第03讲 一元二次方程的解法（公式法3种题型）（解析版）

第03讲一元二次方程的解法（公式法3种题型）1.了解求根公式的推导过程.（难点）2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况一、公式引入一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：．对上面这个方程进行讨论：因为，所以当时，利用开平方法，得：， 即：当时，这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．二、求根公式一元二次方程（），当时，有两个实数根： ，这就是一元二次方程（）的求根公式．三、用公式法解一元二次方程一般步骤把一元二次方程化成一般形式（）；确定a、b、c的值；求出的值（或代数式）；若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解．根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作．2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．题型1根的判别式例1.选择：下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）（A） （B）（C） （D）不解方程，判别方程的根的情况是（ ）（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）只有一个实数根 （D）没有实数根方程的根的情况是( )（A）有两个相等实根 （B）有两个不等实根（C）没有实根 （D）无法确定一元二次方程的根的情况为（ ）（A）有两个不相等的实数根 （B）有两个相等的实数根（C）只有一个实数根 （D）没有实数根【答案】（1）D；（2）D；（3）B；（4）A．【解析】（1）A：，，，，方程无实根；B：，，，，方程有两个相等实根；C：，，，，方程无实根；D：，，，，方程有两不等实根实根，故选D；（2），，，，方程无实根，故选D；（3），，，，方程有两不等实根，故选B；（4），，，，方程有两个相等实根，故选A．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的、、，再代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况，注意、异号时则必有两不等实根．例2.不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）； （2）；（3）； （4）． 【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根；（4）方程有两不等实根．【解析】（1），，，，方程有两不等实根；，，，，方程无实数根；，，，，方程有两相等实根；（4），，，，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况，注意、异号时则必有两不等实根．题型2用公式法解一元二次方程例3．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）用公式法解方程：．【答案】【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：，∴，，∴，解得：．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．例4．用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），则，则，∴；（2），则，则，∴．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．例5.用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），则，则， ∴原方程的解为：；，则，则， ∴原方程的解为：．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．题型3根的判别式的应用例6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求的取值范围．【答案】(1)见解析．(2)．【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式得到，．根据题意得到，即可求得k的取值范围．【详解】（1）解：，∴方程总有实数根；（2）解：∵，∴，解方程得：，，由于方程有一个根不小于7，∴，解得：．【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．例7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知关于的一元二次方程．(1)若该方程有一个根是，求的值；(2)求证：无论取什么值，该方程总有两个实数根．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）直接把代入到原方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程的一个根为，∴，∴；（2）证明：由题意得，，∴无论取什么值，该方程总有两个实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．例8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于2，求k的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；（2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．【详解】（1）证明：关于x的一元二次方程，∴∵，∴此方程总有两个实数根；（2）∵∵∴解得:，∵方程有一个根小于2，∴，解得．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．一、单选题1．（2023·江苏徐州·统考一模）关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：其中，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．2．（2023·江苏徐州·校考一模）关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可以是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴，∴，∴四个选项中只有A选项符合题意，故选A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．3．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，∴，∴，∴四个选项中，只有A选项符合题意，故A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．4．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，∴，∴，∴四个选项中，只有选项A符合题意，故选A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．5．（2023秋·江苏·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，∴，解得：故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．二、填空题6．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是______．【答案】且【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵关于的一元二次方程有实数根，∴∴，即且．故答案为：且．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和跟的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解．7．（2023·江苏常州·统考一模）若关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，则______．【答案】【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△，求出的值即可．【详解】解：关于的方程为常数）有两个相等的实数根，△，解得．故答案为：．【点睛】本题考查的是根的判别式，孰知当△时，一元二次方程有两个相等的实数根是解答此题的关键．8．（2023·江苏盐城·校考二模）已知关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为________．【答案】【分析】将代入方程，解方程即可得到的值．【详解】∵关于的一元二次方程有一个根为1，∴将代入方程，得，解得：，故答案为：【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．9．（2023·江苏宿迁·模拟预测）关于的方程有实数根，则m的取值范围是______．【答案】/【分析】分当时，当，即时，两种情况讨论求解即可．【详解】解：当时，即时，原方程即为，解得，符合题意；当，即时，∵关于的方程有实数根，∴，解得且；综上所述，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．10．（2023·江苏·模拟预测）请填写一个常数，使得一元二次方程____________没有实数根．