第07讲 有理数的乘法与除法（3种题型）（解析版）

第07讲有理数的乘法与除法（3种题型）1．理解有理数的乘法与除法法则；2．能利用有理数的乘法与除法法则进行简单的有理数乘法运算；(重点)3．会利用有理数的乘法与除法解决实际问题．(难点)一．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•1a=1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是（2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数．二．有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．三．有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a•1b（b（2）方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．一．倒数（共7小题）1．（2023•泗洪县三模）﹣2023的倒数是（）A．﹣2023 B．2023 C．﹣ D．【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．【解答】解：﹣2023的倒数是﹣．故选：C．【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．2．（2021秋•启东市校级期中）若a的相反数等于2，则a的倒数是（）A．﹣ B．﹣2 C． D．2【分析】根据相反数、倒数的定义解答即可．倒数：乘积是1的两数互为倒数；相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．【解答】解：∵a的相反数等于2，∴a＝﹣2，∴a的倒数是．故选：A．【点评】本题主要考查的是倒数的定义，掌握相关的定义是解题的关键．3．（2022秋•大丰区期末）若m，n互为倒数，则|mn﹣2|＝1．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数结合有理数减法以及绝对值进行求解即可．【解答】解：∵m，n互为倒数，∴mn＝1，∴|mn﹣2|＝|1﹣2|＝|﹣1|＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了倒数的定义，有理数减法运算，求一个数的绝对值，熟练掌握以上知识是解本题的关键．4．（2023春•邗江区月考）2023的____是﹣2023，则横线上可填写的数学概念名词是（）A．倒数 B．平方 C．绝对值 D．相反数【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．【解答】解：2023的相反数是﹣2023．故选：D．【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．5．（2023•南京模拟）的相反数是，的倒数是﹣2．【分析】乘积是1的两数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，由此即可得到答案．【解答】解：﹣相反数是，的倒数是﹣2．故答案为：，﹣2．【点评】本题考查倒数，相反数，关键是掌握倒数、相反数的定义．6．（2022秋•邗江区期末）若a、b是互为倒数，则2ab﹣5＝﹣3．【分析】互为倒数的两数之积为1，从而代入运算即可．【解答】解：∵a、b是互为倒数，∴ab＝1，∴2ab﹣5＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了倒数的定义，属于基础题，注意互为倒数的两数之积为1．7．（2020秋•射阳县校级月考）|﹣3|的倒数是．【分析】先计算|﹣3|，再求|﹣3|的倒数．【解答】解：∵|﹣3|＝3，∴|﹣3|的倒数是．故答案为．【点评】本题是基础题，考查了倒数、绝对值的概念，要熟练掌握．二．有理数的乘法（共15小题）8．（2015•苏州模拟）计算（﹣2）×5的结果是（）A．10 B．5 C．﹣5 D．﹣10【分析】根据有理数的乘方运算法则直接求出即可．【解答】解：（﹣2）×5＝﹣10．故选：D．【点评】此题主要考查了有理数乘法运算，正确把握运算法则是解题关键．9．（2022秋•邗江区校级月考）计算﹣×＝﹣．【分析】根据有理数的乘法法则计算可得．【解答】解：﹣×＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．10．（2022秋•泰州月考）计算（﹣2）×（﹣3）的结果等于（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6【分析】根据有理数乘法法则进行计算即可．【解答】解：根据有理数乘法法则：负负得正，（﹣2）×（﹣3）＝6．故选：D．【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．11．（2022秋•铜山区校级月考）已知|x|＝3，|y|＝6．若xy＜0，求x+y的值．【分析】先根据绝对值的定义可求出x＝±3，y＝±6，再根据xy＜0进行分类讨论即可求解．【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝6，∴x＝±3，y＝±6，∵xy＜0，①x＝3，y＝﹣6，x+y＝3+（﹣6）＝﹣3，②x＝﹣3，y＝6，x+y＝﹣3+6＝3，∴x+y＝﹣3或3．【点评】本题主要考查了绝对值和有理数的加法，掌握绝对值的定义及有理数的加法法则是解题的关键．12．（2022秋•泰州月考）用简便方法计算：（1）；（2）（﹣99）×999．【分析】（1）原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值；（2）先将题目中的式子变形，然后根据乘法分配律可以解答本题．【解答】解：（1）原式＝（20﹣）×（﹣8）＝20×（﹣8）﹣×（﹣8）＝﹣160+＝﹣159；（2）原式＝（1﹣100）×999＝999﹣100×999＝999﹣99900＝﹣98901．【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2023春•无锡月考）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则的a值是3．【分析】认真仔细理解题意，根据题意可得出10（a﹣2）+（﹣a+5）＝4a，计算出a值．