，经过4次运算输出的数是8，经过5次运算输出的数是4，经过6次运算输出的数是2，经过7次运算输出的数是1，经过8次运算输出的数是4，经过9次运算输出的数是2，……∴第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次，从第5次输出结果开始，每3次结果循环一次，∵（2022﹣4）÷3＝672…2，∴经过2022次上述运算输出的数与第6次输出的结果相同，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，通过运算找到输出结果的循环规律是解题的关键．2．（2021秋•惠山区校级期中）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…）在小于50的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（）A．139 B．94 C．59 D．16【分析】求出第9个“三角形数”，第7个“正方形数”，即可求m、n的值．【解答】解：∵“三角形数”分别是1，3，6，10，…，∴第x个“三角形数“，∵＜50，且x为正整数，∴x取最大值9，∴m＝45，∵“正方形数”分别是1，4，9，16，…，∴第y个“正方形数”y2，y为正整数，∵y2＜50，∴y取最大值7，∴n＝49，∴m+n＝94，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给数的规律，探索出数字的规律是解题的关键．3．（2021秋•句容市期中）小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3﹣2＝18+7﹣6﹣5＝415+14+13﹣12﹣11﹣10＝924+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17＝16……根据以上规律可知第201行左起第3个数是（）A．40800 B．40801 C．40802 D．40803【分析】通过观察发现：第n行最后一个数是（n+1）2﹣1，求出第201行的第一个数即可求解．【解答】解：第一行第一个数是22﹣1，第二行第一个数是32﹣1，第三行第一个数是42﹣1，第四行第一个数是52﹣1，……，∴第n行第一个数是（n+1）2﹣1，∴第201行第一个数是2022﹣1＝40803，∴第201行左起第3个数是40801，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出每个等式的第一个数的规律是解题的关键．二．填空题（共7小题）4．（2022秋•亭湖区月考）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为32，我们发现第一次输出的结果为16，第二次输出的结果为8，…，则第2022次输出的结果为4．【分析】通过计算发现，从第4次运算开始，结果每3次运算循环一次，则第2022次输出的结果与第6次输出的结果相同，求出第6次运算的结果即为所求．【解答】解：当x＝32时，输出结果为32＝16，当x＝16时，输出结果为16＝8，当x＝8时，输出结果为8＝4，当x＝4时，输出结果为4＝2，当x＝2时，输出结果为2＝1，当x＝1时，输出结果为1+3＝4，当x＝4时，输出结果为4＝2，……∴从第4次运算开始，结果每3次运算循环一次，∵（2022﹣3）÷3＝673，∴第2022次输出的结果与第6次输出的结果相同，∴第2022次输出的结果是4，故答案为：4．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．5．（2021秋•滨海县期中）观察一列数：，，，，，，根据规律，请写出第16个数是﹣．【分析】通过观察发现第n个数是（﹣1）n+1•，由此求解即可．【解答】解：∵，，，，，，……，∴，﹣，，﹣，，﹣，……，∴第n个数是（﹣1）n+1•，∴第16个数是﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出数的分子与分母的规律是解题的关键．6．（2021秋•兴化市校级月考）已知（n＝1，2，3⋯，2021），求当a1＝1时，a1a2+a2a3+⋯+a2021a2022的值为．【分析】通过计算发现规律，an＝，则所有式子＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣，再运算即可．【解答】解：∵a1＝1，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，…，∴an＝，∴a1a2+a2a3+⋯+a2021a2022＝1×++×+…+×＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察，探索出数的一般规律是解题的关键．7．（2021秋•启东市校级月考）有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an．若a1＝﹣2，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”．试计算：a2＝，a3＝，a4＝﹣2，a5＝．由你发现的规律计算a2021＝．【分析】通过计算发现每三次运算结果循环出现，则a2021＝a2＝．【解答】解：∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，a5＝＝，…∴每三次运算结果循环出现，∵2021÷3＝673……2，∴a2021＝a2＝，故答案为：，，﹣2，，．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．8．（2021秋•徐州期中）如图，每个格子中都是整数，若任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则从左边第一个格子开始向右数，第2021个格子中的数为2．﹣4223…【分析】根据题意将表格补充完整，可发现表格中数﹣4，2，3循环出现，即可求第2021个格子中的数为2．【解答】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴表格中所填数为﹣4，2，3，﹣4，2，3，……∴表格中数﹣4，2，3循环出现，∵2021÷3＝673…2，∴第2021个格子中的数为2，故答案为：2．【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过表格中所给的数，探索数字的循环规律是解题的关键．9．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离不大于18，那么n的最大值是11．【分析】根据移动规律，可得当n是奇数时，An表示的数是1+3×﹣3n，当n是偶数时，An表示的数是1+3×，再由1+3×≤18或|1+3×﹣3n|≤18，求出n的最大值即可．【解答】解：由题可得A1表示的数是1﹣3＝﹣2，A2表示的数是1﹣3+6＝4，A3表示的数是1﹣3+6﹣9＝﹣5，A4表示的数是1﹣3+6﹣9+12＝7，…，∴第n次移动后An表示的数是1﹣3+6﹣9+12﹣15+…+3n，当n是奇数时，An表示的数是1+3×﹣3n，当n是偶数时，An表示的数是1+3×，∵点An与原点的距离不大于18，∴1+3×≤18或|1+3×﹣3n|≤18，∴n≤或n≤，∵n是正整数，∴n的最大值为11，故答案为：11．