专题4.3 函数的应用（二）（解析版）

专题4.3函数的应用（二）1．函数的零点与方程的根之间的联系函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点．2．函数零点的判定如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程的根.3．函数零点的常用结论（1）若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；（3）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；（4）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.4．函数零点的判定方法（1）定义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数必须在区间[a，b]上是连续的，当时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点．（2）方程法：判断方程是否有实数解．（3）图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如，作出和的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.5．判断函数零点个数的方法（1）解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.6．函数零点的应用（1）已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．（2）已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．（3）借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：①求出零点，直接比较大小；②确定零点所在区间；③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.一、单选题1．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢降低新鲜度．已知某种水果降低的新鲜度y与其采摘后时间x（天）满足的函数关系式为．若采摘2天后，这种水果降低的新鲜度为20%；采摘3天后，这种水果降低的新鲜度为40%．则采摘下来的这种水果降低的新鲜度为70%需要经过A．4天 B．4.5天C．5天 D．5.5天【试题来源】吉林省梅河口市第五中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】B【分析】根据题意得，从而得，令即可得解．【解析】根据题意得，解得，所以令，解得．故选B．2．二次函数的零点是A．， B．，1C．， D．，【试题来源】江苏省南通市海安高级中学2021-2022学年高一10月份段测（一）【答案】A【分析】函数的零点转化为方程的根，求解即可．【解析】二次函数的零点就是的解，解得，或，故选A．3．在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是A． B．C． D．【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2021~2022学年高一上学期期中练习【答案】C【分析】由第一次所取的区间是，取该区间的中点，可得第二次所取的区间，利用同样的方法得到第三次所取的区间．【解析】因为第一次所取的区间是，所以第二次所取的区间可能是，则第三次所取的区间可能是，故选C4．若函数在区间[a，b]上满足，则在区间（a，b）上A．有且仅有一个零点 B．至少有一个零点C．至多有一个零点 D．可能没有零点【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第五章5．3函数的应用【答案】D【分析】结合分段函数、零点的知识确定正确选项．【解析】例如，，在区间上满足，但是f（x）在区间上有无数个零点；又如，，在区间上满足，但是f（x）在区间上没有零点．故选D5．已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】广东省深圳市龙岗区2021-2022学年高一上学期期中【答案】D【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围．【解析】设，则二次函数的两个零点都在区间内，由题意，解得．因此，实数的取值范围是．故选D．