课件-物理光学与应用光学-第三版(石顺祥)-第8章

第8章理想光学系统8.1理想光学系统的基点和基面8.2理想光学系统的物像关系8.3理想光学系统的组合8.4厚透镜及其基点与基面8.5矩阵在近轴光学系统中的应用8.6

ABCD法则及其在激光束传输中的应例题8.1理想光学系统的基点和基面8.1.1理想光学系统的基本特性理想光学系统具有以下基本特性：①点成点像。即物空间的每一点，在像空间必有一个点与之对应，且只有一个点与之对应，这两个对应点称为物像空间的共轭点。②线成线像。即物空间的每一条直线在像空间必有一条直线与之对应，且只有一条直线与之对应，这两条对应直线称为物像空间的共轭线。③平面成平面像。即物空间的每一个平面，在像空间必有一个平面与之对应，且只有一个平面与之对应。这两个对应平面称为物像空间的共轭面。④对称轴共轭。即物空间和像空间存在着一对唯一的共轭对称轴。当物点A绕物空间的对称轴旋转一个任意角α时，它的共轭像点A′也绕像空间的对称轴旋转同样的角度α，这样的一对共轭轴称为光轴。根据理想光学系统上述特征，可以得到如下推论：物空间的任一个同心光束必对应于像空间中的一个同心光束；若物空间中的两点与像空间中的两点共轭，则物空间两点的连线与像空间两点的连线也一定共轭；若物空间任意一点位于一直线上，则该点在像空间的共轭点必位于该直线的共轭线上。

上述定义只是理想光学系统的基本假设。在均匀透明介质中，除平面反射镜具有上述理想光学系统的性质外，任何实际的光学系统都不能绝对完善成像。

研究理想光学系统成像规律的实际意义在于，用它所成的像可以作为衡量实际光学系统成像质量的标准。通常把理想光学系统计算公式(近轴光学公式)计算出来的像，称为实际光学系统的理想像。另外，在设计实际光学系统时，用理想像近似表示实际光学系统所成像的位置和大小，即实际光学系统设计的初始计算。8.1.2理想光学系统的基点和基面如图8-1所示，在一个光学系统的近轴区，已知两个物面π1和π2的共轭像面分别为π1′和π2′，其垂轴放大率分别为β1和β2。现考虑任一物点A，通过它的任一条入射光线与两个已知物面的交点分别为B1和B2，它们相对光轴的高度为y1和y2。B1和B2经过光学系统成像的像点B1′和B2′必然位于两个已知物面的共轭面π1′和π2′上，其相对光轴的高度分别等于β1y1和β2y2，从而可以确定像点B1′和B2′的位置，并且经过B1′和B2′的光线就是入射光线对应的出射光线。通过A点再作另外一条光路，它与两个已知物面的交点为C1和C2；同理，可以作出相应的出射光线,它与π1′和π2′的交点为C1′和C2′。显然，两条出射光线B1′B2′和C1′C2′的交点就是A点的像点A′。由此可见，当光学系统成完善像时，已知两个共轭面及其垂轴放大率就可以完全确定光学系统的成像关系。

图8-1由两个共轭面确定物像位置关系在图8-2所示的另一个光学系统的近轴区，已知一个物面π和其共轭像面π′，它们之间的垂轴放大率为β，还已知两对共轭点，即B0、C0和其高斯像点B0′、C0′。现考虑任一物点A，作出通过它和B0的一条入射光线，该入射光线与已知的物面π的交点为B1，根据π的共轭像面π′的位置和它们之间的垂轴放大率可以确定B1的像点B1′，则由B0′和B1′就确定了出射光线。同理，可以确定出与通过A和C0的入射光线相应的出射光线C0′C1′。这两条出射光线B0′B1′和C0′C1′的交点即为A的像点A′。由此可见，当光学系统成完善像时，已知一对共轭面及其垂轴放大率和两对共轭点，也可以完全确定光学系统的成像关系。图8-2由一对共轭面和两对共轭点确定物像位置关系

1.主点和主平面在理想光学系统中，将垂轴放大率为1的一对共轭面称为主平面，其中物面称为物方主平面，像面称为像方主平面。物方主平面和光轴的交点称为物方主点，习惯用H表示；像方主平面和光轴的交点称为像方主点，习惯用H′表示。主平面具有以下的性质：假定物空间的任意一条光线和物方主平面的交点为P，如图8-3所示，它的共轭光线与像方主平面交于P′点，则P和P′距光轴的距离相等。图8-3主平面的性质

2.焦点和焦平面在理想光学系统中定义了两对特殊的共轭点。一对共轭点为光轴上位于无穷远的物点和其像点F′，F′称为理想光学系统的像方焦点，如图8-4(a)所示。另外一对共轭点为光轴上位于无穷远的像点和其共轭物点F，F称为物方焦点，如图8-4(b)所示。像方焦点相对像方主点沿光轴的线度称为像方焦距，表示为f′，物方焦点相对物方主点沿光轴的线度称为物方焦距，表示为f，如图8-4所示。经过像方焦点和光轴垂直的平面称为像方焦平面，经过物方焦点和光轴垂直的平面称为物方焦平面。图8-4理想光学系统的像方焦点和物方焦点

