专题42应用导数研究函数的单调性（真题测试）-2023年高考数学一轮复习知识点讲解真题测试（新教材新高考）

专题4.2应用导数研究函数的单调性（真题测试）一、单选题1.（2022·上海松江·二模）下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据初等函数的奇偶性与单调性，再结合导数即可判断答案.【详解】容易判断是奇函数，且在R上是增函数，而是偶函数，在R上不是增函数，所以排除A,C,D.对B，函数是奇函数，且，则函数在R上是增函数.故选：B.2．（2015·陕西·高考真题（文））设，则（）A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数【答案】B【解析】【详解】试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，，因此函数是奇函数，不恒等于0，函数是增函数，故答案为B．3．（2016·全国·高考真题（文））函数在的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【详解】试题分析：函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选：D.4.（2009·湖南·高考真题（文））若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【详解】试题分析：∵函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x1＜x2＜b，有也即在a,x1,x2,b处它们的斜率是依次增大的．∴A满足上述条件，对于B存在使，对于C对任意的a＜x1＜x2＜b，都有，对于D对任意的x∈[a，b]，不满足逐渐递增的条件，故选A．5．（2013·全国·高考真题（理））若函数在是增函数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【详解】试题分析：由条件知在上恒成立，即在上恒成立．∵函数在上为减函数，∴,∴．故选D．6．（2015·福建·高考真题（理））若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【详解】试题分析：令，则，因此，所以选C.7．（2011·辽宁·高考真题（文））函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.【详解】依题意可设，所以.所以函数在上单调递增，又因为.所以要使，即，只需要，故选B.8．（2022·青海·模拟预测（理））若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】对于A,B，构造函数，利用导数判断其单调性，根据，比较，可判断A,B；对于C,D,设,利用导数判断其单调性，根据，比较，可判断C,D.【详解】对于A,B,令，则，当时，单调递增，且故存在，使得，则当时，递减，当时，递增，由于，此时大小关系不确定，故A,B均不正确；对于C,D,设，则，当时，，故单调递减，所以当时，，即，即，故C错误，D正确，故选：D二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（

）A． B．C．是R上的增函数 D．，则【答案】AD【解析】【分析】构造函数，由已知可得函数单调递增，即可判断选项ABD，举特例可判断选项C.【详解】由，得，即，所以函数为R上的增函数，故，所以，故A正确，B不正确；函数为增函数时，不一定为增函数，如，显然是增函数，但是减函数，所以C不正确；因为函数为增函数，所以时，有，故有成立，所以D正确.故选：AD.10．（2022·湖北·模拟预测）已知正实数a，b，c满足，则一定有（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】【分析】根据，可得，进而判断出，A正确；构造，得到单调性，从而求出，B正确；CD选项可以举出反例.【详解】由正实数a，b，c，以及，可得，又，所以．所以，又，所以，即，等价于，构造函数，，当时，故在上递增，从而．又取时，原式为同样成立，故CD不正确，故选：AB11．（2022·辽宁沈阳·二模）已知奇函数在R上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（

）A．在上单调递减 B．C． D．【答案】BCD【解析】【分析】根据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数的相关性质，逐个选项进行验证即可.【详解】方法一：对于A，若，符合题意，故错误，对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，对于C和D，设，则为R上可导的奇函数，，由题意，得，关于直线对称，易得奇函数的一个周期为4，，故C正确，由对称性可知，关于直线对称，进而可得，（其证明过程见备注）且的一个周期为4，所以，故D正确．备注：，即，所以，等式两边对x求导得，，令，得，所以．方法二：对于A，若，符合题意，故错误，对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，对于C，将中的x代换为，得，所以，可得，两式相减得，，则，，…，，叠加得，又由，得，所以，故正确，对于D，将的两边对x求导，得，令得，，将的两边对x求导，得，所以，将的两边对x求导，得，所以，故正确．故选：BCD12．（2021·福建·福州三中高三阶段练习）已知函数.则下列说法正确的是（

