621-622向量的减法运算向量的加法运算-2021-2022学年高一数学《考点题型技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019）

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)6.2平面向量的运算6.2.16.2.2向量的减法运算向量的加法运算【考点梳理】考点一向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2.向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线eq\o(OC,\s\up6(→))就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则考点二向量加法的运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别联系三角形法则(1)首尾相接(2)适用于任何向量求和三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半考点三：相反向量1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.2.性质(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.考点四：向量的减法1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→))，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【题型归纳】题型一：向量加法法则1．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知向量，，不共线，作向量++．2．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知向量，不共线，求作向量．3．（2021·全国·高一课时练习）如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：（1）；（2）（3）．题型二：向量加法的运算律4．（2021·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期中）向量化简后等于（）A． B． C． D．5．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则等于（）A． B．C． D．6．（2021·广东·茂名市华英学校高一阶段练习）向量化简后等于（）A． B． C． D．题型三：向量加法法则的几何应用7．（2021·全国·高一课时练习）如图，D，E，F分别为的边AB，BC，CA的中点，则（）A． B．C． D．8．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正六边形中，等于（）A． B． C． D．9．（2021·江西省修水县英才高级中学高一阶段练习）如图，在平行四边形中，是的中点，设，，则向量（）.A． B． C． D．题型四：相反向量10．（2021·辽宁·建平县实验中学高一期末）如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（）A．与 B．与 C．与 D．与11．（2021·山西临汾·高一阶段练习）在任意四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，设，下列式子正确的是（）A． B． C． D．12．（2021·全国·高一单元测试）若是的负向量，则下列说法中错误的是（）A．与的长度必相等B．C．与一定不相等D．是的负向量题型五：向量减法法则13．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知向量，，，求作向量．14．（2021·全国·高一课时练习）如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：．15．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．题型六：向量减法的运算律16．（2021·全国·高一课时练习）下列运算正确的个数是（）①；②；③．A．0 B．1 C．2 D．317．（2021·北京市第一六六中学高一期中）在中，，若，,则（）A． B． C． D．18．（2021·浙江·金乡卫城中学高一阶段练习）在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（）A． B． C． D．题型七：向量减法法则的几何应用19．（2021·全国·高一课时练习）已知非零向量与方向相反，则下列等式中成立的是（）A． B．C． D．20．（2021·全国·高一单元测试）已知正方形的边长为1，，，，则等于（）A．0 B．1 C． D．221．（2021·全国·高一课时练习）如图，向量，，，则向量可以表示为（）A． B． C． D．【双基达标】一：单选题22．（2021·全国·高一课时练习）化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．423．（2021·全国·高一课时练习）已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（）A． B．C． D．24．（2021·全国·高一课时练习）若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（）．A． B． C． D．25．（2021·全国·高一课时练习）已知点O是的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（）．A． B．C． D．26．（2021·全国·高一课时练习）下列四式不能化简为的是（）A．B．C．D．27．（2021·全国·高一课时练习）已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中，则=（）A． B． C． D．