2024-2025学年甘肃省高二上学期期中考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年甘肃省高二上学期期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．已知，，，则（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．13．过点，且法向量为的直线方程为（

）A． B．C． D．4．2020年1月，教有部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲､乙､两人通过强基计划的概率分别为，，那么甲､乙两人中恰有1人通过的概率为（

）A． B． C． D．5．若直线与平行，则与间的距离为（

）A． B．C． D．6．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至､大暑､处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则秋分的晷长为（

）A．4.5尺 B．5.5尺 C．6.5尺 D．7.5尺7．已知等比数列满足：，则的值为（

）A．20 B．10 C．5 D．8．设直线与直线的交点为,则到直线的距离最大值为A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．今年”国庆"假期期间，各大商业综合体､超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，且两人能否中奖相互独立，则（

）A．小王和小张都中奖的概率为0.1B．小王和小张都没有中奖的概率为0.48C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44D．小王和小张中至少有一个人中奖的概率为0.5210．下列说法正确的是（

）A．是直线的一个方向向量；B．经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线方程为；C．点关于直线的对称点为；D．已知两点，若直线过点且与线段有公共点，则的取值范围是11．已知数列的前项和为，且，则（

）A． B．C．数列为等差数列 D．为奇数时，三、填空题（本大题共3小题）12．已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，则.13．已知，直线和垂直，则的最小值为.14．已知数列满足，且，若表示不超过的最大整数（例如，记，则数列的前2024项和为.四、解答题（本大题共5小题）15．的三个顶点是，求：(1)边上的中线所在直线的方程；(2)边上的垂直平分线所在直线的方程.16．甲、乙、丙三人进行投球练习，每人投球一次．已知甲命中的概率是，甲、丙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是．若每人是否命中互不影响，(1)求乙、丙两人各自命中的概率；(2)求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率．17．设函数，数列满足，且.(1)求证：数列是等差数列；(2)令，若对一切成立，求最小正整数的值.18．已知直线：．（1）求经过的定点坐标；（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；②当取最小值时，求直线的方程．19．已知为数列的前项和，且，数列前项和为，且，.(1)求和的通项公式；(2)设，设数列的前项和为，求；(3)证明.