3.节点和节平面焦点是按照共轭点的空间位置定义的，有时根据光学系统对光线的传播方向的影响定义共轭点，这就是节点。理想光学系统的节点是指角放大率为+1的一对共轭点。在物空间的节点称为物方节点，像空间的节点称为像方节点，分别用字母J和J′表示。过物方节点并垂直于光轴的平面称为物方节平面，过像方节点并垂直于光轴的平面称为像方节平面。

节点具有以下的性质：通过物方节点的光线经过光学系统后，出射光线必然通过像方节点，并且光的传播方向不变，如图8-5所示，恒有U＝U′。

节点和节平面与焦点和焦平面、主点和主平面统称为理想光学系统的基点和基面。显然，已知H、H′、F和F′，光学系统的成像完全确定，通常表示理想光学系统时给出该四个点，同时画出两个主平面。

图8-5节点的性质8.1.3基本几何光学元件的基点和基面

1.薄透镜的基点和基面由上一章薄透镜成像关系知道，当薄透镜的l=0时，则有l′=0，β=1,γ=1，所以薄透镜的物方主点和像方主点重合，位于薄透镜光心的位置，同时物方节点和像方节点也位于光心处。

2.折射球面的基点和基面在折射球面中，轴向放大率β=nl′/n′l，所以主平面相对顶点的位置满足根据折射球面的成像公式可得

即折射球面的物方主点和像方主点重合，位于顶点上。由于节平面上角放大率，因而，根据折射球面成像公式可得

即折射球面的物方节点和像方节点重合，位于球心处。

3.球面反射镜的基点和基面根据轴向放大率β=－l′/l和γ=l/l′，球面反射镜的主平面和节平面相对顶点的位置满足

根据球面反射镜的成像公式可得即球面反射镜的物方主点和像方主点重合，位于顶点上；球面反射镜的物方节点和像方节点重合，位于球心处。8.2理想光学系统的物像关系8.2.1图解法求像如图8-6所示，理想光学系统的主点和焦点位置已知时，欲求一垂轴物体AB经光学系统的像，只需过B点作两条特殊的入射光线，其中一条光线平行于光轴，出射光线必过像方焦点F′；另一条光线过物方焦点，出射光线必平行于光轴。两出射光线的交点B′就是物点B的像点。因AB垂直于光轴，故过像点B′作垂直于光轴的线段A′B′就是物体AB经系统后所成的像。图8-6理想光学系统图解法求像为了作图方便起见，有时需要知道任意光线经过光学系统后的出射方向，这时可以根据焦平面的性质作图，下面介绍两种常用的方法。一种方法是过物方焦点作一条与任意光线平行的辅助光线，任意光线与辅助光线所构成的和光轴有一定夹角的平行光束经光学系统折射后应会聚于像方焦平面上一点，这一点可由辅助光线的出射线平行于光轴而确定，从而求得任意光线的出射线的方向，如图8-7(a)所示。图8-7任意入射线的出射线的作图另一种方法是认为任意光线是由物方焦平面上一点发出的光束中的一条。这时过该入射光线与物方焦平面的交点作一条平行于光轴的辅助线，其出射线必过像方焦点。由于入射光线的出射线平行于辅助光线的出射线，因而可求得任意光线的出射线方向，如图8-7(b)所示。图解法求解物像关系，方法简单、直观，便于判断像的位置和虚实，但精度较低。为了更全面地讨论物体经光学系统的成像规律，常采用解析法确定物像的关系。由此可得这就是牛顿公式。(8.2-1)8.2.2理想光学系统成像公式

1.牛顿公式在物方和像方分别以物方焦点和像方焦点作为参考点确定物面和像面的位置时，联系物距和像距的公式为牛顿公式。如图8-8所示，有一垂轴物体AB，其高度为y，经理想光学系统后成一倒像A′B′，像高为y′。由相似三角形△BAF和△FHN，△H′M′F′和△F′A′B′得图8-8理想光学系统物像关系导出用图(8.2-2)这就是高斯公式。

2.高斯公式在物方和像方分别以物方主点和像方主点作为参考点确定物面和像面的位置时，联系物距和像距的公式称为高斯公式。l和l′分别表示以物方主点为参考点的物距和以像方主点为参考点的像距，由图可知l=x+fl′=x′+f′代入牛顿公式，整理后可得因代入上式得(8.2-4)

3.焦距间的关系如图8-9所示，A′B′是物体AB经理想光学系统所成的像，由轴上点A发出的任意一条成像光线AQ，其共轭光线为Q′A′。AQ和Q′A′的孔径角分别为u和u′。HQ和H′Q′的高度均为h。由图得(8.2-3)图8-9理想光学系统导出两焦距关系用图对于理想光学系统，不管角度u和u′有多大，上式均能成立。因此，当QA和Q′A′是近轴光时，上式也能成立。上式在近轴近似tanu≈u、tanu′≈u′情况下，可表示为与光学系统近轴区成完善像时的拉亥不变量nuy=n′u′y′相比较，可得理想光学系统物方和像方两焦距之间关系的重要公式(8.2-5)当光学系统处于同一介质中时，即n′=n时，两焦距绝对值相等、符号相反，即(8.2-6)

4.光焦度光焦度是光学系统对光线的会聚本领或发散本领的数值表示，它与光学系统的焦距有关。光学系统的光焦度，用字母j表示，定义为(8.2-7)

