人教版高中数学选修2-1《圆锥曲线起始课》教学设计(特级教师一等奖)

人教版高中数学选修2-1《圆锥曲线起始课》教学设计(特级教师一等奖)“圆锥曲线起始课”教学设计一．【教学内容解析】1．圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，也可以说是核心内容．它是继研究了以直线和圆为代表的简单图形之后，用平面几何的方法无法研究的较为复杂的图形．圆锥曲线能充分体现解析几何研究方法．2．圆锥曲线是体现数形结合思想的重要载体．圆锥曲线的研究不是采用逻辑推理的形式，而是运用代数的方法．即以代数为工具解决几何问题，用代数的语言来描述几何图形，把几何问题转化为代数问题，实施代数运算，求解代数问题，再将代数解转化为几何结论，这一过程体现了从形到数的数形结合的思想．3．圆锥曲线是二次曲线非常重要的数学模型，同时它的几何性质在日常生活，社会生产以及其他科学中都有着重要而广泛的应用，宇宙天地的运动，光学仪器，建筑学等等．因此圆锥曲线的研究对学生进一步理解数学模型的意义，树立观念都非常有价值．本节课的内容是选自XXX《高中数学选修2-1》第三章知识的引言部分，属于策略性和介绍性为主的起始课．二．【教学目标设置】1．知识与技能目标本节课的主线为圆锥曲线的发展史，从中参插各种情景．通过用平面对圆锥面的不同的截法，产生三种不同的圆锥曲线，经历概念的形成过程，从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系，通过具体情境，从中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，理解它们的定义（主要是椭圆）．2．过程与方法目标初步了圆锥曲线研究的内容；通过动手试验、互相讨论等环节，使学生形成自主研究以及相互协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助实物模型，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的研究方式，完善思维结构，体会解析几何的研究方法．3．情感、态度与价值观目标通过以圆锥曲线的发展史为主线，设立多种情景引入方式，让学生激发研究圆锥曲线的兴趣，能够自主研究、自我探索，形成注重实践、热爱科学、勇于创新的情感、态度与价值观．4．重难点重点：圆锥曲线的发展史及定义，椭圆的定义．难点：用Dandelin双球发现椭圆的定义，通过椭圆的定义类比双曲线定义．三．【学生学情阐发】1．这节课的授课工具是高中二年级的学生，他们有较好的研究惯，有一定的口头和书面表达的能力．在知识层面上，高一阶段已研究了立体几何空间旋转体中的圆锥，学生具有一定的空间想象能力，学生还研究相识析几何中的直线和圆，具有一定的用解析方法处理题目的能力．在方法的层面，学生在高1、高二年级的研究中基本把握了数形结合的脑筋与类比与转化脑筋．2．学生在研究过程中,也可能会遇到诸多艰巨：从空间的圆锥截出平面图形的转化题目，特别是通过Dandelin双球发觉椭圆的定义；还有理解椭圆，双曲线定义时点的轨迹及静态题目．四．【讲授策略阐发】1．整个课堂的主线是圆锥曲线的发展史，使学生产生兴趣，并以润物细无声的方法安排各种情景，让学生很自然进入研究圆锥曲线的研究，为后面采用解析的方法研究埋下了伏笔．2．由于是起始课，因此多采取直观的演示幻灯片、动画、实验和使用实物模型，直观感知、操1作确认，避免过分抽象.思争吵证、度量计算等手腕在后续课程中再接纳．3．在处理椭圆定义的环节，创造条件让学生亲自动手画出椭圆，并安排了一系列情节引导学生在操作过程中注意细节，鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论，鼓励学生表达自己的见解．4．