6．若数若关于的方程恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为A． B．C． D．【试题来源】河南省信阳市第二高级中学2021-2022学年高三上学期9月质量检测【答案】B【分析】将问题转化为方程有两个不相等实数根，画出的图象，根据数形结合的思想即可得出结果．【解析】作出的图象如下图：可化为，解得或，由图可知无解，故问题等价于有两个不相等实数根，由图象可得．故选．7．已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为A． B．C． D．【试题来源】广东省深圳市龙岗区2022届高三上学期期中质量监测【答案】C【分析】画出函数图象，由数形结合法即可求解．【解析】如图，为的图象，要使有两不同实数根，即与有两不同交点，故．故选C8．函数的零点所在区间是A． B．C． D．【试题来源】宁夏银川三沙源上游学校2021-2022学年高一上学期期中考试【答案】C【分析】根据函数解析式可得在上单调递减，再根据零点存在性定理判断零点所在区间；【解析】函数在上单调递减，且，的零点在内．故选C9．“双11”就要到了，电商的优惠活动很多，某同学借助于已学数学知识对“双11”相关优惠活动进行研究．已知2021年“双11”期间某商品原价为元，商家准备在节前连续2次对该商品进行提价且每次提价，然后在“双11”活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价．该同学得到结论：最后该商品的价格与原来价格元相比A．相等 B．略有提高C．略有降低 D．无法确定【试题来源】湖北省荆门市龙泉中学2021-2022学年高一上学期期中【答案】C【分析】计算出商品最后的价格与比较即可得出结论．【解析】商品的现价为，因此价格略有降低．故选C．10．下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间内有零点的函数是A． B．C． D．【试题来源】北京市第十五中学2022届高三上学期期中考试【答案】B【分析】由题可判断函数的单调性，再结合零点存在定理即得．【解析】对于A，为减函数，故A错误；对于B，为增函数，且时，，时，函数在区间内有零点，故B正确；对于C，，在上单调递减，在上单调递增，故C错误；对于D，为增函数，时，，时，函数在区间内没有零点，故D错误．故选B11．已知函数，则“函数在上有零点”是“”的条件A．充分而不必要 B．必要而不充分C．充要 D．即不充分也不必要【试题来源】北京市十一学校2021-2022学年高一上学期期中考试【答案】C【分析】结合充分、必要条件的判断方法来确定正确选项．【解析】依题意，若函数在上有零点，不等式组无解，所以，即．若，根据零点存在性定理可知函数在上有零点．所以“函数在上有零点”是“”的充要条件．故选C12．已知方程有两根，一根在，而另一根在，则实数的取值范围为A． B．C． D．【试题来源】重庆市第七中学2021-2022学年高一上学期期中【答案】B【分析】构造二次函数，转化为端点值得函数值为正或为负，列出不等式组求解即可．【解析】设，，一根在，而另一根在，则有即解得故选B13．Logistic模型是常用的数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布的数据建立某地区流感累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，的值为A． B．C． D．【试题来源】四川省眉山市仁寿县仁寿第一中学校南校区2021-2022学年高一上学期期中【答案】B【分析】由题意根据所给函数模型列出方程即可求出的值．【解析】由已知可得，，即，化简为，解得，故选B．14．已知函数有唯一的零点，则实数a的值为A．1 B．－1C．0 D．－2【试题来源】北师大版（2019）必修第一册突围者第五章全章综合检测【答案】B【分析】探讨函数的奇偶性及在上的单调性即可判断作答．【解析】函数定义域为R，函数，即函数为偶函数，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，则当时，，因函数有唯一的零点，于是得，解得，所以实数a的值为．故选B15．某物体飞行的轨迹是抛物线，上升高度h（单位：米）与时刻t（单位：秒）满足函数关系（a，b，c是常数），下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到高度最高时的时刻为A．3.50秒 B．3.75秒C．4.00秒 D．4.25秒【试题来源】北京市铁路第二中学2021-2022学年高一上学期期中考试【答案】B【分析】由图象可得函数过点，然后解出的值即可．