28．（2021·全国·高一课前预习）下列等式中，正确的个数为（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．3 B．4 C．5 D．629．（2021·重庆实验外国语学校高一阶段练习）如右图，，，分别是的边，，的中点，则（）A． B．C． D．30．（2021·山东济南·高一期末）在中，若点满足，则（）A． B．C． D．31．（2021·山东滨州·高一期末）在中，，，则（）A． B．C． D．【高分突破】一：单选题32．（2021·全国·高一课时练习）设，是任一非零向量，则在下列结论中:①；②；③；④；⑤.正确结论的序号是（）A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤33．（2021·山东枣庄·高一期中）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心34．（2021·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是（）A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同B．在中，必有C．若，则A，B，C为一个三角形的三个顶点D．若，均为非零向量，则与一定相等35．（2021·福建·莆田第二十五中学高一期中）如图，已知，，，，则下列等式中成立的是（）A． B．C． D．36．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高一期中）在平行四边形中，，设，，则向量（）A． B． C． D．37．（2021·湖南·高一阶段练习）在中，点，在边上，且，为边上的三等分点（其中为靠近点的三等分点），且，则（）A．， B．，C．， D．，38．（2021·全国·高一课时练习）（多选）下列结论中错误的是（）A．两个向量的和仍是一个向量B．向量与的和是以的始点为始点，以的终点为终点的向量C．D．向量与都是单位向量，则39．（2021·广东·江门市新会第二中学高一阶段练习）下列各式结果为零向量的有（）A． B．C． D．40．（2021·广东·南方科技大学附属中学高一期中）已知点，，分别是的边的中点，则下列等式中正确的是（）A． B．C． D．41．（2021·江苏·南京二十七中高一期中）已知，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．42．（2021·广东·洛城中学高一阶段练习）化简以下各式，结果为的有（）A． B．C． D．43．（2021·福建·永安市第三中学高中校高一阶段练习）下列命题中,正确的命题为（）A．对于向量，若，则或B．若为单位向量，且//，则C．若与共线，与共线，则与共线D．四边形中，二：填空题44．（2021·全国·高一课时练习）已知平面内三个不同的点、、，则“、、是一个三角形的三个顶点”是“”的___________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”）45．（2021·全国·高一课时练习）已知下列各式：①；②；③；④.其中结果为的是____.(填序号)46．（2021·全国·高一课时练习）在中，D是BC的中点．若，，，，则下列结论中成立的是________．（填序号）①；（2）；③；④．47．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正六边形中，与相等的向量有__.

①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.三：解答题48．（2021·全国·高一课时练习）化简．（1）．（2）．49．（2021·上海·高一课时练习）向量如图所示，据图解答下列问题：（1）用表示；（2）用表示；（3）用表示；（4）用表示.50．（2021·全国·高一课时练习）化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.51．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，又，，试用、表示、、.【答案详解】【详解】由向量加法的三角形法则，++如图，2．作图见解析，【分析】利用向量的加法法则求解.【详解】如图，在平面内任取一点O，作，．因为，即，所以．3．（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析【分析】利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则进行求解﹒（1）因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以．（2）因为与方向相同且长度相等，所以与是相同的向量，从而与方向相同，长度为长度的2倍，因此，可用表示，即．（3）因为与是一对相反向量，所以．4．A【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】由,故选：A5．B【分析】利用向量加法的三角形法则以及向量加法的交换律即可求解.【详解】.故选：B6．D【分析】根据向量的加法运算即可得到结果.【详解】故选：D7．A【分析】根据平面向量的线性运算法则计算可得；【详解】解：，，分别是的边，，的中点，，，，则，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D错误；故选：A．8．A【分析】根据相等向量和向量加法运算直接计算即可.【详解】，.故选：A.9．B【分析】根据平行四边形的性质，利用向量加法的几何意义有，即可得到与、的线性关系.【详解】由题设，，则，又，∴.故选：B10．B【分析】首先根据题意得到四边形是平行四边形，从而得到与为相反向量.【详解】因为，所以四边形是平行四边形，所以，互相平分，所以，即与为相反向量.故选：B11．B【分析】根据题意，由向量的加法可得：和，两个式子相加，化简即可得到答案.【详解】在任意四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，设，则,同时有，则有,因为E、F分别为AD,BC的中点，则则有.