从多种具体情形出发，引导学生归纳出一般规律，培养学生的归纳总结能力．采用模型和软件，使学生的想法能够即时得到实现，所想即所见，快速形成正确认知，提高教学实效性．五．【教学过程】环节1．课题引入教学过程和师生活动通过生活中的一系列图片让学生在认知的曲线．意图，理念与备注1．从实践生活出发，直观感知各种圆锥曲线的存在，使学生在脑筋中产生各类曲线的开端印象，为下一步的数学抽象做准备．2．特别是“愤怒的小鸟”这个抛物线段片让学生马上产生兴趣，积极参与发现与探索，加深直观印象．师生活动：让学生踊跃讲话．2．复和准备1.温圆锥的形成2.由圆锥的形成过程引入圆锥面注：这里还要提出圆锥的轴截面是等腰三角形,并引入顶角的一半,为后面轴截面和旋转轴所成的角的大小截出分歧的曲线留下知识.师生活动：教师引导学生回忆知识，尽量让学生口述其过程。介绍圆锥曲线的发展史1．最初发现PPT播放结合教师的介绍：1.对以前知识回顾，教师引导，学生回顾。2.留意新旧知识的联系与发展，注重知识的系统性，使学生带着为什么要温这个知识的疑问走入课堂。3．新课传授本课以圆锥曲线的发展史为主线，在其中创设各种情景，引导学生进入圆锥曲线的研究1．由第一个环节“最初发现”中的古老问题的提2出来介绍圆锥曲线的发圆锥曲线的开展史：现，即增加了学生的兴趣1．最后发觉和探究欲望，又能让学生早在公元前5世纪-公元前4世纪，古希腊巧辩学派的数感受到数学发展过程中学家提出了“化圆为方”、“立方倍积”和“三等分任意的魅力．角”三大不可能尺规作图问题.化圆为方问题——作一个正方形使其具有给定圆的面积．立方倍积题目——作一个立方体使其具有给定立方体两倍体积．三等分任意角题目——把一个给定的角分为三个相等的角．XXX（公元前330-XXX（1777年-1855年，德国数学家，物理学家）元前275，古希腊数学家）教师附加介绍：这些问题在两千多年的时间里，有多数学大师研究过，比如早到XXX里得，晚到XXX．直至19世纪，这三个作图问题才被最终证实为不可能只用圆规和直尺作出．不知什么缘故，数学的美不在乎它的答案而在于它的方法，“不可解”似乎像是一个令人失望的答案，然而得到这一结论的思维过程却是极具魅力的，人们屡遭失败之后，一方面是从反面怀疑它是不是可作；另一方面就很自然地考虑跳出尺规作图的框框，而是借助于另外一些曲线，是不是可解决这些题目呢？我们本日研究的圆锥曲线，就是从这里开始被发觉的。2．引出圆锥曲线的“雏形”为了让学生明白探知圆锥曲线的开展史：的过程，进一步激发学生1．最初发现的好奇和兴趣．为下一步公元前4世纪古希腊数学家XXX在在研究“立方倍积”问题，用平面截不同的圆锥，发的“圆锥曲线”的定义现了圆锥曲线.做好铺垫．XXX（公元前当时，希腊人对平面曲线还缺乏认识，375-公元前325，古上述三种曲线须以“圆锥曲面为媒介得希腊数学家）3.总结古希腊对圆锥曲到，这就是圆锥曲线的“雏形”.线的认识,说出不足,为教师附加介绍：不同的圆锥是轴截面顶角分别为直角，锐角和钝角，学生以后用解析的方法但都是拿和母线垂直的平面截圆锥，从而形成不同的曲线，这就是进一步研究圆锥曲线的圆锥曲线的“雏形”．理由顺理成章.2．奠基工作3圆锥曲线的发展史：2．奠基工作XXX的著作《圆锥曲线论》与XXX里得的《几何原本》同被誉为古希腊几XXX造极之作，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.总而言之，在古希腊对圆锥曲线的研究就有一个十分清楚的轮廓，只是由于没有坐标系统，所以在表达形式上存在着不容忽视的缺陷.XXX（约公元前262～190年，古希腊数学家，与XXX里得、阿XXX齐名.）4．创设情景,突破概念(一)1.实验:利用手机中的闪光灯,绕线筒和纸板,把光线投影到纸板,观察影子的变化师生活动:让学生参与,看到征象,探究原因.这里学生很容易认识到这个模子,把圆和椭圆说出,但是对于抛物线和双曲线的形成和位置的鉴别不太清楚.