第07讲 圆与对称性（5种题型）（解析版）

第07讲圆与对称性（5种题型）1.在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；2.了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．三．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．四．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．五．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．一．圆的认识（共3小题）1．（2022秋•邗江区校级月考）已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．故选：B．【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．2．（2022秋•江阴市校级月考）下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦 B．半径相等的两个半圆是等弧 C．面积相等的两个圆是等圆 D．半圆是圆中最长的弧【分析】利用圆的有关定义和性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，说法正确，不符合题意；B、半径相等的两个半圆是等弧，说法正确，不符合题意；C、面积相等的两个圆是等圆，说法正确，不符合题意；D、由于半圆小于优弧，所以半圆是圆中最长的弧说法错误，符合题意．故选：D．【点评】考查了圆的有关概念，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大．3．（2022秋•启东市校级月考）画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的（）A．直径 B．半径 C．周长 D．面积【分析】画圆时，圆规两脚分开的距离，即圆的半径，据此解答即可．【解答】解：画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的半径．故选：B．【点评】本题主要考查了圆的认识，认识平面图形，解答本题关键是抓住圆规画圆的方法．二．点与圆的位置关系（共6小题）4．（2022秋•连云港期中）已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则OP的长可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由⊙O的半径及点P在⊙O外，可得出OP的长大于3，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径为3，点P在⊙O外，∴OP的长大于3．故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，牢记“①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r”是解题的关键．5．（2021秋•无锡期末）已知⊙O的半径为4，OA＝5，则点A在（）A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为4，OA＝5，∴OA＞半径，∴点A在⊙O外．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．6．（2022秋•江阴市校级月考）已知⊙O的半径是4，OA＝3，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定【分析】根据⊙O的半径r＝4，且点A到圆心O的距离d＝3知d＜r，据此可得答案．【解答】解：∵⊙O的半径r＝4，且点A到圆心O的距离d＝3，∴d＜r，∴点A在⊙O内，故选：A．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．7．（2022秋•如皋市期中）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（）A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6【分析】首先确定AB的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出a的取值范围，即可得到正确选项．【解答】解：∵⊙A的半径为2，若点B在⊙A内，∴AB＜2，∵点A所表示的实数为4，∴2＜b＜6，故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．8．（2022秋•梁溪区校级期中）已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P与⊙O的位置关系为（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定【分析】求出方程的根，再根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断位置关系即可．【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0的根为x1＝5，x2＝﹣1＜0（舍去），于是点P到圆心O的距离d＝5，而半径r＝4，∴d＞r，所以点P在⊙O的外部，故选：C．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解一元二次方程，求出方程的根是解决问题的前提，掌握点到圆心的距离与半径的大小是判断点与圆位置关系的关键．9．（2022秋•东台市期中）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A． B． C． D．2【分析】作点A关于点O的对称点A'根据中位线的性质得到OM＝A′C，求出A'C的最大值即可．【解答】解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0），则点O是AA'的中点，又∵点M是AC的中点，∴OM是△AA'C的中位线，∴OM＝A′C，∴当A'C最大时，OM最大，∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动，∴当A'C经过圆心B时，A′C最大，即点C在图中C'位置．A'C'＝AB+BC'＝3+2．