5.拉亥不变量将(8.2-5)式代入(8.2-4)式，得到理想光学系统的拉亥不变量公式(8.2-8)此式对任何能成完善像的光学系统均成立。8.2.3放大率

1.垂轴放大率理想光学系统的垂轴放大率β定义为像高y′与物高y之比。由图8-8得(8.2-9)因为l′=x′+f′,l=f+x，上式又可以表示为(8.2-10)此式与单个折射球面近轴区成像的垂轴放大率公式完全相同，表明理想光学系统的成像性质可以在实际光学系统的近轴区得到实现。在一对共轭面间垂轴放大率为定值，与物体在物面的位置无关。(8.2-11)(8.2-12)

2.轴向放大率当轴上物点A沿光轴移动一微小距离dx(或dl)时，像A′沿光轴相应移动dx′(或dl′)，则理想光学系统的轴向放大率α定义为对牛顿公式或高斯公式关于物距和像距微分，可以求得(8.2-13)如果光学系统处于同一介质中，则α=β2。结合垂轴放大率公式(8.2-10)，可得α和β的关系为(8.2-14)

3.角放大率理想光学系统的角放大率γ定义为像方孔径角u′的正切与物方孔径角u的正切之比，即由(8-3a)式，角放大率γ可以表示为(8.2-15)结合垂轴放大率公式(8.2-9)和(8.2-10)，角放大率γ也可以表示为(8.2-16)可得γ和β的关系为(8.2-17)可见，理想光学系统的角放大率只和光线与光轴的交点的位置有关，而与孔径角大小无关。光轴上同一对共轭点，所有像方孔径角的正切和与之相应的物方孔径角的正切之比恒为常数。将(8.2-13)和(8.2-17)式相乘，得到三种放大率之间的关系为αγ=β(8.2-18)8.2.4理想光学系统的基点位置关系光学系统中焦点和主点已知，光学系统的成像关系确定，随之节点也确定。根据角放大率为1的节点的定义，以及理想光学系统角放大率公式(8.2-16)，可得节点相对于焦点的位置为xJ=f′，xJ′=f(8.2-19)即物方节点相对物方焦点的线度等于系统像方焦距，像方节点相对像方焦点的线度等于系统物方焦距，如图8-10所示。这时有基本的线度公式HJ=H′J′=f′+f

(8.2-20)当光学系统物方和像方折射率相同时，根据(8.2-6)式，有HJ=H′J′＝0，这时节点和主点重合，如图8-11所示。图8-10理想光学系统的基点关系图8-11同一介质中理想光学系统的基点关系8.2.5光学系统基点的测量

1.节点测量节点有一个重要的性质：通过节点的光线，传播方向不变，即入射和出射光线彼此平行，利用该性质可以进行节点测量。实验的装置如图8-12所示，在水平导轨上有一个转台，转台可以沿与导轨垂直的铅垂线360°转动。将测量的光学系统放置在转台上，学系统在转台上可以前后移动。当转台与导轨平行时，平行光管发出的平行于导轨轴线方向的平行光通过光学系统后，成像在像方焦平面上。因此可以在光学系统后用屏接收像，确定像方焦平面。图8-12节点测量装置确定像方焦平面后，小角度转动转台，这时如果像方节点J′偏离导轨的轴线，如图8-13所示，则由于入射光线的传播方向没变，经过像方节点J′的出射光线的方向仍然平行于导轨的轴线，该出射光线和光学系统像方焦平面的交点P就是平行光管发出的平行光的会聚像点。显然，该像点偏离导轨轴线Δd。如果转轴和光学系统像方节点J′重合，当转台小角度转动时，经过像方节点的出射光线的位置不变，从而像点不动，据此就可以确定系统像方节点的位置。将转台旋转180°，可以确定物方节点。当光学系统放置在同一种介质中时，实际上也确定了光学系统的主点。图8-13节点测量原理图

2.二次成像法测量焦距二次成像法测量焦距的原理如图8-14所示，即：将物放置在两个不同的物平面上，并测量两次成像后像的大小，以及相对于第一次成像，第二次成像物面和像面的移动量Δx和Δx′，则由两次成像后像的大小可以确定两对共轭面的垂轴放大率β1和β2。根据理想光学系统垂轴放大率公式有图8-14两次成像法测焦距考虑到Δx=x2－x1，Δx′=x2′－x1′，将上面两式相减得(8.2-21a)(8.2-21b)从而通过二次成像，并测量两对共轭面的垂直放大率及其物面或像面的相对距离，就可以确定光学系统的焦距。

3.平行光线法测量焦距当光学系统放置在同一种介质中，让平行光通过光学系统时，可以确定光学系统的像方焦平面。然后改变平行光管发出的平行光的方向，使其与光学系统光轴的夹角为U，如图8-15所示，则在像方焦平面上像点将偏离光轴，偏离距离为h′，由图可见，光学系统的焦距为(8.2-22)图8-15平行光线法测焦距8.3理想光学系统的组合8.3.1双光组组合双光组组合是光组组合中常遇到的组合，也是最基本的组合。如图8-16所示，系统由两个光组构成，它们的焦距分别为f1′、f1和f2′、f2，各自物方和像方折射率分别为n1、n1′和n2、n2′，其中n2＝n1′，其基点位置如图中所示。两光组间的相对位置由第二光组的物方焦点F2相对第一光组的像方焦点F1′的相对线度Δ表示，Δ称为该系统的光学间隔。以H1′为参考点，H2相对H1′的线度表示为d，称为两光组间的空间距离。显然它们存在关系：d=f1′+Δ－f2