【解答】解：根据题意可得，如图所示，且设方格相应的位置为x，y，则有0+a+x＝2a﹣2，y+0+1＝﹣a+6，那么x＝a﹣2，y＝﹣a+5，再将其都代入中，得到10（a﹣2）+（﹣a+5）＝4a，解得：a＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，以及新概念的快速理解运用能力，解答的关键是根据题意列出相应的方程．14．（2022秋•宿豫区期中）用简便方法计算：．【分析】先把所求的算式变形为，再利用乘法分配律计算即可．【解答】解：＝＝＝＝＝．【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算顺序和运算法则是关键．15．（2022秋•姜堰区期中）小明说：“请你任意想一个数，把这个数乘3后加12，然后除以6，再减去你原来所想的那个数的，我都可以知道你计算的结果．”请根据小明的说法进行探索．（1）如果你想的那个数是﹣2，请列式并计算结果；（2）你觉得小明说的话可信吗？请说明你的理由．【分析】（1）根据给定的运算规则可得（﹣2×3+12）÷6﹣，求解即可；（2）设这个数是x，根据题意，得，进一步化简即可．【解答】解：（1）根据题意，得（﹣2×3+12）÷6﹣＝6÷6+1＝1+1＝2；（2）小明说的话可信，理由如下：设这个数是x，根据题意，得＝＝2，∴结果和x无关，是个定值，∴小明说的话可信．【点评】本题考查了有理数的乘法，列代数式求值，能根据题意列出代数式是解题的关键．16．（2022秋•徐州月考）已知|x|＝3，|b|＝7．若xy＜0，求x﹣y的值．【分析】根据条件，分别求出符合条件的x，y的值，再进行计算．【解答】解：∵|x|＝3，|b|＝7，∴x＝±3，b＝±7，∵xy＜0，∴x与y异号，①当x＝3时，y＝﹣7，x﹣y＝3﹣（﹣7）＝10；②当x＝﹣3，y＝7，x﹣y＝﹣3﹣7＝﹣10．综上所述，x﹣y的值为10或﹣10．【点评】本题考查了有理数的减法运算以及绝对值知识点，综合性较强，难度适中．17．（2022秋•江宁区校级月考）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！（1）当ab＜0时，若b＞0，|a|＜|b|，则a+b＞0；（2）当abc＜0时，若ab＞0，则c＜0；（3）当a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，求a+b的值．（写出分类讨论的过程）【分析】（1）根据有理数的乘法法则和加法法则即可确定；（2）根据有理数的乘法法则即可确定；（3）a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，分情况讨论：①a＝1，b＝0，②a＝0，b＝1，③a＝﹣1，b＝0，④a＝0，b＝﹣1，分别计算a+b的值即可．【解答】解：（1）∵ab＜0，b＞0，∴a＜0，∵|a|＜|b|，∴a+b＞0，故答案为：＞；（2）∵abc＜0，ab＞0，∴c＜0，故答案为：＜；（3）∵a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，分情况讨论：①a＝1，b＝0，此时a+b＝1；②a＝0，b＝1，此时a+b＝1；③a＝﹣1，b＝0，此时a+b＝﹣1；④a＝0，b＝﹣1，此时a+b＝﹣1，∴a+b的值为±1．【点评】本题考查了有理数的乘法和有理数的加法，熟练掌握有理数的乘法法则和加法法则是解题的关键，注意分情况讨论．18．（2022秋•靖江市校级月考）已知：|a|＝2，|b|＝5．（1）若ab＜0，求a﹣b的值；（2）若|a﹣b|＝a﹣b，求ab的值．【分析】根据绝对值的定义可得a＝±2，b＝±5；（1）根据ab＜0，分情况讨论：①a＝2，b＝﹣5，②a＝﹣2，b＝5，分别求解即可；（2）根据|a﹣b|＝a﹣b，可得a﹣b≥0，分两种情况：①a＝2，b＝﹣5，②a＝﹣2，b＝﹣5，分别求解即可．【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝5，∴a＝±2，b＝±5，（1）∵ab＜0，①a＝2，b＝﹣5，此时a﹣b＝7，②a＝﹣2，b＝5，此时a﹣b＝﹣7，∴a﹣b的值为±7；（2）∵|a﹣b|＝a﹣b，∴a﹣b≥0，①a＝2，b＝﹣5，此时ab＝﹣10，②a＝﹣2，b＝﹣5，此时ab＝10，∴ab的值为±10．【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，绝对值等，熟练掌握这些知识是解题的关键．19．（2022秋•港闸区校级月考）如果a，b，c是非零有理数，求式子的所有可能的值．【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘法法则分情况讨论即可．【解答】解：根据题意，当a＞0，b＞0，c＞0时，＝2+2+2﹣1＝5；当a＞0，b＞0，c＜0时，＝2+2﹣2+1＝3；当a＞0，b＜0，c＞0时，＝2﹣2+2+1＝3；当a＜0，b＞0，c＞0时，＝﹣2+2+2+1＝3；当a＜0，b＜0，c＞0时，＝﹣2﹣2+2﹣1＝﹣3；当a＞0，b＜0，c＜0时，＝2﹣2﹣2﹣1＝﹣3；当a＜0，b＞0，c＜0时，＝﹣2+2﹣2﹣1＝﹣3；当a＜0，b＜0，c＜0时，＝﹣2﹣2﹣2+1＝﹣5；综上所述，式子的所有可能的值为±3或±5．【点评】本题考查了有理数的乘法和绝对值，熟练掌握绝对值的性质以及有理数的乘法法则是解题的关键．20．（2022秋•鼓楼区期末）在数轴上有一点A，将点A向左移动2个单位得到点B，点B向左移动4个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．若a、b、c三个数的乘积为负数且这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为4或3．【分析】设a的值为x，则b的值为x﹣2，c的值为x﹣6，根据这三个数的和与其中的一个数相等分情况讨论即可得出答案．【解答】解：设a的值为x，则b的值为x﹣2，c的值为x﹣6，①当x+x﹣2+x﹣6＝x时，解得：x＝4，∴a＝4，b＝2，c＝﹣2，∴abc＜0，符合题意；故a的值为：4．②当x+x﹣2+x﹣6＝x﹣2时，解得：x＝3，∴a＝3，b＝1，c＝﹣3，∴abc＜0，符合题意；故a的值为：3．③当x+x﹣2+x﹣6＝x﹣6时，解得：x＝1，∴a＝1，b＝﹣1，c＝﹣5；∴abc＞0，不符合题意；综上所述：a的值为4或3．故答案为：4或3．【点评】本题考查了数轴，有理数的乘法，考查分类讨论的数学思想，根据这三个数的和与其中的一个数相等分情况讨论是解题的关键．21．（2022秋•崇川区校级月考）已知：|a|＝2，|b|＝5，若|a﹣b|＝a﹣b，则ab＝±10【分析】根据绝对值的意义先确定a、b的值，再计算a与b的积．【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝5，∴a＝±2，b＝±5．