2020-2021学年高中数学-第二讲-参数方程-四-渐开线与摆线学案新人教A版选修4-4

2020-2021学年高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案新人教A版选修4-42020-2021学年高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案新人教A版选修4-42021学年高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案新人教A版选修4-42020-2021学年高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案新人教A版选修4-4年级：姓名：四渐开线与摆线考纲定位重难突破1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)．知道平摆线和渐开线的生成过程，以及它们的参数方程.2.通过阅读材料，知道外摆线、内摆线的生成过程；学会摆线在实际应用中的实例.重点：渐开线与摆线的基本概念和参数方程.难点：渐开线与摆线及其方程的灵活运用.授课提示：对应学生用书第32页[自主梳理]1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosφ＋φsinφ，,y＝rsinφ－φcosφ))(φ为参数)．(2)摆线的参数方程：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rφ－sinφ，,y＝r1－cosφ))(φ为参数)．[双基自测]1．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有()A．①③ B．②④C．②③ D．①③④解析：本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看坐标系的选取．故选C.答案：C2．已知圆的渐开线的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ＋φsinφ，,y＝sinφ－φcosφ))(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的面积是()A．1 B．πC．2 D．2π解析：由参数方程知基圆的半径为1，∴其面积为π.故选B.答案：B3．给出某渐开线的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ＋3φsinφ，,y＝3sinφ－3φcosφ))(φ为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，当参数φ取eq\f(π,2)时，对应的曲线上的点的坐标是________．解析：与渐开线的参数方程进行对照可知，r＝3，即基圆半径是3，然后把φ＝eq\f(π,2)代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3π,2)，,y＝3.))答案：3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，3))授课提示：对应学生用书第32页探究一圆的渐开线的参数方程[例1]已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A，B对应的参数分别是eq\f(π,2)和eq\f(3π,2)，求A，B两点间的距离．[解析]由题意，知r＝1，则圆的渐开线参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ＋φsinφ，,y＝sinφ－φcosφ))(φ为参数)．当φ＝eq\f(π,2)时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cos\f(π,2)＋\f(π,2)·sin\f(π,2)＝\f(π,2)，,y＝sin\f(π,2)－\f(π,2)·cos\f(π,2)＝1，))∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1)).当φ＝eq\f(3π,2)时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cos\f(3π,2)＋\f(3π,2)·sin\f(3π,2)＝－\f(3π,2)，,y＝sin\f(3π,2)－\f(3π,2)·cos\f(3π,2)＝－1，))∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－1)).∴|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(3π,2)))2＋1＋12)＝2eq\r(π2＋1).圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．1．已知渐开线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosφ＋φsinφ，,y＝4sinφ－φcosφ))上的点A对应φ＝eq\f(π,2)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝41－sinθ，,y＝41－cosθ))与直线x＝2相交于点B，求A，B两点间的距离．解析：将φ＝eq\f(π,2)代入eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosφ＋φsinφ，,y＝4sinφ－φcosφ，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2π，,y＝4，))∴A(2π，4)．在eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝41－sinθ，,y＝41－cosθ))中，令x＝2得sinθ＝eq\f(1,2)，∴cosθ＝eq\f(\r(3),2)或cosθ＝－eq\f(\r(3),2)，∴y＝4－2eq\r(3)或y＝4＋2eq\r(3)，故点B的坐标为(2,4－2eq\r(3))或(2,4＋2eq\r(3))．∴|AB|＝eq\r(2π－22＋4±2\r(3)－42)＝2eq\r(π－12＋3)＝2eq\r(π2－2π＋4).探究二圆的摆线的参数方程[例2]求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧度为单位)为参数)[解析]当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)，向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2α，2)，向量eq\o(MB,\s\up6(→))＝(2sinα，2cosα)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(－2sinα，－2cosα)，因此eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝(2α－2sinα，2－2cosα)＝(2(α－sinα)，2(1－cosα))．动点M的坐标为(x，y)，向量eq\o(OM,\s\up6(→))＝(x，y)所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2α－sinα，,y＝21－cosα.))这就是所求摆线的参数方程．1．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．2．根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．2．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程．解析：由摆线的图形知，圆的半径最大时，定点(2,0)就是(2πr,0)(如图所示).∴2πr＝2，∴r＝eq\f(1,π).代入，得圆的摆线的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,π)φ－sinφ，,y＝\f(1,π)1－cosφ))(φ为参数)．探究三渐开线与摆线参数方程的应用[例3]如图，一个宽为a的矩形木条沿着半径为r的定圆无滑动地滚动，试求木条外缘上某点P的轨迹方程．[解析]以定圆圆心O为原点，O、F、P共线时所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设P点的坐标为(x，y)，取∠AOB＝φ为参数，∵|BF|＝leq\x\to(AB)＝rφ，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(FP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(FP,\s\up6(→))＝(rcosφ，rsinφ)＋eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(rφcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ－\f(π,2)))，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(rφsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ－\f(π,2)))))＋(acosφ，asinφ)＝((r＋a)cosφ＋rφsinφ，(r＋a)sinφ－rφcosφ)＝(x，y)．所以所求的点P轨迹的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝r＋acosφ＋rφsinφ，,y＝r＋asinφ－rφcosφ))(φ为参数)．用向量法建立运动轨迹的参数方程的思路和步骤(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)．(2)取定运动中产生的某一角度为参数．(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到eq\o(OM,\s\up6(→))的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．3.如图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH，…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是多少？解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的eq\f(1,4)圆周长，长度为eq\f(π,2)，继续旋转可得是半径为2的eq\f(1,4)圆周长，长度为π；是半径为3的eq\f(1,4)圆周长，长度为eq\f(3π,2)；是半径为4的eq\f(1,4)圆周长，长度为2π.所以，曲线AEFGH的长是5π.对圆的渐开线与摆线的概念理解不清致误[典例]已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．[解析]令r(1－cosφ)＝0，可得cosφ＝1.所以φ＝2kπ(k∈Z)，代入得x＝r(2kπ－sin2kπ)＝1，所以r＝eq\f(1,2kπ).又由题意可知，r是圆的半径，故r＞0.所以应有k＞0且k∈Z，即k∈N*.所以所求摆线的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2kπ)φ－sinφ，,y＝\f(1,2kπ)1－cosφ))(φ为参数，k∈N*)．[错因与防范](1)若在求出cosφ＝1后，直接得出φ＝0，会导致答案不全面．(2)不要误把点(1,0)中的1或0当成φ的值．(3)根据圆的摆线的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rφ－sinφ，,y＝r1－cosφ))(φ为参数)，可知只需求出其中的半径r，圆摆线的参数方程即可写出．也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的．[随堂训练]对应学生用书第34页1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()A．只有圆才有渐开线B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C．正方形也可以有渐开线D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同解析：不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．答案：C2．已知一个圆的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝3sinθ))(θ是参数)，那么圆的摆线方程中参数φ＝eq\f(π,2)对应的点的坐标与点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2))之间的距离为()A.eq\f(π,2)－1 B.eq\r(2)C.eq\r(10) D.eq\r(\f(3,2)π－1)解析：根据圆的参数方程可知圆的半径为3，那么其对应的摆线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3φ－3sinφ，,y＝3－3cosφ))(φ是参数)，把φ＝eq\f(π,2)代入参数方程中易得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3\b\l