(8.3-1)图8-16双光组组合图在物空间作一条平行于光轴的光线QQ1，经第一光组折射后过焦点F1′射入第二个光组，交第二个光组的物方主平面于R2点。利用物方焦平面的特性作出经第二个光组的出射线R2′F′，R2′F′与光轴交点F′就是合成光组的像方焦点。入射光线QQ1的延长线与其共轭光线R2′F′的交点Q′必位于合成光组的像方主平面上。过Q′作垂直于光轴的平面Q′H′，即为合成光组的像方主平面，它和光轴的交点H′为合成光组的像方主点。线段H′F′为合成光组的像方焦距f′,图中f′＜0。同理，按照光路可逆，可以作出一条出射光线为平行于光轴的光线Q2′Q′的光路，自右向左重复上述步骤，即可求出合成光组的物方焦点F和物方主点H，HF为物方焦距f，图中f＞0。上面通过图解法得到了组合光组的基点，下面基于图8-16给出确定基点位置的解析关系。组合光组的像方焦点F′和像方主点H′的位置可以以第二个光组的像方主点H2′为参考点确定，这时它们相对参考点的线度表示为lF′和lH′，也可以以第二个光组的像方焦点F2′为参考点确定，这时它们相对参考点的线度表示为xF′和xH′。按照符号法则，在图8-16中它们均大于零。同样，组合光组的物方焦点F和物方主点H的位置可以以第一光组的物方主点H1为参考点，也可以以第一个光组的物方焦点F1为参考点来确定，它们分别表示为lF、lH和xF、xH，在图8-16中，它们均小于零。(8.3-2a)同理，合成光组的物方焦点F和第二光组的物方焦点F2对第一光组来说是一对共轭点。故有(8.3-2b)

1.焦点位置公式由图8-16可见，合成光组的像方焦点F′和第一光组的像方焦点F1′对第二光组来说是一对共轭点。F′的位置xF′可用牛顿公式求得。这时公式中的x=－Δ，x′=xF′，所以有由于所以，将(8.3-2)式代入上式，可得基点相对于主点H2′和H1确定的组合光组焦点位置公式：(8.3-3)

2.焦距公式由图8-16，根据△Q′H′F′与△N2′H2′F2′相似，△Q1′H1′F1′与△F1′F2E2相似，可以得到所以(8.3-4a)同理，△QHF与△F1H1N1相似，△Q2H2F2与相似，有所以(8.3-4b)

3.主点位置公式由图8-16可见(8.3-5)将(8.3-2)式和(8.3-4)式代入上式，整理后得又由于(8.3-6a)将(8.3-5)式代入上式，并且考虑(8.3-1)式的关系，整理后得(8.3-6b)

4.光焦度公式根据光焦度的定义式(8.2-7)，以及组合光组的焦距公式(8.3-4a)，组合光组的光焦度j可以表示为(8.3-7)其中j1和j2为构成组合光组的两个光组的光焦度。采用双光组组合的方法，原则上可以确定由多个光组构成的光学系统。但是当光组的数目较大时，这种方法的求解过程将比较复杂。这时可以采取别的方法，譬如下面将要介绍的正切法和截距法。8.3.2正切法如图8-17所示，已知三个光组的基点及各光组之间的间隔，作任意一条平行于光轴的入射光线通过三个光组的光路。当光学系统确定，该光路完全确定，其光线在每个光组上的入射高度分别为h1、h2、h3，出射光线与光轴的夹角为u3′。由图可知将上式推广到由多个光组构成的系统，例如系统有k个光组，则(8.3-8a)(8.3-8b)(8.3-8c)图8-17三光组组合由此可见，如果确定了入射光线平行于光轴的一条光路，由出射光线和光轴的夹角以及它在最后一个光组的主平面上的截距，就可以确定像方焦点和主点。下面推导求解uk′和hk的公式。以第二个光组为例，设第二个光组的物方、像方焦距分别为f2和f2′，物距和像距分别为l2和l2′，将高斯成像公式两边同时乘以h2，可得由于，以及光焦度公式，上式可以表示为在转面公式l3=l2′－d2的两边同时乘以tanu2′2，可得将其推广到任一光组，有(8.3-9)(8.3-10)显然，给定初值h1和tanu1，将上式应用到各个光组，就可以得到uk′和hk。在正切法求解基点时必须取tanu1=0，h1可以任意取值，通常取h1=f1′。通过上面的方法可以求得像方基点。将光学系统倒置，按照上述公式可以确定倒置后光学系统像方的基点，即为原来光学系统物方的基点。或者根据光路可逆，给定hk，取tanuk′=0求解h1和u1，则(8.3-11)8.3.3截距法截距法采用逐次成像法，通过确定无穷远物逐次经过各个光组成像的物距和像距来确定基点。设光学系统由k个光组构成，第i个光组成像的物距和像距为li和li′，取l1=∞，根据像方焦距的定义可以知道，这时第k个光组的像点即为系统的像方焦点，即lF′=lk′(8.3-12)根据正切法像方焦距公式(8.3-8a)，像方焦距可以表示为如下的求解公式：由于(8.3-13)因而焦距可以表示为(8.3-14)上式结合(8.3-12)式就可以确定系统像方基点。将光学系统倒置，按照上述公式可以确定倒置后光学系统像方的基点，即为原来光学系统物方的基点。或者根据光路可逆，令lk′=∞，求解l1′，得8.3.4无焦系统当光学系统将无穷远的物体成像在无穷远时，即平行光束进入光学系统后，出射光束仍然是平行光束，这种系统称为无焦系统或望远镜系统。在无焦系统中，当物位于有限距离时，物像关系就不能够通过先确定光学系统的基点的办法来确定。下面，将无焦系统看做图8-18所示的两个光组构成的系统，建立其物像关系。图8-18无焦系统成像