∵|a﹣b|≥0，∴a﹣b≥0，∴a＝±2，b＝﹣5．∴ab＝±2×（﹣5）＝±10．故答案为：±10．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，理解绝对值的意义是解决本题的关键．22．（2022秋•启东市校级月考）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．（1）求3*（﹣4）的值；（2）求（﹣2）*（6*3）的值．【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解．【解答】解：（1）3*（﹣4），＝4×3×（﹣4），＝﹣48；（2）（﹣2）*（6*3），＝（﹣2）*（4×6×3），＝（﹣2）*（72），＝4×（﹣2）×（72），＝﹣576．【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键．三．有理数的除法（共6小题）23．（2023•如东县一模）计算（﹣6）÷3＝（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【分析】根据有理数除法运算法则“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”计算即可．【解答】解：原式＝﹣（6÷3）＝﹣2，故选：B．【点评】本题考查有理数除法法则的运用，熟悉有理数除法法则是解题的关键．24．（2023•姑苏区三模）计算（﹣12）÷3的结果等于（）A．﹣4 B．4 C．﹣9 D．9【分析】利用有理数的除法法则解答即可．【解答】解：原式＝﹣12÷3＝﹣4．故选：A．【点评】本题主要考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键．25．（2023•苏州一模）化简的结果是（）A．2 B．﹣2 C． D．【分析】有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，由此即可计算．【解答】解：＝1×（﹣2）＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查有理数的除法，关键是掌握有理数除法法则．26．（2022秋•亭湖区期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：（1）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字乘积最大，并说明理由；（2）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字相除的商最小，并说明理由．【分析】（1）根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，取绝对值最大且同号的2张卡片；（2）根据两数相除，同号得正，异号得负，从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，则取绝对值相差越大且异号的两数相除即可得到答案．【解答】解：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字乘积最大，可抽取﹣7和﹣3，﹣7×（﹣3）＝21；（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，可抽取﹣7和1，﹣7÷1＝﹣7．【点评】本题考查有理数的乘、除法运算，同时考查数学运算素质，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．27．（2022秋•玄武区期中）下列说法：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若a、b互为倒数，则＝1；③若|a|＝a，则a＞0；④若a+b＝0，则a、b互为相反数．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】分别利用有理数的加法、相反数的定义，倒数的定义、有理数乘法运算，绝对值的性质分别分析得出答案．【解答】解：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，故①不符合题意；②若a、b互为倒数，则ab＝1，故②不符合题意；③若|a|＝a，则a一定为正数或0，故③不符合题意；④若a+b＝0，则a、b互为相反数，故④符合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了相反数、倒数的定义、有理数的加法，绝对值的性质等知识，正确掌握相关性质是解题关键．28．（2022秋•盐都区期中）计算：（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据有理数的乘法法则进行计算即可；（2）从左到右依次计算即可；（3）从左到右依次计算即可．【解答】解：（1）原式＝+（×）＝；（2）原式＝（﹣8）×＝﹣2；（3）原式＝（﹣12）×（﹣）＝10．【点评】本题考查的是有理数的乘法与除法，熟知有理数的乘除法则是解题的关键．一、单选题1．（2022秋·江苏连云港·七年级统考期中）下列四个算式中运算结果为2022的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据有理数运算的法则逐项判断即可．【详解】解：，故A符号题意，，故B不符合题意；，故C不符合题意；，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查有理数的运算，正确计算是解题的关键．2．（2023秋·江苏·七年级统考期末）的倒数是（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，即可得解．【详解】解：的倒数是2；故选A．【点睛】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握乘积是1的两个数互为倒数，是解题的关键．3．（2022秋·江苏南通·七年级校联考期末）要使算式的运算结果最小，则“”内应填入的运算符号为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据有理数加减乘除和有理数大小比较的性质计算，即可得到答案．【详解】解：，，，∵∴要使算式的运算结果最小，则“”内应填入的运算符号为：，故选：C．【点睛】本题主要考查了有理数的四则运算，有理数比较大小，熟知相关计算法则是解题的关键．4．（2022秋·江苏连云港·七年级统考期末）如图，若数轴上的两点、表示的数分别为、，则与的（