故选:B.12．C【分析】根据向量的定义判断．【详解】是的负向量，即，因此它们的长度相等，方向相反，即共线（平行），也是的负向量，但与一般不相等（只有它们为零向量时相等）．错误的C．故选：C．13．见解析【分析】利用向量减法的三角形法则即可求解.【详解】由向量减法的三角形法则，令,则,令,所以.如下图中即为.14．证明见解析【分析】利用向量的加法法则和向量相等求解.【详解】证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以．因为，，所以，即．15．（1）（2）（3）（4）（5）【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果.（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.16．C【分析】利用平面向量的加法，减法，数乘运算及其运算律判断.【详解】①，由数乘运算知正确；②，由向量的运算律知正确；③，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.故选：C17．C【分析】根据平面向量的线性运算法则，用，,表示出即可.【详解】.故选：C18．B【分析】根据题意作出图形，将用、的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果.【详解】解：由题意作出图形：在平行四边形中，M为BC的中点，则又N为线段AB上靠近A的三等分点，则故选：B19．C【分析】根据方向相反的两个向量的和或差的运算逐一判断.【详解】A.可能等于零，大于零，小于零，，A不成立B.，，B不成立C.，C成立D.，D不成立.故选：C.20．A【分析】根据向量的线性运算即可求出．【详解】因为，，，所以．故选：A．21．D【分析】根据平面向量的加减法法则结合图形即可得到答案.【详解】如图，.故选：D.22．B【分析】根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案.【详解】对于①：，对于②：，对于③：，对于④：，所以结果为的个数是，故选：B23．C【分析】结合向量的加法法则运算即可.【详解】＝＋＋＝＝＝2．故选：C24．C【分析】根据相反向量的定义逐项判断即可．【详解】解：由平行向量的定义可知项正确；因为和的方向相反，所以，故项正确；由相反向量的定义可知，故选项正确；由相反向量的定义知，故项错误；故选：C．25．B【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：，故D错误；故选：B26．D【分析】由向量加减法法则计算各选项，即可得结论．【详解】A项中，；B项中，；C项中，；D项中，.故选：D.27．D【分析】由图形可得，从而可得正确的选项.【详解】，故选：D.28．C【分析】利用向量加减法的运算性质，转化各项表达式即可知正误.【详解】由向量加减法的运算性质知：①；②；③；④；⑤，正确；⑥，错误.故选：C29．A【分析】根据向量加法和减法的运算法则结合图像逐一运算即可得出答案.【详解】解：，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D错误.故选：A.30．A【分析】利用向量加减法公式，化简已知条件，即可判断结果.【详解】由条件可知，得.故选：A31．B【分析】利用向量加法和减法计算即可求解.【详解】，故选：B.32．D【分析】根据向量线性运算可确定为零向量，由此可判断得到结果.【详解】，又是任一非零向量，，，，①③⑤正确.故选：D.33．D【分析】由题易得，以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD，交AB于点O，进而可得，进而可得，所以CG所在的直线CO是AB边上的中线，同理可证AG所在的直线是BC边上的中线，BG所在的直线是AC边上的中线，最后得出答案即可.【详解】因为，所以，以GA､GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD，交AB于点O，如图所示：则，所以，点O是AB边的中点，所以CG所在的直线CO是AB边上的中线，同理可证AG所在的直线是BC边上的中线，BG所在的直线是AC边上的中线，所以G点是三角形ABC的重心.故选：D.34．B【分析】根据向量的线性运算法则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A：当与为相反向量时，，方向任意，故A错误；对于B：在中，，故B正确；对于C：当A、B、C三点共线时，满足，但不能构成三角形，故C错误；对于D：若，均为非零向量，则，当且仅当与同向时等号成立，故D错误.故选：B35．C【分析】结合图形，利用向量加，减法，计算向量.【详解】，，得，即.故选：C36．A【分析】利用向量的加、减法法则计算即可.【详解】解：.故选：A.37．B【分析】利用向量的加法、减法线性运算即可求解.【详解】，所以，.故选：38．BD【分析】根据向量的相关概念，对选项逐一判断即可.【详解】两个向量的和差运算结果都是是一个向量，所以A正确；两个向量的加法遵循三角形法则，只有当首尾相连时才成立，故B错误；任何向量与相加都得其本身，故C正确；两个单位向量的方向没有确定，当它们方向相同时才成立，故D错误；故选：BD39．ACD【分析】根据平面向量的线性运算逐个求解即可【详解】对A，，故A正确；对B，，故B错误；对C，，故C正确；对D，，故D正确；故选：ACD【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题40．ABC【分析】根据向量线性运算确定正确选项.【详解】对于A选项，，正确；对于B选项，，正确；对于C选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，正确；对于D选项，，所以D错误.故选：ABC41．BCD【分析】根据向量的线性运算，逐项变形移项即可得解.【详解】根据复数的线性运算，对A，化简为，错误；对B，即，即，正确；对C，对移项可得，正确；对D，由，移项即，正确；故选：BCD42．ABCD【分析】根据向量的加减运算法则分别判断.【详解】，，，.所以选项全正确.故选：ABCD43．