1.物像关系根据牛顿成像公式，两次成像的物像关系为x1x1′=f1f1′和x2x2′=f2f2′由于x1′=x2，因而x2′f1f1′=x1f2f2′(8.3-15)

2.垂轴放大率两个光组的垂轴放大率公式为β1=－x1′/f1′，β1=－f2/x2，根据组合系统放大率公式β=β1β2，可得(8.3-16)

3.轴向放大率两个光组的垂轴放大率公式为α1=－x1′/x1，α2=－x2′/x2，根据组合系统放大率公式α=α1α2，可得(8.3-17)

4.角放大率根据光学系统放大率之间的关系β=αγ，可得(8.3-18)(8.3-19)如果无焦系统处于空气中，有f1′=－f1，f2′=－f2，则放大率公式可表示为由此可见，望远镜系统的放大率与物像位置无关，仅取决于构成它的两个光组的焦距的大小。当这两个光组确定后，其放大率为一常数。当两个无焦系统组合后，依旧得到一个无焦系统。当用无焦系统观察远处物体时，由于无穷远射来的平行光线经无焦系统后仍为平行光，此时在置于出射光束光路的屏上，我们不能看到任何像；若要获得像就必须在无焦系统后面放一个有限焦距的光组，这里有限焦距光组可以是摄影物镜，也可以是观察者的眼睛。8.4厚透镜及其基点与基面8.4.1厚透镜基点一般公式确定厚透镜基点常用的方法是将厚透镜看做两个折射球面的组合，通过双光组组合方法来确定。现在以双凸透镜为例，推导厚透镜的基点位置和结构参数的一般公式。如图8-19所示，两个曲率半径为r1和r2的折射球面构成一个厚度为d的双凸镜，构成透镜材料的折射率为n，透镜前后介质为空气。图8-19厚透镜的基点图中画出了两个折射球面的基点，两个折射球面的参数分别以下标1和2表示，两个折射球面的焦距为光学间隔为根据以上参数，由双光组组合(8.3-4)和(8.3-6)式可得由于透镜放在同一介质中，节点和主点重合，通过上面三个关系，由结构就可以确定该透镜的基点。(8.4-1)(8.4-2)(8.4-3)8.4.2厚透镜基点厚透镜有六种结构，即双凸透镜、双凹透镜、平凸透镜、平凹透镜、正弯月透镜和负弯月透镜，可参看图7-22。下面对这六种结构透镜的基点进行具体的分析。

1.双凸透镜双凸透镜的r1＞0，r2＜0，由(8.4-1)式可知，其像方焦距的正负与n(r2－r1)+(n－1)d异号，因此有：当时，f′＞0，透镜为一个正透镜。由式(8.4-2)和(8.4-3)可知，这时lH′＜0，lH＞0，图8-20给出了一种基点分布结构。若使d增大到时，则f′＜0，双凸透镜变成了一个负透镜。图8-20凸透镜的基点由于双凸透镜的厚度d一般均能满足的条件，故双凸透镜一般是正透镜。

2.双凹透镜双凹透镜的r1＜0，r2＞0，不管r1、r2、d为何值，恒有f′＜0，总为负透镜。由(8.4-2)和(8.4-3)式可知，此时lH′＜0，lH＞0，两个主平面均位于透镜的内部，如图8-21所示。图8-21凹透镜的基点

3.平凸透镜平凸透镜的r1＞0，r2=∞，对(8.4-1)式关于r2求极限，可得焦距公式为主点公式为即平凸透镜总为正透镜，它的像方主平面位于透镜内部，物方主平面和球面顶点相切，如图8-22所示。图8-22平凸透镜的基点

4.平凹透镜平凹透镜的r1＜0，r2=∞，类似于平凸透镜，对(8.4-1)式关于r2求极限，可得即平凹透镜总为负透镜，其像方主平面位于透镜内部，物方主平面和球面顶点相切，如图8-23所示。图8-23平凹透镜的基点

5.正弯月透镜正弯月形透镜的r1r2>0，且r1<r2。由(8-39)式得f′＞0，即正弯月形透镜的像方焦距f′恒为正值，即为正透镜；当r1和r2大于零时，lH′＜0，lH＜0。图8-24给出了一种基点分布。图8-24正弯月透镜的基点