）A．和为正数 B．差为正数 C．积为正数 D．商为正数【答案】B【分析】根据点在数轴上的位置，判断出数的大小，进而判断出式子的符号即可．【详解】解：由图可知：，，A、与的和为负数，选项错误，不符合题意；B、与的差为正数，选项正确，符合题意；C、与的积为负数，选项错误，不符合题意；D、与的商为负数，选项错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查利用数轴判断式子的符号．熟练掌握数轴上的点表示的数从左到右依次增大，是解题的关键．5．（2022秋·江苏南京·七年级统考期末）如图，数轴上点所表示的数分别是，若，，则原点的位置在（

）A．的左边 B．线段上C．线段上 D．线段上【答案】D【分析】根据数轴上点的位置得出，结合，得出或，再结合可得出原点的位置在线段上．【详解】因为，，所以要么，要么，又因为，所以，所以原点的位置在线段上．故选∶D．【点睛】本题考查数轴，掌握数轴上点的特点及有理数的乘法法则是解题的关键．6．（2023秋·江苏镇江·七年级统考期末）如图，数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数轴上点的位置得出三个数的大小关系、正负情况、绝对值大小情况，再依据有理数的乘法法则、加法法则、去绝对值法则、除法法则判断即可求解．【详解】解：根据数轴上点的位置得：，，，，，，，选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了数轴，以及有理数运算法则，弄清数轴上点表示数的特征是解本题的关键．7．（2023春·江苏南京·七年级南师附中新城初中校联考期中）如图为乘法表的一部分，每一个空格填入该格最上方与最左方的两数之积，则16个阴影空格中填入的数之和是（