∴OM的最大值＝+1．故选：A．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的关键．三．垂径定理（共4小题）10．（2022秋•锡山区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，AB＝16，则OC的长为6．【分析】连接OA，利用垂径定理，勾股定理求解即可．【解答】解：如图，连接OA．∵OC⊥AB，∴AC＝CB＝AB＝8，∵OA＝10，∠ACO＝90°，∴OC＝＝＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．11．（2022秋•惠山区期中）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，则图中阴影部分的面积为20．【分析】利用垂径定理，得出CH＝DH＝4，由OC＝OD得出Rt△COH≌Rt△DOH，进而得出图中阴影部分的面积为S△ABD，即可得出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，CD＝8，∴CH＝DH＝4，∵OC＝OD，∴Rt△COH≌Rt△DOH（HL），∴S△COH＝S△DOH，故图中阴影部分的面积为：S△ABD＝AB•DH＝×10×4＝20．故答案为：20．【点评】此题主要考查了垂径定理，得出图中阴影部分的面积为：S△ABD是解题关键．12．（2022秋•高邮市期中）如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（）A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7＜MN＜17 D．6≤MN≤16【分析】连接OM、ON、OA、OP，由垂径定理得OM⊥AB，ON⊥PQ，AM＝AB＝12，PN＝PQ＝5，由勾股定理得OM＝5，ON＝12，当AB∥PQ时，M、O、N三点共线，当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短＝ON﹣OM＝7，当AB、PQ位于O的两侧时，线段EF的长度最长＝OM+ON＝17，便可得出结论．【解答】解：连接OM、ON、OA、OP，如图所示：∵⊙O的直径为26，∴OA＝OP＝13，∵点M、N分别是弦AB、PQ的中点，AB＝24，PQ＝10，∴OM⊥AB，ON⊥PQ，AM＝AB＝12，PN＝PQ＝5，∴OM＝＝5，ON＝＝12，当AB∥PQ时，M、O、N三点共线，当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短＝ON﹣OM＝12﹣5＝7，当AB、PQ位于O的两侧时，线段MN的长度最长＝ON+OM＝12+5＝17，∴线段MN的长度的取值范围是7≤MN≤17，故选：A．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．13．（2022秋•大丰区月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，根据垂径定理得出CE＝DE＝4，根据勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入后求出R即可．【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R2＝42+（8﹣R）2，解得：R＝5，即⊙O的半径长是5，故选：A．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．四．垂径定理的应用（共4小题）14．（2022秋•如皋市校级月考）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为4m．【分析】根据图可知OC⊥AB，由垂径定理可知∠ADO＝90°，AD＝AB＝8，在Rt△AOD中，利用勾股定理可求OD，进而可求CD．【解答】解：∵OC⊥AB，∴∠ADO＝90°，AD＝AB＝8，在Rt△AOD中，OD2＝OA2﹣AD2，∴OD＝＝6，∴CD＝10﹣6＝4（m）．故答案是4．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是先求出OD．15．（2022秋•江宁区校级月考）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为m．【分析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM＝DM＝2，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，进而可求得半径OC．【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理：EM⊥CD，又CD＝4则有：CM＝CD＝2m，设圆的半径是x米，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，所以圆的半径长是m．故答案为：．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．16．（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米 B．2米 C．米 D．米【分析】连接OC，OC交AB于D，由垂径定理得AD＝BD＝AB＝2（米），再由勾股定理得OD＝（米），然后求出CD的长即可．【解答】解：连接OC，OC交AB于D，由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝2（米），∠ADO＝90°，∴OD＝＝＝（米），∴CD＝OC﹣OD＝（3﹣）米，即点C到弦AB所在直线的距离是（3﹣）米，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．17．（2022秋•泰州月考）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？【分析】（1）连接OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；（2）连接OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．