【答案】7（答案不唯一）【分析】设这个常数为a，根据根的判别式求出a的取值范围即可得到答案．【详解】解：设这个常数为a，∴方程没有实数根，∴，∴，∴满足题意，故答案为：7（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．11．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）请填写一个常数，使得关于x的方程________=0有两个不相等的实数根．【答案】1（答案不唯一）【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的不等式，求解即可得出答案．【详解】解：，，设常数为，故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．三、解答题12．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）求证：关于的方程有两个不相等的实数根．【答案】见解析【分析】根据，再判断出的符号，即可得出结论．【详解】解∶，方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．13．（2023·江苏盐城·校考一模）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一实数根大于4，求a的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）利用因式分解法解方程求出方程两个根为，再根据该方程有一实数根大于4进行求解即可．【详解】（1）解：∵知关于x的一元二次方程为，∴，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵，∴，∴或，解得，∵该方程有一实数根大于4，∴，∴．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，灵活运用所学知识是解题的关键．14．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）关于的一元二次方程有两个不等的实数根．(1)求的取值范围；(2)当取最小整数时，求的值．【答案】(1)且(2)，【分析】（1）由得到关于的不等式，解之得到的范围，根据一元二次方程的定义求得答案；（2）由（1）知，还原方程，利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：由题意得：，解得：且；（2）由（1）知，最小整数为，此时方程为：，解得：，．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．15．（2023秋·江苏扬州·九年级统考期末）已知关于的方程．(1)若方程有两个相等的实数根，请求出，的关系；(2)求证：当时，方程总有两个实数根．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据根的判别式符号进行求解；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】（1）由题意得：方程有两个相等的实数根，

（2）当方程始终有两个实数根【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式．一、单选题1．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：由题意得，，∴原方程有两个不相等的实数根，故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．2．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．可能有实数根，也可能没有C．有两个相等的实数根 D．没有实数根【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程为，∴，∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故答案为：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次方程有实数根，可知，求出解即可．【详解】∵一元二次方程有实数根，∴，即，解得．故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握与一元二次方程的根的关系是解题的关键．即当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．5．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的判别式得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴且，即，解得且．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．二、填空题5．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）请填写一个常数，使得关于的方程__________有两个相等的实数根．【答案】1【分析】设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式得出a的方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设这个常数为a，∵要使原方程有两个相等的实数根，∴，∴，∴满足题意的常数可以为1，故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．6．（2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）方程没有实数根，则m的取值范围是______．【答案】/【分析】根据一元二次方程无实数根得到，代入即可得出答案．【详解】方程没有实数根，，，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程有无实数根，熟记判别式是解题的关键．三、解答题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程．(1)若该方程的一个根为，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：无论a取何实数，该方程都有实数根．【答案】(1)，该方程的另一根为(2)证明见解析【分析】（1）先根据一元二次方程解的定义把代入到中求出a的值，再利用因式分解法解方程即可；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，∴，∴，∴原方程即为，∴，解得或，∴方程的另一个根为；（2）解：∵关于x的一元二次方程为，∴，∴无论a取何实数，该方程都有实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程，一元二次方程判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若m为正整数，求出此时方程的根．【答案】(1)且(2)，【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；（2）由（1）的结论，结合m为正整数，可得出m的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴，解得：且，∴m的取值范围为且；（2）∵且，且m为正整数，∴，∴原方程为，即，解得：，．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于m的一元一次不等式组；（2）代入m的值，求出方程的解．9．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程（m为常数，且）(1)求证：方程总有实数根；(2)若该方程有两个实数根；①不论m取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______；②若m为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m的值．【答案】(1)证明见解析(2)①；②或【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；（2）①利用公式法求出方程的两个实数根即可得到答案；②根据①所求两实数根，结合m为整数，且方程的两个实数根都是整数进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得，∴方程总有实数根；（2）解：①∵关于x的方程有两个实数根，∴，∴，∴不论m取何实数，该方程总有一个不变的实数根为，故答案为：；②由①得，方程的两个实数根为，∵m为整数，且方程的两个实数根都是整数，∴为整数，∴或．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．10．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程．(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．【详解】（1）（1）证明：①时，该方程为一元一次方程，有实数根；②时，该方程为一元二次方程，，不论为何值时，，，方程总有实数根；综上，不论为何值时，方程总有实数根．（2）解：解方程得，，，，方程有两个不相等的正整数根，为整数，．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解题的关键．