【解析】由图象可得函数过点，所以可得，解得，所以，其对称轴为，所以高度最高时的时刻为秒，故选B16．某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为（，是正的常数）．如果在前5h消除了10%的污染物，那么污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h，参考数据lg2≈0．301，lg3≈0．477）A．31h B．33hC．35h D．37h【试题来源】湖南省长沙市第一中学、广东省深圳实验学校2022届高三上学期期中联考【答案】B【分析】先求出常数，然后再令即可解出．【解析】由题意知，，解得，那么，当时，有，解得，即污染物减少需要花33h．故选B17．某种药物需要2个小时才能全部注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量以每小时的速度呈直线上升；注射结束后，血液中的药物含量每小时以的衰减率呈指数衰减．若该药物在病人血液中的含量保持在以上时才有疗效，则该药物对病人有疗效的时长大约为（参考数据：，，，）A．2小时 B．3小时C．4小时 D．5小时【试题来源】北京市大兴区2021-2022学年高一上学期期中考试【答案】C【分析】依题意设时间为，血液中药物的浓度为，即可得到函数解析式，再根据分段函数分类讨论，求出的取值范围，即可得解；【解析】设时间为，血液中药物的浓度为，则，所以当时，，解得；当时，，即，即，所以，即，综上可得，所以，即该药物对病人有疗效的时长大约为4小时；故选C18．已知方程有解，则实数a的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第三章【答案】B【分析】根据题意分离参数，利用基本不等式即可得范围．【解析】由，得．当且仅当，即时等号成立，因为方程有解，所以．故选B．19．Logistic模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域．有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为A．35 B．36C．60 D．40【试题来源】浙江省浙南名校联盟2021-2022学年高一上学期期中联考【答案】B【分析】根据题意列出等式，整理化简可得，解出即可．【解析】由题意知，，得，整理，得，即，解得．故选B20．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足：，已知某同学视力的五分记录法数据为4.9，则其视力的小数记录法最接近的数据为A．1.5 B．1.2C．0.8 D．0.6【试题来源】上海市第二中学2021-2022学年高一上学期期中【答案】C【分析】根据L与V的关系式，结合已知条件即可求解．【解析】因为，即，所以当时，，故选C．21．若对于定义在上的函数，当且仅当存在有限个非零自变量，使得，则称为类偶函数，若函数为类偶函数，则的取值范围为A． B．C． D．【试题来源】天津市第五十四中学2021-2022学年高三上学期期中【答案】A【分析】由类偶函数得出，根据类偶函数的定义知，存在有限个非零的实数解，得出，解出即可．【解析】由，得，即，根据类偶函数的定义，可知方程存在有限个非零的实数解，故存在有限个非零的实数解，则，解得，即的取值范围为．故选A．22．已知函数若互不相等，且，则的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】广东省深圳市第二高级中学2021-2022学年高一上学期11月测试【答案】C【分析】作函数的图象，根据图象确定的范围及关系，可求的取值范围．【解析】设，设作函数图象如图所示，由图可知，，又，即，解得，故，故选C．23．已知函数的零点在区间上，则A．1 B．2C．3 D．4【试题来源】宁夏唐徕回民中学2021-2022学年高一上学期期中考试【答案】B【分析】先判断函数在为增函数，再结合，即可得解．【解析】由题意，都在为增函数故函数在为增函数，又，，即，则函数的零点在区间上，即2，故选B24．下列函数中能说明“若函数满足，则在内不存在零点”为假命题的函数是A． B．C． D．【试题来源】北京市清华大学附属中学2021-2022学年高一上学期期中考试【答案】A【分析】根据已知条件逐一检验四个函数，满足，在内存在零点即为符合题意的函数．【解析】对于A：对于函数，，，所以函数满足，在内存在零点，所以可说明命题为假命题符合题意，故选项A符合题意；对于B：对于函数，，所以不满足，故选项B不符合题意；对于C：对于函数，，由可得，此函数在内不存在零点，不能说明命题是假命题，故选项C不符合题意；对于D：对于函数，，，此函数在内不存在零点，不能说明命题是假命题，故选项D不符合题意；故选A．