这没有关系,等下还有定性分析.2.探讨题目1：用过顶点的平面截圆锥面，可能得到哪些曲线？师生活动:学生很容易回答“点”,容易忽视“两条相交直线”题目2：用不过顶点的平面截圆锥面，可能得到哪些曲线？师生活动:学生也很容易回答出“圆”思考：当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，还能得到哪些不同的截线？师生活动:通过学生上台来控制动画,直观认识不同平面截圆锥得出的曲线41.学生对手机和绕线筒非常熟悉,这个尝试立时能引发学生留意,也定会感叹设计的巧妙和数学的无处不在.2.利用身边的实物来做个尝试,揭露三种曲线的形成,但对抛物线和双曲线的显示缺乏,这为我们下面的定性分析做了铺垫3.从特殊位置考虑，造就学生分类讨论的思想，提高数学的严密性.4.学生先有直观感受，让学生动手尝试，通过自主探究活动，让学生参与到讲授活动的全过程中来，体现学生参与的主体地位，使学生手，脑，口并用，主动地获取知识，培养学生自主探究研究的能力3.定性的分析总结:圆锥曲线的定义探讨用一个不过圆锥面顶点的平面去截一个圆锥面，当平面与圆锥面的所成角与轴截面顶角的半角大小关系不同时，截线的不同情况如下：<<2=5.重点的突破在这里显得很自然,但是对于学生理解上还是有一定难度,教师要注意好这个环节.（1）椭圆（2）双曲线（3）抛物线师生互动：这里对学生而言理解会有一定的艰巨,教师的讲授要清晰,细致,不要着急.5．创设情景,突破概念(二)1.回到圆锥曲线的发展史,阐述XXX对椭圆的研究发现1.利用史料和传说小故事,引出椭圆的画法,能提高学生研究的兴趣和积极性,又能普及数学史培养正确的价值观.2.在处理画椭圆的环节，创造条件让学生亲自动手画出椭圆，并安排了一系列情节引导学生在操作过程中注意细节，鼓励学生通过动手尝试、独立思考、彼此会商等手腕得出结论，勉励学生表达本人的见解．3.有意安排画出不同的椭圆为随后的椭圆的性质研究累计素材.还安排椭圆、双曲线及抛物线统称为圆锥曲线.圆锥曲线的发展史：椭圆:椭圆上任意一点M有|MF1|XXX（约公元前262～190年，古希腊数学家，与XXX里得、阿XXX齐名.）|MF2|常数，（F1,F2为定点，后人称为焦点，常数|F1F2|）2.联系中国古代的事物和数学家的介绍,用一个XXX传授椭圆画法的传说故事和自述的“木工师傅做椭圆镜框”一小故事来引出椭圆的画法.圆锥曲线的发展史：椭圆:XXX（约公元225—295,魏晋时代巨大的数学家，他的杰作《九章算术》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产.）3.画椭圆学生分组利用纸板,钉子和绳子来动手自己画椭圆.引导学生在画的过程中要注意的细节,如绳子要绷直,两个钉子要5稳定等细节.安排其中一个组领到的纸板上两个钉子的绳子已经是绷直的.在教师展示其他组画的不同形状的椭圆时,这个组的成员会提出问题:老师,我们组的画不出椭圆,而是画出了一条线段.借此教师那那组的纸板加以申明,当绳子的长度和两个定点距离相等时,画出的只是一条线段,继续提问,当绳子的长度小于两个定点的距离呢?学生立时反应过来,这时应该画不出任何图形.4.总结:椭圆的定义:一般地，平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.一种特殊情况让学生自己发觉并提出题目,加深学生的印象,培养学生思维的周密性.4.学会有数学语言来描述定义.XXX用数学表达式体现:MF1MF22a(2aF1XXX2)对为何用2a的表示常数,我们后面会知道它的感化(为求标准方程打下基础)5.论证:论证在圆锥截出的椭圆就是我们画出来的椭圆5.这个环节对学生而言在圆锥曲线的众多研讨者中，19世纪的法国数学家Dandelin是非有一定难度,对空间立体常著名的一位.19世纪初，法国数学家几何的认知要求颇高,是Dandelin利用与圆锥面和截面均相切的本节课的一个难点.