【解答】解：（1）连接OA，由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34（米）；（2）连接OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30米，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16（米）．∴A′B′＝32（米）．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取紧急措施．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．五．圆心角、弧、弦的关系（共5小题）18．（2022秋•溧水区期中）如图，C是的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则所在圆的半径为（）A．4 B．5 C．6 D．10【分析】由垂径定理，勾股定理，可以求解．【解答】解：设所在圆的圆心为点O，⊙O的半径为r，连接OD，OA，∵CD⊥AB，点C是中点，∴O，D，C三点共线，AD＝BD＝4，∵OA2＝OD2+AD2，∴r2＝（r﹣2）2+42，∴r＝5，故选：B．【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是定出圆心，构造直角三角形，应用勾股定理列出关于半径的方程．19．（2022秋•淮阴区月考）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD．【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．【解答】证明：∵AD＝CB，∴＝，∴+＝+，即＝，∴AB＝CD．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能根据定理求出＝是解此题的关键．20．（2022秋•吴江区校级月考）如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100° B．110° C．115° D．120°【分析】过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以OB、OC是角平分线，可求出∠POQ，进而可求出∠BOC．【解答】解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，∴∠APO＝∠AQO＝90°，∵∠A＝50°，∴∠POQ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∵DE＝FG＝MN，∴OP＝OK＝OQ，∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC＝＝115°．故选：C．【点评】本题主要考查垂径定理，解题关键是构造出辅助线——弦心距．21．（2022秋•玄武区期末）如图，在⊙O中，AB＝AC．（1）若∠BOC＝100°，则的度数为130°；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径．【分析】（1）根据圆周角、弧、弦间的关系可以得到AB＝AC，结合等腰三角形的性质解答；（2）连接AO，延长AO交BC于D，则AD⊥BC，构造直角三角形，通过勾股定理求得该圆的半径即可．【解答】解：（1）∵在⊙O中，∠BOC＝100°，∴∠BAC＝50°，∵＝，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴＝130°，故答案为：130；（2）连接AO，延长AO交BC于D，则AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝5，∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝＝12；在直角△OBD中，由勾股定理，得OB2＝（12﹣OB）2+52，解得OB＝，即⊙O的半径是．【点评】考查了圆周角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．22．（2022秋•吴江区校级月考）已知⊙O的半径为2，弦，弦，则∠BOC的度数为150°或30°．【分析】分类讨论：①当点B和点C在AO两侧时，过点O作OP⊥AB于点P，作OQ⊥AC于点Q，根据垂径定理可求出，，再根据勾股定理可求出，OQ＝1，从而得出AP＝OP，，即得出∠PAO＝45°，∠QAO＝30°，进而可求出∠BAC＝75°，最后由圆周角定理即可求出∠BOC的大小；②当点B和点C在AO同侧时，过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥AC于点N，同理可求出∠BAC＝15°，再由圆周角定理即可求出∠BOC的大小．【解答】解：分类讨论：①当点B和点C在AO两侧时，过点O作OP⊥AB于点P，作OQ⊥AC于点Q，如图，∴．∵OA＝2，∴，∴AP＝OP，∴∠PAO＝45°．∵，OA＝2，∴，∴，∴∠QAO＝30°，∴∠BAC＝∠PAO+∠QAO＝75°∴∠BOC＝2∠BAC＝150°；②当点B和点C在AO同侧时，过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥AC于点N，如图，由①同理可得：∠MAO＝45°，∠NAO＝30°，∴∠BAC＝∠MAO﹣∠NAO＝15°，∴∠BOC＝2∠BAC＝30°．综上可知∠BOC的度数为150°或30°．故答案为：150°或30°．【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质．正确的作出图形和辅助线并利用分类讨论的思想是解题关键．一．选择题（共10小题）1．（2022秋•邗江区期中）已知⊙O的半径为2，则⊙O中最长的弦长（）A．2 B． C．4 D．【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，∴⊙O中最长的弦长为2×2＝4．故选：C．【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．2．（2022秋•无锡期末）已知⊙O的半径为5cm，当线段OA＝5cm时，则点A在（）A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，OA＝5cm，∴点A在⊙O上．故选：B．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．3．（2023•沛县模拟）如图．AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠BOC＝（）A．80° B．100° C．120° D．140°【分析】根据圆周角定理即可求出∠BOC．【解答】解：∵∠D＝40°，∴∠BOC＝2∠D＝80°．故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，邻补角定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．（2022秋•姑苏区校级期中）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP＝，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】设出OE＝x，利用勾股定理表示出AC，BD，用对角线互相垂直的四边形的面积的计算方法建立面积和OE的函数关系式，即可得出结论．【解答】解：如图：连接OA、OD，作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，∵AC⊥BD，∴四边形OEPF为矩形，∵OA＝OD＝2，OP＝，设OE为x（x＞0），根据勾股定理得，OF＝EP＝＝，在Rt△AOE中，AE＝＝∴AC＝2AE＝2，同理得，BD＝2DF＝2＝2，又∵任意对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的，∴S四边形ABCD＝AC×BD＝×2×2＝2＝2当x2＝即：x＝时，四边形ABCD的面积最大，等于2＝5．故选：B．【点评】此题是一道综合性较强的题，融合了方程思想、数形结合思想．勾股定理，对角线互相垂直的四边形的面积的计算方法，表示出AC，BD是解本题的关键．5．（2023•盐都区一模）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由于OC⊥AB于点C，所以由垂径定理可得，在Rt△ABC中，由勾股定理即可得到答案．【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，∴，在Rt△ABC中，OA＝5，AC＝4，由勾股定理可得：．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键．6．（2022秋•亭湖区校级期末）如图是一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面AB＝8cm，则水深CD是（）A．cm B．cm C．2cm D．3cm【分析】连接OA、OC，先由垂径定理可得AC长，再由勾股定理得OC长，从而求出CD长．【解答】解：如图，连接OA、OC，则OC⊥AB，∴AC＝AB＝4（cm），在Rt△OAC中，OC＝＝＝3（cm），∴CD＝5﹣3＝2（cm）．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．7．（2022秋•海陵区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F．若，AE＝2，则⊙O的直径长为（）A． B．8 C．10 D．【分析】连接OF，首先证明，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，连接OF．∵DE⊥AB，∴DE＝EF，，∵点D是弧AC的中点，∴，∴，∴，∴，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，则有，解得x＝4，∴AB＝2x＝8．故选：B．【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．8．（2022秋•启东市校级月考）下列说法中，不正确的是（）A．过圆心的弦是圆的直径 B．等弧的长度一定相等 C．周长相等的两个圆是等圆 D．直径是弦，半圆不是弧【分析】对于A，直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，即可进行判断；对于B，能重合的弧叫等弧，即可进行判断；对于C和D，分别根据等圆，直径，半圆的知识，也可进行判断．【解答】解：A．直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，故正确；B．能重合的弧叫等弧，长度相等，故正确；C．周长相等的圆其半径也相等，为等圆，故正确．D．直径是弦，半圆是弧，故错误．故选：D．【点评】本题考查圆的认识，解题的关键是掌握弦，弧等知识，灵活运用所学知识解决问题．9．（2022秋•邳州市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝3，∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，∴3＜r＜5，故选：B．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理．10．（2022秋•邗江区校级期末）已知圆O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP＝4，则点P与圆O的关系是（）A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．无法确定【分析】根据题意：OP＝4＜r，进行判断即可．【解答】解：设圆的半径为r，由题意得：OP＝4＜r＝5，∴点P与圆O的关系是：点P在圆内．故选：A．【点评】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握利用点到圆心的距离与半径的大小关系，来判断点与圆的位置关系是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•兴化市期末）若⊙O的半径为5，OA＝4，则点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．（填“内、上、外”）【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【解答】解：∵⊙O的半径为5，OA＝4，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内，故答案为：内．【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．12．（2022秋•兴化市校级期末）一个圆的半径是15cm，点P在圆上，那么P点到该圆圆心的距离为15cm．