6.负弯月透镜负弯月形透镜的r1r2>0，且r1>r2。与双凸透镜相似，负弯月形透镜的焦距随着厚度不同而可正可负。当时，f′<0，即此时的透镜为一个负透镜；当r1和r2大于零时，lH′＞0，lH＞0。图8-25给出了一种基点分布。若增大d到时，则f′＞0，透镜变为一个正透镜。因负弯月形透镜的厚度一般都比较小，故负弯月形透镜的像方焦距通常是负值。图8-25负弯月透镜的基点8.5矩阵在近轴光学系统中的应用8.5.1光线矢量的线性变换矩阵光路追迹是分析和研究光学系统的成像和像质分析的基础。光学系统给定，对于特定的入射光线，其光路完全确定。确定光路就是确定在各个横截面上的光线矢量，即它的位置和方向。在共轴球面光学系统中，一般可以将问题限制在子午面内研究，这时确定横截面上光线矢量的参数为光线与横截面交点的高度和光线的方向。设一条光路在两个不同横截面上光线的参数分别为h、u和h′、u′，如图8-26所示，则有h′=g1(h,u),

u′=g2(h,u)图8-26光学系统光线矢量定义对于几何光学元件构成的光学系统，在近轴区一般可以成完善像，这时不同横截面光线参数之间的关系为线性关系，即可以表示为h′=ah+bu,

u′=ch+du

(8.5-1)如果光线矢量的两个参数采用矩阵表示，定义(8.5-2)则光线矢量的线性变换关系可以通过矩阵表示为(8.5-3)上式中已将矩阵表示为。进一步，定义(8.5-4)为光学系统两个横截面间光线矢量的传递矩阵或高斯矩阵，则光线矢量的线性变换关系可表示为r′=Mr

(8.5-5)8.5.2基本光学元件的特征传递矩阵基本光学元件可以看做简单的光学系统，在其入射面和出射面之间可以定义传递矩阵，称为光学元件的光线矢量的特征传递矩阵。下面推导常见的基本光学元件在近轴区光线矢量的特征传递矩阵。

1.均匀介质的特征传递矩阵如图8-27所示，在均匀介质中有两个与光轴垂直的平面，两者沿光轴的距离为d，一条光线在两个平面上的光线参数为h、u和h′、u′。由于光线在均匀介质中作直线传播，因而它们之间满足h′=h－duu′=u图8-27均匀介质中光线矢量关系将上式与(8.5-1)式对比，可以得到光线在均匀介质中传播的特征传递矩阵为(8.5-6)

2.单个折射球面的特征传递矩阵如图8-28所示，由折射率分别为n和n′两种介质构成的曲率半径为r的球面，近轴区的入射光线和折射光线的参数为h、u和h′、u′，根据折射球面的基本关系有将上式与(8.5-1)式对比，可以得到单个折射球面的特征传递矩阵为图8-28折射球面上光线矢量关系

3.介质平面的特征传递矩阵介质平面可以看做是折射球面在曲率半径为无穷大时的特例，所以在折射球面的特征传递矩阵(8.5-7)式中令r→∞，可以得到介质平面的特征传递矩阵为(8.5-8)

4.反射球面镜的特征传递矩阵由于折射定律可以看做反射定律的特殊形式，因而在(8.5-7)式中令n′→－n，可以得到反射球面镜的特征传递矩阵为(8.5-9)

5.平面反射镜的特征传递矩阵在(8.5-9)式中，令r→∞，可以得到平面反射镜的特征传递矩阵为(8.5-10)

6.薄透镜的特征传递矩阵如图8-29所示，一个像方焦距为f′的薄透镜放在同一种介质中，薄透镜入射面和出射面上光线矢量的参数为h、u和h′、u′，在近轴区有由于h＝h′，根据薄透镜的成像公式，可以得到薄透镜入射面和出射面上光线矢量参数的变换关系为图8-29薄透镜光线矢量关系从而可以得到薄透镜的特征传递矩阵为(8.5-11)

7.理想光学系统的两个主平面之间的特征传递矩阵如图8-30所示，一个理想光学系统物方和像方的折射率为n和n′，焦距分别为f和f′，一条近轴区光路在物方主平面和像方主平面上光线矢量的参数为h、u和h′、u′，由图可见：根据主平面的性质，即h＝h′，和理想光学系统的成像公式，以及焦距之间的关系式，可以得到薄透镜入射面和出射面上光线矢量参数的变换关系为从而可以得到理想光学系统主平面之间的特征传递矩阵为(8.5-12)图8-30理想光学系统光线矢量关系8.5.3光学系统的传递矩阵计算如图8-31所示，由多个光学元件构成的系统，平面π1和平面π2分别是光学系统物空间和像空间任意的两个平面，现在计算这两个平面之间的光线参数的传递矩阵，即高斯矩阵。如果将两个基本光学元件之间的均匀介质也看做基本光学单元，其特征传递矩阵由(8.5-6)式表示，则光线在π1和π2两个横截面之间的传播，可以看做光线顺次通过包括均匀介质在内的基本光学单元。如果光学系统由N个基本光学单元构成，它们的特征传递矩阵依次为M1、M2、…、MN－1和MN，任一光路中，光线在各个基本光学单元表面的光线矢量为r1、r2、…、rN和rN+1，则图8-31光学系统光线矢量关系所以rN+1=MNMN－1…M2M1r1(8.5-13)如果令平面π1和π2上的光线矢量分别表示为r和r′，则r=r1，r′=rN+1，假如平面π1和π2之间的传递矩阵为M，则应该有r′=Mr将上式和(8.5-13)式对比，可以得到π1和π2之间的传递矩阵M为M=MNMN－1…M2M1(8.5-14)光学系统的结构参数决定了M矩阵的四个元素，这四个元素也体现了光学系统的成像关系，称为高斯常数。由基本光学单元特征传递矩阵的表示可以看出，各个矩阵对应的行列式|Mi|=ni/ni′，由光学系统的折射率的转面公式可得