25．设，函数，若在区间内恰有4个零点，则a的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】浙江省宁波市2021-2022学年高三上学期11月高考模拟考试【答案】A【分析】根据题意可得在上有零点．且对称轴为，进而可得，由于，然后分、以及三种情况分类讨论即可求出结果．【解析】由题意在上有零点．而的对称轴为，故有，解得．注意到．（1）当时，即时，在上有两个零点．（事实上，在上有两个零点）此时，，且在上有两个零点．又，，故在上有两个零点．所以，当时，在区间内恰有4个零点（2）当时，即时，在上有一个零点．要是在区间内恰有4个零点，则必在区间上．从而，解得．又区间的长度大于6，得．此时，．（注：当时，在，，上各有一个零点）故当时，在区间内恰有4个零点．而，解得．所以，当时，在区间内恰有4个零点．（3）当时，即时，易知在内仅有2个零点，不符．综上，．故选；A．【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．26．三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，其出土文物是宝贵的人类文化遗产，在人类文明发展史上占有重要地位．2021年，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址的重大考古发现再一次惊艳世界．为推测文物年代，考古学者通常用碳测年法推算（碳测年法是根据碳的衰变程度计算出样品的大概年代的一种测量方法）．2021年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳年代测定，检测出碳的残留量约为初始量的，已知碳的半衰期是5730年（即每经过5730年，遗存材料的碳含量衰减为原来的一半）．以此推算出该文物大致年代是（参考数据：，）A．公元前1600年到公元前1500年 B．公元前1500年到公元前1400年C．公元前1400年到公元前1300年 D．公元前1300年到公元前1200年【试题来源】四川省资阳市2021-2022学年高三第一次诊断考试【答案】B【分析】设时间经过了年，则，结合参考数据计算得到答案．【解析】设时间经过了年，则，即，．．故选B．27．，若，且，则的取值范围A． B．C． D．【试题来源】四川省成都市双流中学2020-2021学年高一上学期期中【答案】A【分析】画出函数图象，可得，且，将化简为关于的函数即可求出．【解析】画出函数图象如下：观察图象可得，，即，且，则，因为，所以，即的取值范围为．故选A．28．鲜花店鲜花的售价随进价的变化而变化．已知某鲜花店鲜花A在第一天的进价为4元/枝．售价为10元/枝，并规定从第二天起，该鲜花当日售价的涨跌幅是当日进价的涨跌幅的50%．注：，当日售价的涨跌幅．每枝花的当日差价=当日出价-当日进价．鲜花A进价与售价表第一天第二天第三天第四天第五天进价（元/枝）489.64.86.72售价（元/枝）101516.5xy以下结论正确的是A． B．C．这5天内鲜花A第二天的当日差价最大 D．这5天内鲜花A第一天的当日差价最小【试题来源】北京市朝阳区2022届高三上学期期中质量检测【答案】D【分析】由表格数据，及数据间的关系，计算x，y，判断各选项的对错．【解析】因为第四天的进价为4.8，第三天的进价为9.6，所以第四天的进价的涨跌幅=，所以第四天的售价的涨跌幅为，又第四天的售价为，第三天的售价为16.5，所以，所以，A错，因为第五天的进价为6.72，第四天的进价为4.8，所以第五天的进价的涨跌幅=，所以第四天的售价的涨跌幅为，又第五天的售价为，第三天的售价为12．375，所以，所以，B错，第一天的当日差价为6，第二天的当日差价为7，第三天的当日差价为6．9，第四天的当日差价为7．575，第五天的当日差价为8．13，C错，D对，故选D．29．设函数，若，且，则的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】四川省眉山市仁寿县仁寿第一中学校南校区2021-2022学年高一上学期期中【答案】D【分析】画出函数图象，数形结合可求出的范围，即可求解．【解析】函数图象如图：，且，，故选D30．若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】北师大版（2019）必修第一册突围者第五章全章综合检测【答案】C【分析】探讨函数的单调性，再借助零点存在定理列出不等式求解即得．