【分析】圆上点到圆心的距离等于圆的半径，由此即可求解．【解答】解：根据题意，点P在圆上，圆的半径是15cm，∴P点到该圆圆心的距离为15cm，故答案为：15．【点评】本题主要考查的点与圆的位置关系，当点在圆外，点到圆心的距离大于半径；当点在圆上，点到圆心的距离等于半径；当点在圆内，点到圆心的距离小于半径，解题的关键是看点到圆心的距离与圆半径的关系．13．（2023•邳州市一模）如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8cm，则槽的深度CD为2cm．【分析】根据垂径定理得到，再利用勾股定理即可求出答案．【解答】解：如图，由题意可知，OA＝5cm，OC⊥AB，则cm，在Rt△ADO中，由勾股定理得，OD＝＝3（cm），∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm）．故答案为2．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．14．（2023•鼓楼区模拟）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的半径为20．【分析】通过作弦心距，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理进行计算即可．【解答】解：如图，连接OA，过点O作OD⊥AB，垂足为D，∵AB是弦，OD⊥AB，AC＝11，BC＝21，∴AD＝BD＝AB＝16，∴CD＝AD﹣AC＝5，∴OD＝＝＝12，∴OA＝＝＝20．故答案为：20．【点评】本题考查垂径定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键．15．（2022秋•连云港期末）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OE，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝25°，则∠CEO度数为50°．【分析】根据CD＝OD求出∠DOC＝∠C＝25°，根据三角形的外角性质求出∠EDO＝∠C+∠DOC＝50°，根据等腰三角形的性质求出∠E＝∠EDO＝50°．【解答】解：连接OD．∵CD＝OE，OE＝OD，∴CD＝OD，∵∠C＝25°，∴∠DOC＝∠C＝25°，∴∠EDO＝∠C+∠DOC＝50°，∵OD＝OE，∴∠E＝∠EDO＝50°．故答案为：50．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出∠ODE的度数是解此题的关键．16．（2022秋•连云港期末）如图，在⊙O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC，交⊙O于点D，则CD长的最大值为2．【分析】根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可．【解答】解：∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝2，即CD的最大值为2，故答案为：2．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．17．（2022秋•秦淮区期末）如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦AB交小圆于点C，D．若AC＝3，则CD的长为．【分析】由垂径定理得到CH＝DH，由勾股定理列出关于CH的方程，求出CH长，即可求出CD的长．【解答】解：作OH⊥AB于H，连接OC，OA，设CH＝x，∴CH＝DH，AH＝x+3，∵OH2＝OC2﹣CH2＝OA2﹣AH2，∴42﹣x2＝62﹣（x+3）2，∴x＝，∴CD＝2CH＝．故答案为：．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是掌握垂径定理，勾股定理．18．（2023•南京二模）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E．若AB＝4，CE＝6，则⊙O的半径r为．【分析】如图，作辅助线；设⊙O的半径为r，运用勾股定理列出r2＝22+（6﹣r）2，求出r即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA．设⊙O的半径为r，则OE＝6﹣r．∵弦AB⊥CD，∴AE＝BE＝2；由勾股定理得：r2＝22+（6﹣r）2，解得：r＝，故答案为：．【点评】主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．三．解答题（共8小题）19．（2022秋•如皋市校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．【分析】连结OC、OD，由直角三角形斜边上的中线定理得OA＝OB＝OC＝OD＝AB，则可得出结论．【解答】证明：连结OC，OD，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB的中点为O，∴OA＝OB＝OC＝OD＝AB，∴A，B，C，D四点在以O为圆心，OA长为半径的圆上．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．20．（2022秋•灌云县月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数．【分析】先利用互余计算出∠B＝65°，再利用半径相等得到CB＝CD，所以∠CDB＝∠B＝65°，然后利用三角形外角性质计算∠DCE的度数．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝65°，∵∠CDB＝∠DCE+∠A，∴∠DCE＝65°﹣25°＝40°．【点评】本题考查了圆的认识：常常利用半径相等组成等腰三角形，再利用等腰三角形的性质解决问题．21．（2022秋•涟水县校级月考）如图，AB是⊙O的弦，点C、D在直线AB上，且AC＝BD，连接OC、OD．求证：OC＝OD【分析】过O点作OH⊥CD于H点，如图，根据垂径定理得到AH＝BH，再证明CH＝DH，然后证明△OCH≌△ODH，从而得到OC＝OD．【解答】证明：过O点作OH⊥CD于H点，如图，则AH＝BH，∵AC＝BD，∴AC+AH＝BD+BH，即CH＝DH，在△OCH和△ODH中，，∴△OCH≌△ODH（SAS），∴OC＝OD．