专题14二次函数与菱形存在性问题（原卷版）

专题14二次函数与菱形存在性问题解题点拨【基本概念】菱形作为一种特殊的平行四边形，可以从以下几种方式得到：（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边都相等的四边形是菱形．【解题技巧】坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足：考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等．即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．【基本题型】因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点（2）1个定点+3个半动点【解题思路】解决问题的方法也可有如下两种：思路1：先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．思路2：先等腰，再菱形在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点．

【例题解析】如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C在x轴上，点D在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形．思路1：先平四，再菱形设C点坐标为（m，0），D点坐标为（p，q）．（1）当AB为对角线时，由题意得：（AB和CD互相平分及AC=BC），解得：（2）当AC为对角线时，由题意得：（AC和BD互相平分及BA=BC），解得：或（3）当AD为对角线时，由题意得：，解得：或思路2：先等腰，再菱形先求点C，点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C，再确定D点．（1）当AB=AC时，C点坐标为，对应D点坐标为；C点坐标为，对应D点坐标为．（2）当BA=BC时，C点坐标为（8，0），对应D点坐标为（4，3）；C点坐标为（2，0），对应D点坐标为（2，3）．（3）AC=BC时，C点坐标为，D点坐标为．以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法．直击中考1．（四川德阳模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式及点的坐标；(2)如图，点为线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值．(3)动点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动，同时动点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动，在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，其中，．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P，Q为直线下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线于C点和D点，连接，求四边形面积的最大值；(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移2个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，当点构成以为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标．3．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2021·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接，直线与该抛物线交于点E，与交于点D，连接．当时，求线段的长；（3）点M在y轴上，点N在直线上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2021·湖南娄底·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．（1）求的值；（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q．①当时，求当P点到直线的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．6．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．

（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点．(1)求抛物线的表达式和对称轴；(2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值；(3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于，顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，点在轴的左侧．(1)求的值及点，的坐标；(2)当直线将四边形分为面积比为的两部分时，求直线的函数表达式；(3)当点位于第一象限时，设的中点为，点在抛物线上，则以为对角线的四边形能否为菱形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．9．综合与探究如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点是x轴上的一个动点，过点P作直线轴，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N．(1)求这个抛物线的函数表达式．(2)①若点P在线段OB上运动，求线段MN的最大值；②若点P在x轴的正半轴上运动，在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市广全学校校考阶段练习）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，，，．(1)点C的坐标为______；抛物线的函数表达式为______；(2)点D是上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标；(3)设抛物线的对称轴l交x轴于点G，在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，线段，二次函数与y轴交于A点，与x轴分别交于B点、E点（B点在E点的左侧）(1)分别求A、B、E点的坐标；(2)连接、，请判断与是否相似并说明理由；(3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．1