2019-2020学年高中数学-第三章-导数及其应用-第19课时-导数的实际应用检测-新人教B版选修1-1

2019-2020学年高中数学第三章导数及其应用第19课时导数的实际应用检测新人教B版选修1-11．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A．10B．15C．25D．50解析：设内接矩形的长为x，则宽为eq\r(25－\f(x2,4))，∴S2＝x2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(x2,4)))＝y，∴y′＝50x－x3.令y′＝0得x2＝50，x＝0(舍去)，∴S2＝625，即S＝25.答案：C2．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)()A．32,16B．30,15C．40,20D．36,18解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为eq\f(512,x)米，因此新墙总长L＝2x＋eq\f(512,x)(x＞0)，则L′＝2－eq\f(512,x2).令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为eq\f(512,16)＝32(米)，可使L最小．答案：A3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0.所以当x＝9时，y取得最大值．答案：C4．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))(0＜x＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为__________．解析：V(x)＝eq\f(60x2－x3,2)，V′(x)＝－eq\f(3,2)x2＋60x.令V′(x)＝0，得x＝40.∵0＜x＜40时，V′(x)＞0；40＜x＜60时，V′(x)＜0，∴x＝40时，V(x)最大．答案：405．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解析：设容器的高为x，容器的体积为V，则V＝(90－2x)(48－2x)x(0＜x＜24)，即V＝4x3－276x2＋4320x.∵V′＝12x2－552x＋4320，由V′＝12x2－552x＋4320＝0，得x1＝10，x2＝36.∵0＜x＜10时，V′＞0,10＜x＜36时，V′＜0，x＞36时，V′＞0，∴当x＝10时，V有极大值V(10)＝1960.又∵0＜x＜24，∴V(10)又是最大值．∴当x＝10时，V有最大值V(10)＝1960.故当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积是1960cm3.(限时：30分钟)1．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产()A．9千台B．8千台C．6千台D．3千台解析：构造利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x＞0)，求导得y′＝36x－6x2＝0，解得x＝6(x＝0舍去)．所以x＝6时，函数取得极大值，也是最大值．答案：C2．有边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，则剪去的小正方形的边长应为()A．18B．10C．8D．1解析：设正方形的边长为x，则V＝(8－2x)(5－2x)x＝2(2x3－13x2＋20x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(5,2)))，V′＝4(3x2－13x＋10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(5,2)))，令V′＝0，得x＝1，所以当x＝1时，容积V取最大值为18.答案：D3．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为()A．2πr2B．πr2C．4πr2D.eq\f(1,2)πr2解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcosθ，l＝2rsinθ，∴S侧＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πr2sinθcosθ.S′＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝4πr2cos2θ＝0，∴θ＝eq\f(π,4).当θ＝eq\f(π,4)，即R＝eq\f(\r(2),2)r时，S侧最大且(S侧)max＝2πr2.答案：A4．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A．6B．8C．10D．12解析：设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，V′＝12(24－x)(8－x)．令V′＝0，则在(0,24)内有x＝8，故当x＝8时，V有最大值．答案：B5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元解析：设毛利润为L(P)，由题意知，L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．答案：D6．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________cm，宽为________cm，高为________cm时，可使表面积最小．解析：设底面两邻边长分别为xcm,2xcm，则高h＝eq\f(72,2x2)＝eq\f(36,x2).∴表面积S＝4x2＋2(x＋2x)·eq\f(36,x2)＝4x2＋eq\f(216,x)(x＞0)．∴S′＝8x－eq\f(216,x2)＝eq\f(8,x2)(x3－27)．令S′＝0，解得S在(0，＋∞)内的唯一可能的极值点为x＝3，∴x＝3时函数取极值，且就是它的最小值．答案：6347．做一个容积为256dm3的方底无盖水箱，它的高为__________dm时最省料．解析：设底面边长为xdm，则高h＝eq\f(256,x2)，其表面积为S＝x2＋4×eq\f(256,x2)×x＝x2＋eq\f(256×4,x)，S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0，得x＝8，则高h＝eq\f(256,64)＝4(dm)．答案：48．一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________时，帐篷的体积最大．解析：设OO1为xm，底面正六边形的面积为Sm2，帐篷的体积为Vm3.则由题设可得正六棱锥底面边长为eq\r(32－x－12)＝eq\r(8＋2x－x2)(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)．帐篷的体积为V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(x－1)＋eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－1＋1))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)，求导数，得V′＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.所以当x＝2时，V最大．答案：2m9．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？解析：设轮船速度为x(x＞0)千米/时的燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103，可得k＝eq\f(3,500).∴Q＝eq\f(3,500)x3.∴总费用y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,500)x3＋96))·eq\f(1,x)＝eq\f(3,500)x2＋eq\f(96,x).∵y′＝eq\f(6x,500)－eq\f(96,x2).令y′＝0，得x＝20.∴当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减，当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增．∴当x＝20时，y取得最小值，∴此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小．10．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝eq\f(1,128000)x3－eq\f(3,80)x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解析：(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了eq\f(100,40)＝2.5小时，要耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,128000)×403－\f(3,80)×40＋8))×2.5＝17.5(升)．(2)当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了eq\f(100,x)小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,128000)x3－\f(3,80)x＋8))×eq\f(100,x)＝eq\f(1,1280)x2＋eq\f(800,x)－eq\f(15,4)(0＜x≤120)，h′(x)＝eq\f(x,640)－eq\f(800,x2)＝eq\f(x3－803,640x2)(0＜x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.因为x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；x∈(80,120)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数，所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．即汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．11．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解析：(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