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了全等三角形的判定与性质．22．（2022秋•江阴市校级月考）平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．（1）在图中清晰标出点P的位置；（2）点P的坐标是（6，6），⊙P的半径是5．【分析】点P的坐标是弦AB，CD的垂直平分线的交点．【解答】解：（1）弦AB的垂直平分线是y＝6，弦CD的垂直平分线是x＝6，因而交点P的坐标是（6，6）．（2）点P的坐标是，⊙P的半径是P的半径是PA的长，，故答案为：（6，6），5．【点评】本题考查了点和圆的位置关系，掌握圆心是圆的垂直平分线的交点，是解决本题的关键．23．（2022秋•海州区校级月考）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是6cm＜r＜10cm．【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系；（2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围．【解答】解：（1）如图，连接AC，∵AB＝6cm，AD＝8cm，∴AC＝10cm，∵⊙A的半径为6cm长，∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外；（2）∵以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，∴⊙A的半径r的取值范围是6cm＜r＜10cm．故答案为：6cm＜r＜10cm．【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．24．（2022秋•仪征市校级月考）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E点，若AB＝10，DE＝2，求CD的长．【分析】连接OA，由垂径定理，勾股定理列出关于半径的方程，即可求解．【解答】解：连接OA，设⊙O的半径是r，∵CD⊥AB，∴AE＝AB＝5，∵AO2＝OE2+AE2，∴r2＝（r﹣2）2+52，∴r＝，∴CD＝2r＝．【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是连接OA，构造直角三角形．25．（2022秋•鼓楼区期中）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米．（1）求主桥拱所在圆的半径；（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度．【分析】（1）连接OA，OC，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣1，在Rt△ACO中，利用勾股定理构建方程求解即可；（2）根据勾股定理列式可得FG的长，最后由垂径定理可得结论．【解答】解：（1）∵点D是的中点，DC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝3，DC经过圆心，设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，连接OA，OC，联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣1，在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，∴R2＝（R﹣1）2+32，解得R＝5．答：主桥拱所在圆的半径长为5米；（2）设OD与EF相交于点G，连接OF，∵EF∥AB，OD⊥AB，∴OD⊥EF，∴∠OGF＝90°，在Rt△OGF中，OG＝5﹣1﹣1＝3，OF＝5，∴FG＝＝4，∴EF＝2FG＝8，答：此时水面的宽度为8米．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．26．（2022秋•沭阳县月考）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．（1）求∠AOB的度数．（2）求∠EOD的度数．【分析】（1）由AB＝O得到AB＝BO，则∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；（2）∠1＝∠E，因此∠EOD＝3∠A，即可求出∠EOD．【解答】解：（1）连OB，如图，∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝BO，∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；（2）∵∠2＝∠A+∠1，∴∠2＝2∠A，∵OB＝OE，∴∠2＝∠E，∴∠E＝2∠A，∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°．【点评】本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质和三角形外角定理，解题的关键是能从图形中发现每个角之间的关系．一、单选题1．的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是（）A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定【答案】C【分析】根据点与圆的位置关系即可得．【详解】解：，点在外，故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．2．如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，⊙O的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】当OM⊥AB时值最小．根据垂径定理和勾股定理求解．【详解】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4，连接OA，根据垂径定理，得：BM=AB=3，根据勾股定理，得：OA==5，即⊙O的半径为5．故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理，主要运用了垂径定理、勾股定理求得半径．特别注意能够分析出OM的最小值．3．平面内，若⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（）A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．