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出移动后的点表示的数的规律，会解一元一次不等式是解题的关键．10．（2021秋•如皋市校级月考）有一列按规律排列的代数式：b，2b﹣a，3b﹣2a，4b﹣3a，5b﹣4a，…，相邻两个代数式的差都是同一个整式，若第1011个代数式的值为3，则前2021个代数式的和的值为6063．【分析】通过观察可得第n个代数为nb﹣（n﹣1）a，则有1011b﹣1010a＝3，再求前2021个代数式的和为：2021×（1011b﹣1010a），由此可求解．【解答】解：由题意可得第n个代数为nb﹣（n﹣1）a，∵第1011个代数式的值为3，∴1011b﹣1010a＝3，∴前2021个代数式的和为：（b+2b+3b+…+2021b）﹣（1+2+3+…+2020）a＝1011×2021b﹣1010×2021a＝2021×（1011b﹣1010a）＝2021×3＝6063，故答案为：6063．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的多项式，探索出多项式的一般规律，再由利用整体的数学思想求值是解题的关键．三．解答题（共8小题）11．（2021秋•兴化市校级月考）从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如图．（1）算式2+4+6+…+300中，共有150个加数，利用上面的规律计算：2+4+6+…+300；（2）计算182+184+186+188+…+400的值．【分析】（1）1到300共300个数，其中的偶数有150个，根据所给的等式，可得2+4+6+…+300＝150×151，计算结果即可；（2）所求式子变形为（2+4+…+182+184+186+188+…+400）﹣（2+4+…+180），再求解即可．【解答】解：（1）2+4+6+…+300中共有150个数，∴2+4+6+…+300＝150×151＝22650，故答案为：150；（2）182+184+186+188+…+400＝2+4+…+182+184+186+188+…+400﹣（2+4+…+180）＝200×201﹣90×91＝32010．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式和的一般规律是解题的关键．12．（2021秋•如东县月考）观察下面三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…．③（1）写出第①行数的第10个数；（2）观察第②③行数与第①行数的关系，写出第二行的第n数；（3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和．【分析】（1）通过观察可得第一行数的规律为（﹣2）n；（2）通过观察可得第二行数的规律为（﹣2）n+2；（3）通过观察可得第三行的第n个数是（﹣1）n2n﹣1，根据题意分别求出各数再求和即可．【解答】解：（1）第一行数的规律为（﹣2）n，∴第10个数是（﹣2）10＝1024；（2）①的每个数加2，即为②的数，∴第二行的第n个数是（﹣2）n+2；（3）①的每个数除以2，即为③的数，∴第三行的第n个数是（﹣1）n2n﹣1；∴第三行的第9个数是﹣256，∵第二行的第9个数是﹣510，第一行的第9个数是﹣512，∴﹣512﹣510﹣256＝﹣1278．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察每行数的特点，再纵向观察每列数的特点，探索出各数之间的关系是解题的关键．13．（2021秋•港闸区校级月考）探索规律：观察下面算式，并解答问题．1+3＝4＝221+3+5＝9＝321+3+5+7＝16＝421+3+5+7+9＝25＝52（1）试猜想1+3+5+7+…+19＝102；（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）＝（n+2）2；（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…+2019+2021．（请算出最后数值哦！并写出计算过程）【分析】（1）原式＝（）2＝102；（2）原式＝（）2＝（n+2）2；（3）原式＝1+3+5+…+999+1001+1003+1005+…+2019+2021﹣（1+3+5+…+999）＝10112﹣5002，再计算即可．【解答】解：（1）1+3+5+7+…+19＝（）2＝102，故答案为：102；（2）1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）＝（）2＝（n+2）2，故答案为：（n+2）2；（3）1001+1003+1005+…+2019+2021＝1+3+5+…+999+1001+1003+1005+…+2019+2021﹣（1+3+5+…+999）＝10112﹣5002＝（1011+500）×（1011﹣500）＝1511×511＝772121．【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给式子，探索出式子的规律，并运用规律进行解题是关键．14．（2021秋•东台市期末）阅读探究：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…（1）根据上述规律，小亮发现2+22+23+24+25＝2m﹣2，求出m＝6．（2）小聪继续又发现：23+24＝（2+22+23+24）﹣（2+22）＝25﹣2323+24+25＝（2+22+23+24+25）﹣（2+22）＝2m﹣2323+24+25+26＝（2+22+23+24+25+26）﹣（2+22）＝2n﹣23，求出n＝7．（3）若A＝250+251+252+…+2100＝2a﹣2b，请运用小聪的方法求a和b的值．【分析】（1）由题意可得2+22+23+24+25＝26﹣2，即可求解；（2）通过观察所给是式子，发现23+24+25+26＝（2+22+23+24+25+26）﹣（2+22）＝27﹣23，即可求解；（3）由（2+22+23+24+…+2100）﹣（2+22+23+24+…+249）＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）＝2101﹣250，再结合所求即可求解．【解答】解：（1）由题意可得，2+22+23+24+25＝26﹣2，∴m＝6，故答案为：6；（2）∵23+24＝（2+22+23+24）﹣（2+22）＝25﹣23，∴23+24+25＝（2+22+23+24+25）﹣（2+22）＝26﹣23，23+24+25+26＝（2+22+23+24+25+26）﹣（2+22）＝27﹣23＝2n﹣23，∴n＝7，故答案为：7；（3）∵2+22+23+24+…+2100＝2101﹣2，2+22+23+24+…+249＝250﹣2，∴（2+22+23+24+…+2100