(8.5-15)其中n和n′分别为光学系统物方和像方的折射率，当光学系统物方和像方的折射率相等时，|M|=1。现在考虑光学系统一对共轭面间的传递矩阵。光学系统一对共轭面间的传递矩阵可以看做由三个特征传递矩阵构成，即如图8-32所示，从物平面到物方主平面间均匀介质的传递矩阵M1，理想光学系统两个主平面间的传递矩阵M2，以及从像方主平面到像面之间均匀介质的传递矩阵M3。图8-32理想光学系统共轭面间传递矩阵根据基本光学元件的特征矩阵，则所以物面到像面的传递矩阵M为由于因此共轭面间的传递矩阵为(8.5-16)根据上式，通过计算光学系统物空间和像空间两个面间的传递矩阵，就可以由物面位置确定共轭像面位置，或者由像面位置确定共轭物面位置，同时还可以确定光学系统的焦距，以及两个共轭面间的放大率。8.5.4高斯矩阵与光学系统主平面和焦点的位置关系设任一光学系统的任意物方平面π1和像方平面π2之间的传递矩阵为如图8-33所示，考虑一条平行于光轴，高度为h的入射光线，经过光学系统后在像方平面π2上的光线参数为h′和u′，根据传递矩阵关系有图8-33高斯矩阵与像方基点即h′=M11h，u′=－M21h如果以平面π2作为参考面，确定系统像方基点，将像方主平面和像方焦平面相对平面π2的线度表示为sH′和sF′，则(8.5-17)依据光路可逆，可以确定物方基点。如图8-34所示，考虑一条平行于光轴的出射光线，它的高度为h′，相应的入射光线在物空间的平面π1上的光线矢量参数为h和u，它们满足图8-34高斯矩阵与物方基点由于可得所以如果以平面π1作为参考面，确定系统物方基点，将物方主平面和物方焦平面相对平面π1的线度表示为sH和sF，则(8.5-18)8.5.5传递矩阵在激光谐振腔设计中的应用

产生激光不仅需要能够实现粒子数反转的增益介质，还需要能够形成光振荡的腔体。共轴球面谐振腔体是非常重要的一种激光腔，特别对于气体激光器。当在谐振腔体内建立了稳定的光场后，从波动光学的角度来说，形成了一定的电磁场模式。而从几何光学的角度来说，光线在谐振腔内多次往返传播后能够再现。光线在谐振腔内的传播实际上是光线交替在均匀介质中的传播和球面的反射，所以采用矩阵研究谐振腔光线的传播比较方便，它也经常用于共轴球面激光谐振腔稳定性的分析。图8-35给出了一个典型的共轴球面谐振腔的结构。左右分别为曲率半径为R1和R2的球面。为了简单，假设腔体内为空气，腔长为L。首先确定光线往返一次的传递

矩阵。光线往返一次可以看做4个过程：①在腔内从左向右传播L，传递矩阵为M+；②经过右反射面的反射，其传递矩阵为Mr；③从右向左传播L，传递矩阵为M－；④经过左面的反射，其传递矩阵为Ml。根据我们的符号法则，上面四个传递矩阵为而光线在谐振腔往返一次的传递矩阵为上述四个矩阵依次的乘积，即(8.5-19)图8-35共轴球面激光谐振腔其中(8.5-20)光线往返一次前后光线参数间的关系为当光线往返n次后，变换矩阵为n个单次往返传递矩阵的乘积，即Mn。根据矩阵理论，有(8.5-22)其中(8.5-23)这时光线参数关系为(8.5-24)根据上式，可以确定光线任意次往返传播后的参数。同样，根据上式可以确定共轴球面谐振腔的稳定条件。要形成稳定的谐振腔，光线经过任意次的往返都不能逸出腔外，这时要求式(8.5-22)中各个元素必须有限，这要求式(8.5-23)给出的φ必须为实数，从而可以得到谐振腔稳定的

条件将式(8.5-20)代入，可得稳定性条件为(8.5-25)(8.5-26)8.6

ABCD法则及其在激光束传输中的应用8.6.1

ABCD法则——光波面曲率半径在传播介质中的变化规律如图8-36所示，光学系统物空间近轴区任一球面波面，其半径为R。R的符号规定为以球面曲率中心为参考点，参考点以右波面上点的曲率半径为正，以左波面上点的曲率半径为负，这样就可以通过R正负区分会聚和发散的球面波。与该波面对应的光线沿球面的法线方向传播，如果在球面上任一点的光线矢量参数为h和u，由几何关系知道图8-36光线参数与波面曲率半径在近轴区同理，在光学系统像空间任一波面上有显然，若任意球面波波面上任一光线矢量参数给定，则相应的波面的曲率半径就可确定。假如光学系统两个面的传递矩阵为，其光线矢量参数满足可以得到两个面上相应球面波波面曲率半径的变化关系为(8.6-1)上述关系称为ABCD法则，它被广泛用于计算激光束的传播。8.6.2