以上都有可能【答案】A【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；点与圆心的距离d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【详解】∵OP＜3，∴点P在⊙O内部．故选A．【点睛】此题考查点与圆的位置关系的判断．解题关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．4．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（）A．三角形内 B．三角形外 C．斜边的中点 D．不能确定【答案】C【分析】垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，由此可得出此交点在斜边中点．【详解】∵直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，∴直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.5．在平面直角坐标系内点A、点B的坐标是分别为（0,3）、（4,3），在坐标轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）A．5个 B．6个C．7个 D．8个【答案】C【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】解：如图：①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，∵A（0，3），B（4，3），∴AB∥x轴，∴AB的垂直平分线与坐标轴只有1个交点．综上所述：符合条件的点C的个数有7个．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、圆的定义、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．6．往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度的长．【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，由垂径定理得：，∵⊙O的直径为，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴油的最大深度为，故选：．【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，点P为平面内一点且满足PC⊥PB，则线段PD的最大值为（）A．10 B．8 C．7 D．9【答案】C【分析】根据点为平面内一点且满足，得到点的运动轨迹是以点为圆心，半径是2的圆，可得当线段过圆心时，的值最大，据此求解即可．【详解】解：∵，，三点的坐标为：(0，1)，(0，3)，(0，-1)，则有：，又∵点为平面内一点且满足，则点的运动轨迹是以点为圆心，半径是2的圆，如图示，当线段过圆心时，的值最大，过点作轴，交轴于点，过点作，交于点，∵点的坐标是(4，4)，点的坐标是(0，1)，∴，，则：∴，故选：C．【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，平面坐标系内的两点的距离，点的运动等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．二、填空题8．下列说法①直径是弦；②圆心相同，半径相同的两个圆是同心圆；③两个半圆是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．正确的是______填序号．【答案】①【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项.【详解】解：直径是弦，但弦不是直径，故①正确；圆心相同但半径不同的两个圆是同心圆，故②错误；若两个半圆的半径不等，则这两个半圆的弧长不相等，故③错误；经过圆的圆心可以作无数条的直径，故④错误.综上，正确的只有①.故答案为：①【点睛】本题考查了圆的知识，了解有关圆的定义及性质是解答本题的关键，难度不大.9．如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，5为半径作圆，则该圆与轴分别交于点，则三角形的面积为________．【答案】12【分析】过P点作PH⊥AB于H点，根据垂径定理可知：HA=HB，根据勾股定理求出HB，即可求解．【详解】解：过P点作PH⊥AB于H点，如下图所示：根据垂径定理可知：HA=HB，且，∴PH=3，，∴AB=2HB=8，∴，故答案为：12．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，平面直角坐标系等相关知识点，属于基础题，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解决本题的关键．10．如图，的直径，弦，垂足为，，则的长为______．【答案】24【分析】连接，先根据求出的长，再在中，利用勾股定理可得的长，然后利用垂径定理即可得．【详解】解：如图，连接，的直径，，，，，，，故答案为：24．【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．11．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆心角的度数是__________．【答案】【分析】作OD⊥AB，由1≤OP≤2，证得，求出，根据三角形内角和定理求出答案即可．【详解】解：作OD⊥AB，∵P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∵⊙O的半径是2，∴，∵OA=OB，∴，∴弦AB所对的圆心角，故答案为：．【点睛】此题考查直角三角形直角边等于斜边一半的性质，圆的半径相等的性质，等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点并综合应用解决问题是解题的关键．12．如图是一个俱乐部的徽章.徽章的图案是一个金色的圆圈，中间是一个矩形，矩形中间又有一个蓝色的菱形，徽章的直径为10cm，则徽章内的菱形的边长为_____cm．【答案】5【分析】连接圆心和矩形邻边的两个中点，易得一个矩形，那么菱形的边长为圆的半径．