两个球（Dandelin双球），给出了研究椭圆定义的一种巧妙的方法.6.这个环节能让学生体XXX在截面的两侧分别放置一个球，会到从空间事物抽象到使它们都与截面相切（切点分别为F1，平面的一个过程,有利于F2），且与圆锥面相切，两球与圆锥面的培养学生的转化能力.公共点划分构成圆O1和圆O2.设点M是平面与圆锥面的截线上任一点，过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P，Q两点.问题1:图中所示线段之间的长度有什么关系？学生:因为过球外一点所作球的切线的长相等，所以MF1=MP，MF2=MQ，故MF1+MF2=MP+MQ=PQ题目2:PQ长有甚么特性.（学生思考，教师展示M点在截线上活动时的动画.）学生:PQ是常数.总结:截线上任意一点到两个定点F1，F2的距离的和等于常数.就是我们刚刚画的椭圆的定义.小试牛刀，熟悉定义例.已知∆ABC中，B（-3，），C（3，），且AB，BC，AC成等差数列.试问：点A在一个甚么样的圆锥曲线上活动？申明理由教师巡视学生作答情况，并要学生作答，注意答题细节66.类比研究思考:当平面上的点M满意MF1MF2常数（F1，F2为平面上的两个定点）时，M将是甚么样的轨迹呢？引入拉链和双曲线连续以动画为载体,演示拉拉链这个尝试,在这个过程让学生发觉题目,并加以总结.引导学生从实验抽象出数学性质8.这里安排利用拉链实验类比推理出双曲线的定义,不但加深了椭圆定义的理解和记忆,也为以后由椭圆类比研究其他曲线埋下伏笔和打下基础.9.再次利用动态事物帮助学生理解轨迹的形成.10.注意双曲线的两支.培养学生的研究能力，让他们学会归纳，学会学。7.由学生类比总结出双曲线定义:普通地，平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2的正数）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.用数学表达式体现:|MF1MF2|2a(2aF1XXX2)提示学生同样要注意这个定义成立的条件6．回归数学史圆锥曲线的发展史：PPT展示结合教师的讲评3．长期停滞又经过了500年，到了3世纪，希腊数学家XXX在他的著作《汇篇》中，才完善了关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定理进行了证明。这时，圆锥曲线的定义和性质才比较完整地建立起来了.在这之后的13个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究几乎没有什么进展.4．有所突破有两件事促使人们对圆锥曲线的进一步研讨71．感受数学发展的漫长和艰辛．圆锥曲线的开展史：4．有所突破德国数学家XXX继承了XXX的日心说，揭露出行星按椭圆轨道绕太阳运行，是圆锥曲线摆脱圆锥而成为自然界中物体运动的普遍形式.XXX(1571-1630,德国天文学家、数学家)圆锥曲线的发展史：4．有所突破XXX得出斜抛运动的轨道是抛物线，突破了静态圆锥曲线的观念.人们开始感到古希腊人的证明方法太缺乏普通性，几乎每个定理都是要想出一个特殊的证明方法.于是，对圆锥曲线的处理方法开始有了变革.XXX（1564-1642,意大利数学家、物理学家、天文学家）5．别开生面圆锥曲线的发展史：5．别开生面解析几何的创建，使人们对圆锥曲线的研究方法不同于以前，而是朝着解析方法的偏向开展.即建立坐标系，得出圆锥曲线的方程，再利用方程研究圆锥曲线的性质，以摆脱几何直观而达到抽象化的目标，也可以求得对圆锥曲线研究的高度概括与统一.在这方面，XXX等解析几何的鼻祖作出了巨大的贡献.XXX（1596-1650，法国数学家、物理学家