专题10平面向量（解析版） - 大数据之十年高考真题（2014-2025）与优 质模拟题（新高考卷与全国理科卷）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷）专题10平面向量1．【2024年甲卷理科第9题】设向量a=x+1,A．“x=−3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x=−C．“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x=−【答案】C【详解】对A，当a⊥b时，则所以x⋅(x+1)+2对C，当x=0时，a=1,0所以a⊥对B，当a//b时，则2(x+对D，当x=−1+3时，不满足2(故选：C.2．【2024年新高考2卷第3题】已知向量a,b满足a=1,a+2A．12 B．22 C．3【答案】B【详解】因为b−2a⊥b又因为a=所以1+从而b=故选：B.3．【2024年新高考1卷第3题】已知向量a=(0,1),b=(2,x)A．−2 B．−1 C．1【答案】D【详解】因为b⊥b−所以b2−4a⋅故选：D.4．【2023年新课标全国Ⅰ卷第3题】已知向量a=1,1,b=A．λ+μ=1 B．C．λμ=1 D．【答案】D【详解】因为a=1,1,b=由a+λb⊥即1+λ1+μ故选：D．5．【2023年高考全国乙卷理第12题】已知⨀O的半径为1，直线PA与⨀O相切于点A，直线PB与⨀O交于B，C两点，D为BC的中点，若PO=2，则PA⋅A．1+22C．1+2 【答案】A【详解】如图所示，OA=1,OP由勾股定理可得PA

当点A,D位于直线PO异侧时或PB为直径时，设则：PA=====0≤α<π∴当2α−π4=−π

当点A,D位于直线PO同侧时，设则：PA=====10≤α<π∴当2α+π4=π综上可得，PA⋅PD的最大值为故选：A.6．【2023年高考全国甲卷理第4题】已知向量a,b,c满足a=b=A．−45 B．−25 C．【答案】D【详解】因为a+b+即a2+b2+如图,设OA=由题知,OA=OB=1,AB边上的高OD=2所以CD=CO+OD=2tan∠ACD=cos=2故选:D.7．【2022年新课标全国Ⅰ卷第3题】在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，A．3m−2n B．−2m+3【答案】B【详解】因为点D在边AB上，BD=2DA，所以BD=所以CB=故选：B．8．【2022年新课标全国Ⅱ卷第4题】已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=A．−6 B．−5 C．5 D【答案】C【详解】解：c=3+t,4,cosa,c故选：C9．【2022年高考全国乙卷理第3题】已知向量a,b满足|a|=A．−2 B．−1 C．1【答案】C【详解】解：∵|a又∵|∴9=1∴a故选：C.10．【2020年新课标全国Ⅱ卷第3题】在△ABC中，D是AB边上的中点，则CB=（