【解析】函数f(x)定义域是，因函数，在上都是单调递增的，而，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，当时，无零点，于是得当时，函数在上连续且单调，因函数在区间上有零点，则由零点存在定理有：，即，解得，所以实数a的取值范围是．故选C31．已知函数，若关于的方程（）有三个不相等的实数根，且，则的值为A． B．C． D．【试题来源】浙江省湖州市三贤联盟2021-2022学年高一上学期期中联考【答案】A【分析】令，结合函数的图象，将方程（）有三个不相等的实数根，转化为有两个不等的实数根，，进而由，利用根与系数关系求解．【解析】因为函数图象如下：令，则有两个不等的实数根，，由根与系数关系知，则，，所以．故选A32．下列命题正确的为①；②集合子集的个数为4；③方程有2个解；④A．①② B．②③④C．①③ D．②④【试题来源】陕西省西安中学2021-2022学年高三上学期艺考生期中【答案】D【分析】①结合换底公式可判断错误；②正确；③由数形结合判断错误；④结合指数、对数函数性质可判断正确．【解析】对①，，故A错误；对②，集合子集个数为个，②正确；对③，画出图象，由图可知，两函数图象有三个交点，③错误；对④，，，，故，④正确．故选D33．若关于x的方程有解，则实数a的取值范围是A．[0，1） B．[1，2）C．[1，+∞） D．（2，+∞）【试题来源】北师大版（2019）必修第一册突围者第三章全章综合检测【答案】B【分析】等价于有解，求出的取值范围即得解．【解析】有解等价于有解，由于，所以，所以所以，则实数a的取值范围是[1，2）．故选B．34．已知，，设函数，若对任意的实数，都有在区间上至少存在两个零点，则A．，且 B．，且C．，且 D．，且【试题来源】重庆市第八中学2021-2022学年高一上学期期中【答案】B【分析】根据各选项只需研究、情况下的零点情况，由分段函数的性质求各区间上的零点，再讨论、判断满足题设条件下的范围．【解析】结合各选项只需讨论：、，设，，由，得和；由，得，当时，至少两个零点0和恒成立，符合题设；当时，可能有两个零点和，又至少有两个零点，所以，均为零点，即，得，解得．综上，．故选B．35．设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】山西省太原市2022届高三上学期期中【答案】A【分析】根据分段函数解析式研究的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得、、，进而将目标式转化并令，构造，则只需研究在上的范围即可．【解析】由分段函数知时且递减；时且递增；时，且递减；时，且递增；所以的图象如下：有四个实数根，，，且，由图知时有四个实数根，且，又，由对数函数的性质：，可得，所以令，且，由在上单增，可知，所以，故选A二、多选题1．下列说法中正确的是A．函数，的零点为B．函数的零点为0C．函数的零点即函数的图象与x轴的交点D．函数的零点即方程的实数根【试题来源】湘教版（2019）必修第一册突围者第4章【答案】BD【分析】根据函数的零点的知识确定正确选项．【解析】函数的零点是数，不是点，A错误；由，得，在上递增，所以B正确；函数的零点是方程的实数根，是函数的图象与x轴的公共点的横坐标，D正确，C错误，故选BD2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L．E．J．Brouwer）．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，那么我们就称该函数为“不动点”函数．下列函数为“不动点”函数的是A． B．C． D．【试题来源】吉林省梅河口市第五中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】BC【分析】根据已知定义，将问题转化为方程有解，然后逐项进行求解并判断即可．【解析】根据定义可知若有不动点，则有解．A．令，所以，此时无解，故不是“不动点”函数；B．令，所以或，所以是“不动点”函数；C．当时，令，所以，所以是“不动点”函数；D．当时，，所以，此时无解，当时，，此时无解，故不是“不动点”函数，故选BC．3．关于函数，正确的说法是A．方程仅有一个解 B．的定义域为C．在上单调递减 D．的图象关于点对称【试题来源】广东省佛山市顺德区文德学校2021-2022学年高一上学期第一次阶段性测试【答案】BCD【分析】利用反比例函数的值域可判断A选项的正误；求出函数的定义域可判断B选项的正误；利用反比例函数的单调性可判断C选项的正误；利用反比例函数的对称性可判断D选项的正误．