）A．87464 B．87500 C．87536 D．87572【答案】B【分析】根据题意，列式计算即可．【详解】解：∵每一个空格填入该格最上方与最左方的两数之积，∴16个阴影空格中填入的数之和是：；故选B．【点睛】本题考查有理数的混合运算．正确的理解题意，列出算式，是解题的关键．8．（2022秋·江苏扬州·七年级统考期中）下列算式中，与相等的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据有理数的乘、除、加、减运算法则逐一计算即可．【详解】解：A．，不符合题意；B．，不符合题意；C．，不符合题意；D．，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．9．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）下列说法①若，则a、b互为相反数；②若a、b互为倒数，则；③若，则a、b均大于0；④若，则a一定为正数，其中正确的个数为（

）A．①④ B．①② C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】分别利用有理数的加法、相反数的定义，倒数的定义、有理数乘法运算，绝对值的性质分别分析得出答案．【详解】解：①若，则、互为相反数，是正确的；②若、互为倒数，则，是正确的；③若，则、均大于0或均小于0，题干的说法是错误的；④若，则一定为正数或0，题干的说法是错误的．故选：B．【点睛】此题主要考查了相反数、倒数的定义、有理数的加法，乘法运算，绝对值的性质等知识，正确掌握相关性质是解题关键．二、填空题10．（2022秋·江苏盐城·七年级校考期中）规定符号的意义为：，那么______．【答案】8【分析】根据新定义代入计算，即可求解．【详解】解：根据题意得：，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．11．（2022秋·江苏苏州·七年级校考期中）在数、1、、5、中任取两个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______；任取三个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______．【答案】1575【分析】根据乘法法则，当偶数个负数相乘时积为正，当奇数个负数相乘时积为负，即可解决最大积和最小积的问题．【详解】解：任取两个数相乘，其中最大的积是，最小的积是，任取三个数相乘，其中最大的积是，最小的积是，故答案为：15，，75，．【点睛】本题考查了有理数的大小比较、有理数的乘法，解题关键要掌握有理数的大小比较、有理数的乘法法则．12．（2020秋·江苏常州·七年级校考期中）的相反数是______，的倒数是______．【答案】【分析】①先计算的值，再根据相反数的定义求解即可.②先计算的值，再根据倒数的定义求解即可.【详解】①∵，的相反数是∴的相反数是.故答案为：②∵，的倒数是