）A．2CD+CA B．CD−2CA C【答案】C【详解】CB故选：C11．【2020年新课标全国Ⅰ卷第7题】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP⋅AB的取值范围是（A．(−2,6) C．(−2,4) 【答案】A【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(−结合向量数量积的定义式，可知AP⋅AB等于AB的模与AP在所以AP⋅AB的取值范围是故选：A.12．【2020年新课标Ⅲ卷理科第6题】已知向量a，b满足|a|=5，|bA．−3135 B．−1935 C．【答案】D【详解】∵a=5，b=6a+因此，cos<故选：D.13．【2019年新课标Ⅱ卷理科第3题】已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则AB⋅A．-3 B．-2C．2 D．3【答案】C【详解】由BC=AC−AB=(1,t−3)，14．【2019年新课标Ⅰ卷理科第7题】已知非零向量a，b满足a=2b，且（aA．π6 B．π3 C．2π3【答案】B【详解】因为(a−b)⊥b，所以(a−b)⋅b=15．【2018年新课标Ⅰ卷理科第6题】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EBA．34AB−C．34AB+【答案】A【详解】根据向量的运算法则，可得BE=12BA所以EB=16．【2018年新课标Ⅱ卷理科第4题】已知向量a,b满足a=1A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【详解】因为a所以选B.17．【2017年新课标Ⅲ卷理科第12题】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=λAB+μAD，则λ+A．3 B．22 C．5 D．2【答案】A【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设A0,1易得圆的半径r=25，即圆C的方程是AP=x,则x=2μy−1=−λ设z=x2−y+1，即x2所以圆心(2,0)到直线x2−y+1−z=0的距离d≤r所以z的最大值是3，即λ+μ的最大值是3，故选A.18．【2017年新课标Ⅱ卷理科第12题】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA⋅(PB+A．−2 B．−32 C．−【答案】B【详解】建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A(0,3)，B设P(x,y)，则PA则PA∴当x=0，y=32故选：B．19．【2016年新课标Ⅲ卷理科第3题】已知向量BA=(12,3A．30∘ B．45∘ C．60∘【答案】A【详解】由题意，得cos∠ABC=BA⋅20．【2016年新课标Ⅱ卷理科第3题】已知向量a=1,m，bA．−8 B．−6C．6 D．8【答案】D【详解】∵a=(1,m∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故选D．21．【2015年新课标Ⅰ理科第7题】设D为ΔABC所在平面内一点，若BCA．AD=−13C．AD=43【答案】A【详解】∵BC∴AC−AB=3(AD−AC)；∴AD=43AC−故选A.22．【2023年新课标全国Ⅱ卷第13题】已知向量a，b满足a−b=3，a【答案】3【详解】法一：因为a+b=则a2+2又因为a−b=则a2−2法二：设c=a−由题意可得：c+2b整理得：c2=b故答案为：3.23．【2022年高考全国甲卷理第13题】设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，b=【答案】11【详解】解：设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为13，即cos又a=1，b=所以2a故答案为：11．24．【2021年新课标全国Ⅱ卷第15题】已知向量a+b+c=0，a【答案】−【详解】由已知可得a+因此，a⋅故答案为：−925．【2021年高考全国乙卷理第14题】已知向量a=1,3,b=3,4【答案】3【详解】因为a−λb=31−3故答案为：3526．【2021年高考全国甲卷理第14题】已知向量a=3,1,b=1,0【答案】−10【详解】∵a∵a⊥c故答案为：−1027．【2020年新课标Ⅱ卷理科第13题】已知单位向量a→,b→的夹角为45°，ka→−b→【答案】2【详解】由题意可得：a→由向量垂直的充分必要条件可得：ka即：k×a→2故答案为：2228．【2020年新课标Ⅰ卷理科第14题】设a,b为单位向量，且|a+【答案】3【详解】因为a,b所以a解得：2所以a故答案为：329．【2019年新课标Ⅲ卷理科第13题】已知a,b为单位向量，且a⋅b=0，若c【答案】23【详解】因为c=2a所以a⋅|c|2所以cos<a,30．【2018年新课标Ⅲ卷理科第13题】已知向量a=1,2，b=2,−2，c【答案】1【详解】由题可得2∵c//∴4λ−故答案为131．【2017年新课标Ⅰ卷理科第13题】已知向量a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.【答案】2【详解】∵平面向量a与b的夹角为600∴a⋅∴a故答案为2332．【2016年新课标Ⅰ卷理科第13题】设向量a=m,1，b=1,2【答案】-2【详解】由题意得(33．【2015年新课标Ⅱ理科第13题】设向量a，b不平行，向量λa+b与a+【答案】1【详解】因为向量λa+b与a+2b平行，所以1．（2024·河北衡水·三模）已知e1,e2是单位向量，e1⋅eA．π6 B．π4 C．π3【答案】A【详解】e1+2e1+2e2⋅e则cosθ=e1+2故选：A．

2．（2024·广东汕头·三模）已知四边形ABCD是平行四边形，BE=2EC，DF=FCA．−12ABC．−13AB【答案】A【详解】在▱ABCD中，由BE=2EC得EF=故选：A

3．（2024·贵州六盘水·三模）已知点O为△ABC的重心，AC=λOA+μA．−3 B．−2 C．1【答案】A【详解】根据向量加法三角形运算法知AC=AB+F为BC中点，则BC=2BF=点O为△ABC的重心，则OF=代入（∗∗）得到，BC=代入（∗）得到，AC=结合AC=λOA+μOB，可得故选：A.