答案1．【正确答案】C【详解】由得：，设其倾斜角为，，所以斜率，故倾斜角为，故选：C2．【正确答案】B【分析】依题意根据计算可得；【详解】解：因为，，则，所以事件与事件不相互独立，．故选：B3．【正确答案】A【详解】由题意得，因为直线过点，所以将代入各选项可得，B，C选项直线不过，故排除B，C，对于选项A，取直线上两点，，可得直线的一个方向向量为，由于，所以，故是直线的法向量，故正确对于选项D，取直线上两点，，可得直线的一个法向量为，由于，与不垂直，所以不是直线的法向量，故错误.故选：A.4．【正确答案】A【详解】由题意，甲乙两人通过强基计划的事件是相互独立的，那么甲乙两人中恰有一人通过的概率为故选：A.5．【正确答案】B【分析】由两直线平行的判定有且求参数a，应用平行线距离公式求与间的距离.【详解】∵直线与平行，∴且，解得．∴直线与间的距离．故选：B．6．【正确答案】D【详解】设夏至，小暑，大暑，立秋，处暑，白露，秋分，寒露，霜降其晷长分别为，且an是等差数列，设其公差为，依题意有，解得，则.故选：D.7．【正确答案】D【详解】在等比数列中，由等比数列的性质可得.所以．故选：D8．【正确答案】A【分析】先求出的坐标，再求出直线所过的定点，则所求距离的最大值就是的长度.【详解】由可以得到，故，直线的方程可整理为：，故直线过定点，因为到直线的距离，当且仅当时等号成立，故，故选A.一般地，若直线和直线相交，那么动直线（）必过定点（该定点为的交点）.9．【正确答案】BCD【详解】记事件：顾客小王中奖，事件：顾客小张中奖，则小王、小张未中奖可记为；易知；由题意可知与相互独立，所以与，与，与均相互独立；所以小王和小张都中奖的概率为，即A错误；小王和小张都没有中奖的概率为，可得B正确；小王和小张中只有一个人中奖的概率为，即C正确；小王和小张中至少有一个人中奖的概率为，即D正确.故选：BCD10．【正确答案】ACD【详解】A选项，的斜率为，故直线的一个方向向量为，A正确；B选项，当直线的截距为0时，设直线方程为，将代入得，，故此时直线方程为，当直线的截距不为0时，设直线方程为，将点代入得，解得，故直线方程为，综上，直线方程为或，B错误；C选项，设点0,2关于直线的对称点坐标为，则，解得，故对称点为，C正确；D选项，画出图形如下：则，直线过点且与线段有公共点，则或，则的取值范围是，D正确.故选：ACD11．【正确答案】ABD【分析】利用并项求和法可判断AD选项；利用等差数列的定义可判断BC选项.【详解】对于A选项，，A对；对于B选项，因为，则，对任意的，由可得，上述两个等式作差可得，所以，数列中的奇数项成以为首项，公差为的等差数列，数列中的偶数项成以为首项，公差为的等差数列，当为奇数时，设，则，当为偶数时，设，则，综上所述，，B对；对于C选项，，故数列不是等差数列，C错；对于D选项，当为奇数时，设，则，则，D对.故选：ABD.12．【正确答案】0【详解】因为公差，且成等比数列，所以，即，解得，所以．故013．【正确答案】8.【详解】由题意得，因为直线和垂直，则，即，所以，因为，所以，，所以根据基本不等式，，所以，所以的最小值为8，当且仅当时等号成立，故答案为8.14．【正确答案】2025【详解】因为，所以，因为，所以，所以数列是以首项为4，公差为2的等差数列，故，由累加法可知当时，，所以，，又也符合该式，所以.所以，又时，，又时，，此时，所以的前2024项和为.故2025.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）点的中点，直线CD的斜率为，所以边上的中线所在直线的方程为，即；（2）点的中点坐标为，直线的斜率为，则边上的垂直平分线的斜率为，所以边上的垂直平分线所在直线的方程为，即.16．【正确答案】(1)乙、丙两人各自命中的概率分别为、(2)【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算求解；（2）分甲、乙、丙三人中2人命中和甲、乙、丙三人中都命中两种情况，结合独立事件的概率乘法公式运算求解.【详解】（1）记“甲投球命中”为事件A，“乙投球命中”为事件B，“丙投球命中”为事件C，则，解得，，解得，所以乙、丙两人各自命中的概率分别为、（2）甲、乙、丙三人中2人命中的概率，甲、乙、丙三人中都命中的概率，所以甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率.17．【正确答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）结合题意可知，两边取倒数可得：，即.所以数列是以首项，公差为的等差数列.（2）由上问可知数列是以首项，公差为的等差数列，所以，所以.所以.又，也满足上式，所以由可得：，所以，因为对一切成立，所以,解得.最小正整数的值为.18．【正确答案】（1）；（2）①的最小值为，；②.【分析】（1）整理已知方程，使得的系数等于即可求解；（2）①求出点，的坐标，利用表示的面积为，利用基本不等式求最值，由等号成立的条件可得的值，进而可得直线的方程；②设直线的倾斜角为，则，可得，，再利用三角函数的性质计算的最小值，以及此时的值，进而可得的值以及直线的方程.【详解】（1）由可得：，由可得，所以经过的定点坐标；（2）直线：，令可得；令，可得，所以，由可得：，①的面积，当且仅当即时等号成立，的最小值为，此时直线的方程为：即；②设直线的倾斜角为，则，可得，，所以，令，因为，可得，，，将两边平方可得：，所以，所以，因为在上单调递增，所以，所以，此时，可得，所以，所以直线的方程为.19．【