∴的倒数是故答案为：【点睛】本题主要考查了绝对值、相反数和倒数，掌握绝对值、相反数和倒数的定义是解题的关键.13．（2020秋·江苏扬州·七年级校考期中）从数，1，，任取两个数相乘，所得的结果最小的是______．【答案】【分析】根据异号两数相乘得负，取与相乘可得结果最小的是．【详解】解：∵，，，∴任取两个数相乘，所得的结果最小的是．故答案为：．【点睛】此题考查了有理数的乘法，以及有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2022秋·江苏宿迁·七年级校考期中）今年国庆长假期间，我市新区“诚信专业修脚店”推出酬宾优惠：充500元送100元，顾客可获得价值600元的贵宾卡一张，进店消费时凭借此卡还可以享受标价折的优惠，这样两次优惠相加，持此贵宾卡的顾客消费时的实际支付款只相当于标价的__________折．【答案】【分析】直接用除以再乘以折即可得到答案．【详解】解：折，故答案为：．【点睛】本题主要考查了有理数乘除混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键．15．（2023春·江苏常州·七年级校考期中）对于任意有理数a、b，定义新运算“”，规定，则________．【答案】【分析】把相应的值代入，利用有理数的相应的法则进行运算即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．16．（2022秋·江苏淮安·七年级校考期末）新亚商场在2023年“元旦”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价的一次性购物总额，规定相应的优惠方法如下：①如果不超过600元，则不予优惠；②如果超过600元，但不超过900元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过900元，则其中900元给予8折优惠，超过900元的部分给予6折优惠，促销期间，小王和妈妈分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款560元和640元；若合并付款，则她们总共只需付款___________元．【答案】996或1080/1080或996【分析】根据题意可知付款560元时，其实际标价为为560或700元，付款640元，实际标价为800元，分两种情况分别计算求出一次购买标价1360元或1500元的商品应付款即可．【详解】解：由题意知付款560元，实际标价为560或560×=700（元），付款640元，实际标价为（元），如果一次购买标价（元）的商品应付款：（元）；如果一次购买标价（元）的商品应付款：（元）．故答案是：996或1080．【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，注意顾客付款560元时，要分两种情况考虑：有可能原价就是560元，也有可能符合优惠②，此时的结论也会有差别，另外注意计算的准确性．三、解答题17．（2022秋·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校考期末）计算：【答案】2【分析】根据乘法分配律进行计算即可求解．【详解】解：【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握分配律是解题的关键．18．（2022秋·江苏宿迁·七年级统考期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）用乘法分配律计算；（2）先算括号内的，再算括号外的．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算律和相关运算法则．19．（2022秋·江苏盐城·七年级统考期中）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据有理数乘法法则：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘；据此计算即可；（2）根据有理数的乘除混合运算法则，先将除法转化成乘法，再算乘法，进行计算即可；（3）先将除法转化成乘法，然后根据有理数乘法运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点睛】此题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除法运算法则是解答此题的关键．20．（2022秋·江苏宿迁·七年级统考期中）先计算，再阅读材料，解决问题：(1)计算：．(2)认真阅读材料，解决问题：计算：．分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：解：原式的倒数是：．故．请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．【答案】(1)8(2)【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题；（2）根据题目中的例子的解题方法，可以求出所求式子的值．【详解】（1）原式；（2）原式的倒数是：，故原式．【点睛】本题考查有理数的混合运算以及乘法运算律，解答本题的关键是明确有理数混合运算法则．21．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期中）若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表为，即．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为．若，，且数x、y在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是______．(2)若表示一个有理数，且，则______．(3)当时，的最大值是______．【答案】(1)14，2(2)4(3)8【分析】（1）根据数轴上两点距离公式表示的是数x到3的距离为6，则x表示的数为9或，同理可得y表示的数为或1，由此求解即可；（2）直接去绝对值即可得到答案；（3）先讨论去绝对值得到当，取得最小值为3，当时，取值最小值为7，再由得到，则，，由此根据有理数乘法计算法则求解即可．【详解】（1）解：∵数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为，∴表示的是数x到3的距离为6，∴x表示的数为9或，同理可得y表示的数为或1，∵数x、y在数轴上表示的数分别是点A、点B，∴A、B两点间的最大距离是，最小距离是，故答案为：14，2；（2）解：∵表示一个有理数，且，∴，故答案为：4；（3）解：当时，，当时，，当时，，∴当，取得最小值为3，同理可得：当时，取值最小值为7，∵，，，∴，∴，，∴当时，有最大值，最大值为，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离公式，绝对值的几何意义，去绝对值，有理数的乘法计算等等，灵活运用所学知识是解题的关键．一、单选题1．下列各组的两个数中，互为倒数的是（）A．3和﹣3 B．﹣3和 C．﹣3和 D．和【答案】B【分析】根据倒数的意义，两个数的积等于1，这两个数互为倒数，分别把每组的两个数相乘，看其积是否等于1；据此解答．【详解】解：A、3×=-9，不是互为倒数；

B、，是互为倒数；

C、，不是互为倒数；

D、，不是互为倒数；

故选：B．【点睛】本题是考查倒数的意义及特征，判断两个数是否是互为倒数，可以根据倒数的意义，也可看两个数的分子、分母的位置是否相反（整数看作分母为1的分数）．2．两个不为0的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，它们的商不变，那么这两个数（）A．一定相等 B．一定互为倒数 C．一定互为相反数 D．相等或互为相反数【答案】D【分析】设这两个数分别为a，b，根据题意可得，从而可得，从而判断出a和b的关系.【详解】设这两个数分别为a，b依题意可得：化简得：∴a=b或a=-b故答案选择：D.【点睛】本题考查的是有理数的除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数.3．某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打八折销售．小明买了一件商品，比标价少付了40元，那么他购买这件商品花了（）A．80元 B．120元 C．160元 D．200元【答案】C【分析】八折是指售价是标价的80%，把标价看成单位“1”，实际少付的钱数就是标价的（1-80%），它对应的数量是40元，根据分数除法的意义，用40除以（1-80%）即可求出标价，再减去40元，就是实际花的钱数．【详解】解：40÷（1-80%）

