数学-广东省九校2025届高三上学期9月联合教学质量检测数学试卷（原卷版）

2024—2025学年上学期9月联合教学质量检测高三数学本试卷4页满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.2.已知平面向量满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.3.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为180（转/分），小轮的半径为10cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是（）cm.A. B. C. D.4.为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（）种.A. B. C. D.5.已知数列满足，且，则的通项公式为（）A. B. C. D.6.如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（）A. B.C. D.7.已知是数列的前项和，若，数列的首项，，则（）A. B.C D.8.已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（）A.复数为纯虚数 B.复数对应点位于第二象限C.复数共轭复数为 D.复数的模长为110.已知，为正实数，且，，，则（）A.的最大值为4 B.的最小值为C.的最小值为2 D.的最小值为11.已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（）A.的斜率为B.是锐角三角形C.四边形的面积是D.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知数列的首项为，，则数列的前2024项和为________________.13.已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦AB的中点为，则直线l的方程为________．14.一段路上有100个路灯一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，对每个，当第名行人经过时，他将所有下标为的倍数的路灯的开关状态改变.问当第100名行人经过后，有______个路灯处于开着的状态.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，，求的周长.16.足球比赛积分规则为：球队胜一场积分，平一场积分，负一场积分．常州龙城足球队年月将迎来主场与队和客场与队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立．（1）求常州龙城队月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分概率；（2）用表示常州龙城队月与队和队比赛获得积分之和，求的分布列与期望．17.如图，平面，，点分别为中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值；（3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离.18.已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为．（1）求的