【详解】如图，连接圆心和矩形邻边的两个中点，根据垂径定理，可得过圆心的这两条线段，分别垂直于矩形的两边，则组成的四边形是矩形，因为矩形的对角线相等，所以徽章内的菱形的边长等于半径的长，即5cm．故答案为：5．【点睛】此题主要考查垂径定理、矩形的判定和性质等知识点，难点是作出辅助线，构造出矩形．13．如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__．【答案】3【分析】连接OC，由垂径定理可求出CH的长度，在Rt△OCH中，根据CH和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OH的长．【详解】连接OC，Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；由勾股定理，得：OH=；即线段OH的长为3．故答案为：3．【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．14．已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为_____cm．【答案】12【分析】如图，作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=5，然后利用勾股定理计算OC的长即可．【详解】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm．故答案为：12．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动．在运动过程中，点B到原点的最大距离是________【答案】2+2试题解析：如图，取CA的中点D，连接OD、BD，则OD=CD=AC=×4=2，由勾股定理得，BD=，所以，点B到原点的最大距离是2+2．16．已知以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.例如：以A（2，3）为圆心，半径为2的圆的标准方程为（x－2）2＋（y－3）2＝4，则以原点为圆心，过点P（1，0）的圆的标准方程为____.【答案】x2＋y2＝1【详解】因为原点为圆心,过点P（1,0）的圆即是以（0,0）半径为1的圆,则标准方程为:（x－0）2＋（y－0）2＝1,即x2＋y2＝1,故答案为:x2＋y2＝1.17．）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，P是直线AB上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B/CP，连接B/A，B/A长度的最小值是m，B/A长度的最大值是n，则m+n的值等于______.【答案】16【分析】先判断出长度的最大值与长度的最小值相应的位置，然后进一步计算即可.【详解】如图，以C点为圆心，BC长为半径画圆，交AC于N点，延长AC交圆于M点，∵点P是直线AB上的动点，△BCP沿CP所在的直线翻折得到△，∴点B落在以点C为圆心，BC为半径的圆上，∴CM=CN=BC=6，∵圆外一点到圆上的点的距离最大和最小的点是圆外一点过圆心的直线与圆的交点，∴长度的最小值m=AN=AC-CN=8-6=2，且长度的最大值n=AM=AC+CM=8+6=14，∴m+n=16，所以答案为16.【点睛】本题主要考查了三角形动点问题与圆的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.18．如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的坐标为__________．【答案】【分析】根据勾股定理求出AB的长，由AB=AC即可求出C点坐标．【详解】解：∵A(8，0)，B(0，6)，∴OA=8，OB=6，∴，∴AC=AB=10，∴点C的横坐标为：8-10=-2，纵坐标为：0，∴点C的坐标为(-2，0)，故答案为(-2，0)．【点睛】本题考查了勾股定理、同圆半径相等和坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OC的长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．19．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB=12，AD=5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合，将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为___．【答案】8【分析】先分析出点的运动轨迹是以A为圆心，5为半径的圆弧，要求的最小值，只要求出点C到圆心的距离再减去半径即可．【详解】解：∵折叠，∴，∴点的运动轨迹就是以A为圆心，5为半径的圆弧，∵，，∴由勾股定理得，∴．故答案是：8．【点睛】本题考查矩形与折叠，线段最值的求解，解题的关键是分析出动点的轨迹，再根据点到圆上一点最短距离的求解方法进行求解．三、解答题20．已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．【答案】点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上，证明见解析.【分析】根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出E、F、G、H到O点距离都等于定长即可.【详解】解：如图，连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，∵点E是AB的中点，∴OE＝AB，同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上．【点睛】本题主要考查了四点共圆的条件，用到了菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键.21．如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，求弦BD的长【答案】2【分析】作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中利用30度性质即可求出BE，再根据垂径定理可以求出BD.【详解】解：如图，作CE⊥AB于E．∵∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-20°-