=40÷20%

=200（元）

200-40=160（元）

答：他购买这件商品花了160元．

故选：C．【点睛】解决本题关键是理解打折的含义，找出单位“1”，再根据分数除法的意义求出标价，从而解决问题．4．在1，，，4这四个数中，任取两个数相乘，所得积最大的是（）A． B． C．4 D．6【答案】D【分析】根据有理数的乘法以及有理数的大小比较，列出乘积最大的算式计算即可得解．【详解】解：所得的积最大的是：．故选D．【点睛】本题考查有理数的乘法，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．已知，试求的值不可能为（）A．3 B．-3 C．0 D．-1【答案】C【分析】根据可分情况，然后根据绝对值的性质进行计算．【详解】解：∵，∴当a＞0，b＞0时，=1+1+1=3，当a＞0，b＜0时，=1-1-1=-1，当a＜0，b＞0时，=-1+1-1=-1，当a＜0，b＜0时，=-1-1-1=-3，∴的值不可能为0，故选C．【点睛】本题考查了绝对值的性质和有理数的乘法．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．6．一个大于1的正整数a，与其倒数，相反数-a比较，大小关系正确的是（）A．-a＜≤a B．-a＜＜a C．＞a＞-a D．-a≤a≤【答案】B【分析】先根据倒数、相反数的定义可得，再根据有理数的大小比较法则即可得．【详解】因为，且为正整数，所以，所以，故选：B．【点睛】本题考查了相反数、倒数、有理数的大小比较法则，熟练掌握倒数与相反数的定义是解题关键．7．有两个正数，，且，把大于等于且小于等于的所有数记作．例如，大于等于且小于等于的所有数记作．若整数在内，整数在内，那么的一切值中属于整数的个数为（）A．5个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】先根据题意确定m、n的范围，然后用列举法即可解答．【详解】解：∵整数在内，整数在内∴5≤m≤15，-30≤n≤-20∴，即∴的一切值中属于整数有-2、-3、-4、-5、-6．故答案为A．【点睛】本题主要考查了有理数的除法，根据题意确定m、n的取值范围是解答本题的关键．二、填空题8．计算：=______．【答案】-28【分析】根据有理数的乘法法则计算．【详解】解：=-28，故答案为：-28．【点睛】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握运算法则．9．直接写出计算结果：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）＝________．【答案】﹣2020【分析】根据乘法的交换和结合律，进行简便计算，即可求解．【详解】解：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）＝（﹣8）×（﹣0.125）×（﹣2020）＝1×（﹣2020）＝﹣2020．故答案为：﹣2020．【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，掌握乘法交换律和结合律，是解题的关键．10．绝对值小于2020的所有整数的和为_____，积为_____．【答案】00【分析】根据题意写出绝对值小于2020的所有整数，然后进行求解即可．【详解】解：∵绝对值小于2020的所有整数是：0、±1、±2、…、±2019，∴绝对值小于2020的所有整数的和为0，积为0．故答案为：0、0．【点睛】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的加法及乘法运算是解题的关键．11．________×（﹣）＝﹣1．【答案】【分析】根据题意直接利用倒数积为1进行分析即可得答案．【详解】解：×（﹣）＝﹣1，故答案为：．【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．三、解答题12．若m、n互为相反数，p、q互为倒数，且=6，求的值．【答案】4或【分析】先根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的含义，求解的值，再整体代入即可得到答案.【详解】解：互为相反数，互为倒数，当时，原式当时，原式综上：代数式的值为或【点睛】本题考查的是相反数的定义，倒数的定义，绝对值的含义，有理数的加减运算，掌握以上知识是解题的关键.13．学习了有理数之后，老师给同学们出了一道题：计算：17×（﹣9），下面是小方给出的答案，请判断是否正确，若错误给出正确解答过程．解：原式＝﹣17×9＝﹣17＝﹣25．【答案】小方给出的答案错误；原式=﹣161．【分析】根据题意直接利用乘法分配律进行计算即