【解析】对于A选项，因为，故A错；对于B选项，对于，有，解得，故B对；对于C选项，因为函数在上单调递减，函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到，故函数在上单调递减，C对；对于D选项，因为函数的图象关于原点对称，函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到，故函数的图象关于点对称，D对．故选BCD．4．为预防流感病毒，我校每天定时对教室进行喷洒消毒．当教室内每立方米药物含量超时能有效杀灭病毒．已知教室内每立方米空气中的含药量y（单位：）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），则下列说法正确的是A．当时， B．当时，C．教室内持续有效杀灭病毒时间为0．85小时 D．喷洒药物3分钟后才开始有效灭杀病毒【试题来源】福建省福州第八中学2021-2022学年高一上学期期中考试【答案】ABD【分析】根据函数图象直接写出各区间上的解析式，再令求x值即知杀毒持续时间及有效灭杀病毒的开始时间．【解析】A：由图知时图象过且y与x成正比，即函数为，正确；B：由图知时过，即，可得，即函数为，正确；C：令，得；令，得，故教室内持续有效杀灭病毒时间为0．75小时，错误；D：由C知从开始有效灭杀病毒，即3分钟后开始有效灭杀病毒，正确．故选ABD5．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A． B．C． D．【试题来源】北师大版（2019）必修第一册突围者第五章全章综合检测【答案】BD【分析】利用偶函数与存在零点两个条件逐一判断各选项即可得解．【解析】对于A，函数定义域为，该函数不是偶函数，A不是；对于B，函数是R上的偶函数，由得或，即该函数有两个零点，B是；对于C，函数是R上的奇函数，C不是；对于D，是R上的偶函数，由得或，即该函数有两个零点，D是．故选BD6．已知函数f(x)的图象连续不间断，x，f(x)的对应值如下表：x12345f(x)13615-310-52则含有函数f(x)的零点的区间有A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)【试题来源】北师大版（2019）必修第一册突围者第五章全章综合检测【答案】BCD【分析】根据给定条件结合零点存在性的判定定理逐一判断各选项即可得解．【解析】由表格中数据知，，，，，而函数f(x)的图象连续不间断，则由函数零点存在性的判定定理得含有函数f(x)的零点的区间有(2，3)，(3，4)，(4，5)．故选BCD7．已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有A．4 B．C． D．【试题来源】福建省龙岩第一中学2021-2022学年高一上学期模块考试（期中）【答案】CD【分析】根据二次函数和指数函数的性质作出函数的图象，令，则，令，根据题意可得方程有两个不同的根，作出的图象，进而列出不等式组，解之即可．【解析】当时，，则函数在上单调递增，作出的图象，如图1，令，则，令，所以方程有两个不同的根，记为，则，作出的图象，如图2，由图可得，解得．故选CD8．已知函数，实数a，b，c满足，且，若实数是函数f(x)的一个零点，则下列结论可能成立的是A． B．C． D．【试题来源】北师大版（2019）必修第一册突围者第五章全章综合检测【答案】ABC【分析】确定函数单调性，由分类讨论并求得可成立的条件即可判断作答．【解析】函数定义域为，且在上单调递增，而，则，因，则有中一个为负，两个为正或者三个都为负，即或，而是函数f(x)的一个零点，即，于是得或，因此，或，所以只有不可能，一定有成立，，可能成立．故选ABC9．函数恰有2个零点的充分条件是A． B．C． D．【试题来源】广东省深圳市深圳中学2021-2022学年高一上学期期中【答案】BC【分析】设，当时，分函数与轴有一个交点和在时与轴无交点，两种情况讨论，结合二次函数的性质，求得的范围，结合选项，即可求解．【解析】由题意，函数，设，若时，函数与轴有一个交点，则，且当时，，解得，则，此时函数与轴有一个交点，则且，所以；若函数在时与轴无交点，则函数有两个交点，当时，与轴无交点，与轴也无交点，不满足题意，舍去；当时，即时，的两个交点都满足，都满足题意，综上可得，实数的取值范围是，结合选项，可得BC符合题意．故选BC．10．已知函数，若关于的方程有四个不相等的实根，则的值可以是A． B．C． D．0【试题来源】江苏省盐城市上冈高级中学2021-2022学年高一上学期期中【答案】BC【分析】由题设求的解析式，进而可得的解析式，并画出其函数图象，将问题转化为与有4个交点，应用数形结合判断的范围，即知的可能值．【解析】由题设，，所以，所以，可得函数图象如下：要使有四个不相等的实根，即与有4个交点，由图知．故选BC三、填空题1．若函数有一个零点是2，则函数的零点是____________．