4．（2024·山西吕梁·三模）已知等边△ABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，若DF=A．12AB+C．12AB+【答案】B【详解】在△ABC中，取AC,则AC=因为点D,E分别为AB,所以EF=所以AF=故选：B.

5．（2024·江苏苏州·三模）已知|a−b|=|2a−bA．4 B．23 C．43【答案】B【详解】由题意可得|2a−b|=所以4a2因为a−b=2，所以所以a2−①−②可得3a2又2a−b则2a−b⋅a则a⋅b=32a2故选：B

6．（2024·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，点E满足2AE=3EB，在平面ABCD中，动点P满足A．41+4 B．41−6 C．【答案】A【详解】以O为坐标原点（O是BE中点），建立如图所示的直角坐标系，因为在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，2AE所以动点P在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设Pcos则A0,4DP⋅其中锐角φ满足tanφ=54，故DP故选：A.

7．（2024·重庆九龙坡·三模）已知|a|=2，b=1,2，A．π6 B．π3 C．2π3【答案】D【详解】由b=1,2由a+2b即a2+4所以cosa又0≤a,b≤故选：D.

8．（2024·江西新余·二模）已知a=3,23，b=−3,λ，若aA．-1 B．1 C．±1 D．【答案】A【详解】因为a=3,2所以a⋅a+a+因为a+又a+所以λ2解得λ=1或λ=−因为23+λ≠0解得−2所以λ=−1故选：A.

9．（2024·广东汕头·三模）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，O为坐标原点，动点P在C上，若定点A．C的准线方程为x=−2 B．△C．四边形OPMF可能是平行四边形 D．FM⋅OP【答案】BD【详解】对于选项A：因为抛物线C的焦点为Fp2,0又点M2,3满足MF=整理得3p2+8p−即抛物线C:所以准线方程为x=−1对于选项B：过点P作准线x=−1由抛物线的定义可知PH=则△PMF周长=PM当且仅当M、P、H三点共线时取等号，所以△PMF周长的最小值为5对于选项C：过点M作OF的平行线，交抛物线于点P，即y2=4xy=则MP=所以四边形OPMF不是平行四边形，故C错误；对于选项D：设Py24可得FM⋅当且仅当y=−2所以FM⋅OP的最小值为故选：BD

10．（2024·江西鹰潭·三模）已知向量a=sinθ,cosθ，bA．若a⊥bB．c在b方向上的投影向量为1C．存在θ，使得a在c−D．a−b【答案】ACD【详解】对于A，若a⊥b，则则θ+π3=kπk∈对于B，c在b方向上的投影向量为c⋅对于C，a在c−b方向上的投影向量的模为若|sinθ+2cosθ即5sinθ+φ=2，其中所以sinθ+φ所以存在θ，使得a在c−对于D，a−因为−1≤sinθ+π所以|1|≤故选：ACD.

11．（2024·广东江门·三模）定义两个非零平面向量的一种新运算a∗b=|a||b|⋅A．a在b上的投影向量为|B．(C．λD．若a∗b【答案】BD【详解】对于选项A，a在b上的投影向量为|a对于选项B，(a对于选项C，λ(显然λ<0时，λ对于选项D，由a∗b=0，所以|a故选：BD．12．（2024·浙江·模拟预测）已知向量a，b的夹角为π3，且a=1，bA．a−b⊥C．2a+b=2b 【答案】AB【详解】a⋅b=a+b22a+b又因为2b=4a在b上的投影向量为a⋅故选：AB．

13．（2024·江苏宿迁·三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若23ccos2A+C2A．B=π3 B．bC．△ABC面积的最大值为23 D．△ABC周长的最大值为【答案】AB【详解】对于A，由23cco所以3c3sinC1−cos可得3cosB+sinB=3∴B=π对于B，设BA=c，BC=a，AC=b，根据题意，BA+BC=∴BA+BC2=∴ac≤4，当且仅当a=c时等号成立，又CA=BA∴b2=a2对于C，由B，可得S△ABC对于D，由前面选项，可得b2=12−2∴b2=36−2a+c2，即b=36所以三角形周长l=a+c+b=a+c+36则l'=1−2t36−2t223<t≤4故选：AB.

14．（2024·湖北武汉·二模）已知点A,B,C,D为平面内不同的四点，若【答案】