ABCD法则用于基模高斯光束的传播

1.基模高斯光束及基本参数高斯光束是激光器所产生的光波，它是圆柱坐标系中的波动方程的解，依据激光腔的结构和工作条件不同，可为基模高斯光束、厄米分布高阶模高斯光束、拉盖尔分布高阶模高斯光束和椭圆高斯光束等。其中基模高斯光束在横截面内分布各向同性，比较简单。基于标量场理论，它的电场强度复振幅的表示式为在与激光束传播方向垂直的任意一个平面上，振幅随着到光束中心的距离的增大，按照指数形式衰减，衰减函数关系为式中的w(z)为振幅衰减到中心幅值1/e时的位置到光束中心的距离，称为光束在该平面上的光斑半径。基模高斯光束的相位部分除了一个附加相位j(z)外，还存在一个二次相位因子，它表明在该平面上波面为一个球面，其曲率半径为R(z)。一般基模高斯光束的光斑半径、波面的曲率半径和附加位相j(z)在不同横截面上是不同的。光斑半径最小的平面称为激光束的束腰，束腰半径为w0。假设激光束的波长为λ，以束腰位置作为z轴方向的参考面，则沿光波传播方向上不同横截面上光斑半径和波面的曲率半径可以表示为(8.6-2)(8.6-3)(8.6-4)上式中z0为一个由束腰大小决定的量，称为激光束的共焦参量，它与束腰大小的关系为(8.6-5)(8.6-2)式也可以表示为(8.6-6)上式说明高斯光束的光斑边缘的包络随z按照双曲线变化，其半实轴大小为w0，半虚轴大小为共焦参量z0。通常以双曲线的渐近线与传播方向的夹角定义高斯光束的发散角，即

2.ABCD法则——复曲率半径高斯光束与一般的球面波不同，在光波传播的任一垂直的平面上，它除包含波面的曲率半径外，还包含光束的光斑尺寸，所以通常定义复曲率半径为q(z)，即(8.6-7)或q(z)=z－iz0

(8.6-8)

(8.6-10)(8.6-9)或者如果光学系统两个平面间的传递矩阵为M，高斯光束在两个平面上的复曲率半径分别为q1(z)和q2(z)，则它们满足8.6.3基模高斯光束经过薄透镜的变换如图8-36所示，一高斯光束经过一个焦距为f′的薄透镜，入射光束的束腰半径为w0，共焦参量为z0，束腰相对透镜的物距为l。该光束经过透镜后，其出射光束的束腰半径为w0′，共焦参量为z0′，束腰相对透镜的像距为l′。在透镜表面上，入射光束和出射光束的曲率半径分别为R和R′，光斑尺寸分别为w和w′。在这里，仍遵从第7章的符号法则：束腰位于薄透镜前时，l为负，但是波面曲率半径为正；位于薄透镜后时，l为正，波面曲率半径为负。根据(8.6-2)和(8.6-3)式有图8-36高斯光束经过薄透镜变换(8.6-11)(8.6-12)透镜表面上入射光束和出射光束的复曲率半径q和q′为(8.6-13)根据薄透镜的特征矩阵和ABCD法则(8.6-10)式，q1和q2满足(8.6-14)比较上式两边的实部和虚部，可得(8.6-15)可见薄透镜对高斯光束变换时，在透镜表面上光斑尺寸变换前后不变，波面的曲率半径满足薄透镜的成像公式。上面成像公式等号右边出现负号，是因为物距和像距以薄透镜光心为参考点，而曲率半径是以曲率中心为参考点，两者相差一个符号。将(8.6-12)式代入(8.6-15)式，可以得到光束经透镜变换前后束腰位置和大小的关系为(8.6-16)如果在物方入射光束的束腰以薄透镜物方焦点为参考点，表示为x，在像方出射光束的束腰以薄透镜像方焦点为参考点，表示为x′，则上式可以简化为(8.6-17)可见，光束经过薄透镜变换前后束腰的位置并不满足薄透镜成像的高斯公式。图8-37给出了按照正透镜焦距归一化的不同共焦参量的光束经过正薄透镜后束腰位置和大小随入射光束束腰相对透镜位置的变化关系。图8-37不同归一化共焦参量a=z0/f′的高斯光束经过薄透镜变化关系由图可以看出：①当入射光束束腰距离透镜非常远时，出射光束束腰位于像方焦点；②当入射光束束腰位于物方焦点时，出射光束束腰位于像方焦点，并且出射光束束腰达到最大，为。8.6.4基模高斯光束经过无焦系统的变换无焦系统经常被用于激光束的扩束和光斑的压缩，现在采用ABCD法则研究激光束经过无焦系统变化的基本关系。如图8-38所示，设无焦系统由两个薄透镜构成，它们的焦距分别为f1′和f2′，首先考虑从第一个薄透镜的入射面到第二个薄透镜的出射面间的传递矩阵M。这时无焦系统可以看做是由三个基本光学单元构成的，这三个单元即两个薄透镜和它们之间长度d＝f1′＋f2′的均匀介质单元。三个单元的特征矩阵依次为图8-38高斯光束经过无焦系统变换(8.6-18)则传递矩阵为其中,β=－f2′/f1′,为望远镜系统的垂轴放大率。如果入射光束的束腰大小为w0，共焦参量为z0，束腰相对第一个薄透镜的物距为l，经过透镜后，出射光束的束腰大小为w0′，共焦参量为z0′，束腰相对第二个薄透镜的像距表示为l′，在第一个薄透镜上入射光束和第二个薄透镜上出射光束的曲率半径分别表示为R和R′，光斑大小分别表示为w和w′，复曲率表示为q和q′。根据ABCD法则，即(8.6-9)式有q′=β2q+β(f1′+f2′)通过比较等式两边的实部和虚部，可得(8.6-19)如果在物方入射光束的束腰以第一个薄透镜物方焦点为参考点，表示为x，在像方出射光束的束腰以第二个薄透镜像方焦点为参考点，表示为x′，