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第五章5．3函数的应用【答案】0或【分析】先求得的关系式，然后求得函数的零点．【解析】由于函数有一个零点是，所以，，所以，由于，所以或．故答案为0或2．若函数的图象关于直线对称，且共有3个零点，则所有零点之和为____________．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第五章5．3函数的应用【答案】【分析】根据题意和零点的定义可得为函数其中一个零点，且另外两个零点关于对称，加起来即可．【解析】因为函数的图象关于直线对称，且f（x）共有3个零点，则必为其中一个零点，并且另外两个零点关于对称，所以所有零点之和为．故答案为．3．若函数不存在零点，则实数a的取值范围是____________．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第五章5．3函数的应用【答案】【分析】根据题意，分别讨论和两种情况，即可求解．【解析】当时，，不存在零点，符合题意；当时，，解得．综上所述，．故答案为．4．如果在实数运算中定义新运算“”：当时，；当时，．那么函数的零点个数为____________．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第五章5．3函数的应用【答案】2【分析】根据新定义运算求得函数解析式，由此求得零点个数．【解析】或．所以，所以函数的零点有2个，即和0．故答案为5．小程入职时的年薪为10万元，若他在岗位上表现优异，则每年他的年薪可以获得最多15%的涨幅．为了使自己的年薪超过20万元，小程最少需要奋斗____________年．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第四章章测试【答案】5【分析】小程第n年的年薪为，由指数函数的单调性，对n依次代入正整数，直接求得．【解析】小程第n年的年薪为．因为为增函数，所以小程第2年的年薪为；第3年的年薪为；第4年的年薪为；第5年的年薪为；所以小程最少需要奋斗5年．故答案为56．函数的零点为____________．【试题来源】黑龙江省龙东地区四校2021-2022学年高三上学期联考【答案】10【分析】令，解方程进而可以求出结果．【解析】令，即，所以，因此，所以函数的零点为，故答案为．7．已知函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是____________．【试题来源】北京市十一学校2021-2022学年高一上学期第1学段数学III课程教与学诊断【答案】【分析】由题意可知，原问题等价于在区间上有解，利用分离参数法可知在区间上有解，再根据函数的单调性即可求出函数在区间上的值域，由此即可求出结果．【解析】函数在区间上有零点，即在区间上有解，所以在区间上有解，即在区间上有解，令，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，，所以，所以，即．故答案为．8．已知，若函数有两个零点，则实数的取值范围是____________．【试题来源】山东省烟台市2021-2022学年高三上学期期中【答案】【解析】有两个零点，即有两个根，即函数与有两个交点，如图所示，显然，当或时，函数与有两个交点，符合题意故答案为9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的零点个数为____________．【试题来源】北师大版（2019）必修第一册突围者第五章全章综合检测【答案】10【分析】将原函数的零点转化为方程或的根，再作出函数y=f(x)的图象，借助图象即可判断作答．【解析】函数的零点即方程的根，亦即或的根，画出函数y=f(x)的图象和直线，如图所示，观察图象得函数y=f(x)的图象与x轴，直线各有5个交点，则方程有5个根，方程也有5个根，所以函数的零点有10个．故答案为1010．已知是定义在上的奇函数，当时，，若方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为____________．【试题来源】安徽师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期期中【答案】【分析】令，对实数的取值进行分类讨论，确定方程的根及范围，进而可得出方程的根的个数，综合可得出实数的取值范围．【解析】因为函数为上的奇函数，则，且当时，，令，作出函数以及函数的图象如下图所示：当时，，即，由图可知，，解得．①当时，设方程的解为，则，由图可知，方程只有解，不合乎题意；②当时，方程的解为，，由图可知，方程有三解，方程有一解，不合乎题意；③当时，方程有三解，分别为、、，且，，，方程有三解，方程有三解，方程只有一解，此时，方程有个不同的解，合乎题意；④当时，方程的三解分别为，，，方程有两解，方程有三解，方程有两解，此时，方程有个不同的解，合乎题意；同理可知，当时，方程有个不同的解，合乎题意；当时，方程有个不同的解，不合乎题意；当时，方程只有解，不合乎题意．综上所述，实数的取值范围是．故答案为．11．已知函数，如果关于的方程有两个不同的实根，那么实数的取值范围是____________．【试题来源】北京五十中分校2020届高三上学期期中【答案】【分析】作函数与的图象，从而利用数形结合求解．【解析】作函数与的图象如图，因为，所以结合图象可知，；故答案为．12．若函数有且仅有1个零点，则实数a的取值范围____________．【试题来源】陕西省西安中学2021-2022学年高一上学期期中【答案】【分析】把函数，的图象画在同一直角坐标系中，直线在平移过程中，可得到函数与轴的不同交点个数，从而即可求解．【解析】把函数，的图象画在同一直角坐标系中，如图所示：直线在平移过程中，可得到函数图象与轴的不同交点个数，当时，函数与轴有且只有一个交点，所以实数的取值范围是，故答案为．13．某一处的声强级，是指该处的声强度I（单位：）与基准值的比值的常用对数，其单位为贝尔（B）．实际生活中一般用1贝尔的十分之一，即分贝（dB）来作为声强级的单位．公式为声强级．如果某工厂安静环境中一台机器（声源）单独运转时，发出的噪声声强级为80分贝，那么两台相同的机器一同运转时（声强度为原来的2倍），发出的噪声声强级为____________分贝．（精确到0.1分贝）【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第四章章测试【答案】83.0【分析】根据一台机器发出的噪声声强级求出I，进而求出两台机器发出的噪声声强级．【解析】根据题意，，则两台相同的机器一同运转时，发出的噪声声强级为（分贝）故答案为83.0．14．若函数有且仅有个零点，则实数____________．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第五章章测试【答案】或【分析】令，作出函数的图象，由题意可知，直线与函数的图象有个交点，数形结合可得出实数的值．【解析】令，因为函数有且仅有个零点，所以函数与函数的图象共有个公共点，当时，即当或时，，当时，即当时，，作出函数与函数的图象如下图所示，由图可知，当或时，函数与函数的图象共有个公共点，即有且仅有个零点．故答案为或．15．已知函数，若关于x的方程f（x）=a有四个不同的解，且，则的取值范围是____________．【试题来源】四川省德阳市第五中学2021-2022学年高一年上学期第二次月考【答案】(-3，3]【分析】作出函数的图象，由图可知；，进而化简，利用函数的单调性求出它的取值范围即可．【解析】作出函数的图象，由图可知，，当时，或，则，所以，令，则函数在上为增函数，所以，即的取值范围为．故答案为四、解答题1．求下列函数的零点：（1）；（2）；（3）．【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第五章5．3函数的应用【答案】（1）零点为和3（2）零点为、和（3）零点为1和2【分析】（1）根据题意，直接解方程，即可求解；（2）根据题意，直接解方程，即可求解；（3）根据题意，直接解方程，即可求解．【解析】（1）令，解得或3．因此，所求零点为和3．（2）令，则有，解得或或．因此，所求零点为、和．（3）令，则，即，解得或2．因此，所求零点为1和2．2．已知函数，其中．（1）当时，求函数的零点；（2）当时，解关于x的不等式；（3）如果对任意实数x恒成立，证明：．【试题来源】北京市第四中学2021-2022学年高一上学期期中数学测试题【答案】（1）1和-4（2）具体见解析（3）具体见解析【分析】（1）解出对应方程的根即可得到答案；（2）先因式分解，进而讨论a的范围，最后得到答案；（3）将不等式化简，进而通过判别式法求得答案．【解析】（1）由题意，，令或，即函数的零点为1和-4．（2）由题意，，若，不等式的解集为；若，不等式的解集为；若，不等式的解集为．（3）由题意，对任意实数x恒成立，则恒成立，故．3．函数仅有一个负零点，求实数m的取值范围．【试题来源】辽宁省渤海大学附属高级中学2021-2022学年高一上学期期中【答案】或【分析】先讨论的情况，再讨论分三种情况讨论分析得解．【解析】（1）若，则，有一负零点，满足题意；（2）若，且仅有一个零点，由，此时，仅有一个负零点满足题意；（3）当图象过原点