）A．当时，B．当时，直线与函数的图像相切C．若函数在区间上单调递增，则D．若在区间上，恒成立，则【答案】BD【解析】【分析】对于A：当时，，求导函数，分析导函数的符号，得出函数的单调性，从而求得函数的最小值；对于B：当时，，求导函数，设切点为，则过切点的切线方程为：，由切线过原点，求得，继而求得过原点的切线方程；对于C：问题等价于在区间上恒成立，分离参数得在区间上恒成立，令，求导函数，分析导函数的符号，得函数的单调性和最值，由此可判断；对于D：问题等价于在区间上恒成立，时，不等式恒成立；当时，分离参数，令，求导函数，分析的符号，得函数的单调性和最值，由此可判断.【详解】对于A，当时，，易知函数在上单调递减，在上单调递增，，故选项A不正确；对于B，当时，，函数在处的切线方程为，故选项B正确；对于C，，若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，，令，则，函数在上单调递减，，故选项C错误；对于D，当时，R恒成立；当时，恒成立等价于恒成立，即，即恒成立，设，则在上恒成立，在上单调递减，，故选项D正确.故选：BD.三、填空题13．（2009·江苏·高考真题）函数的单调减区间为_____.【答案】【解析】【详解】f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令f′(x)＜0，得－1＜x＜11，所以单调减区间为(－1,11)．14．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数的导函数为，定义域为，且满足，则不等式恒成立时m的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】设，根据题意得到，得出函数在上单调递减，结合不等式，得到，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，因为，可得，设，可得，所以函数在上单调递减，又由，所以，且，则，解得，即m的取值范围为.故答案为：.15．（2022·江苏盐城·三模）已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________．【答案】##【解析】【分析】构造新函数，利用已知条件，可以判断单调递增，利用的单调性即可求出不等式的解集【详解】设函数，则又

所以在上单调递增，又故不等式可化为由的单调性可得该不等式的解集为．故答案为：16．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知函数，则对任意的，存在、（其中、且），能使以下式子恒成立的是___________.①；②；③；④.【答案】①②③【解析】【分析】取，，利用导数研究函数的单调性，可判断①；取可判断②；取，利用导数研究函数的单调性，可判断③；分、两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，可判断④.【详解】对于①，取，，则，，所以，函数在上为增函数，因为，即，故恒成立，①对；对于②，取，，则，所以，，则，②对；对于③，当时，，则，所以，函数在上为增函数，，故，③对；对于④，当时，.由可得或，由可得，此时，函数的增区间为、，减区间为，所以，函数的极大值为，极小值为，，所以，，，所以，，则不恒成立；当时，，则在上为增函数，因为，，所以，、的大小关系无法确定，④错.故答案为：①②③.四、解答题17．（2014·全国·高考真题（文））函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）首先求出函数的导数，然后求出使或的解集即可.（2）分类讨论在区间（1，2）上使成立的条件，并求出参数a的取值范围即可试题解析：（1），的判别式△=36（1a）.（i）若a≥1，则，且当且仅当a=1，x=1，故此时f（x）在R上是增函数.（ii）由于a≠0，故当a<1时，有两个根：，若0<a<1,则当x∈（－，x2）或x∈（x1，+）时，，故f（x）在（－，x2），（x1，+）上是增函数；当x∈（x2，x1）时，，故f（x）在（x2，x1）上是减函数；若a<0，则当x∈（－，x2）或x∈（x1，+）时，，故f（x）在（－，x2），（x1，+）上是减函数；当x∈（x2，x1）时，，故f（x）在（x2，x1）上是增函数；（2）当a>0，x>0时,，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得.综上，a的取值范围是.18．（2008·四川·高考真题（文））设和是函数的两个极值点．（1）求和的值；（2）求的单调区间【答案】（1）（2）单调增区间是，单调减区间是【解析】【分析】（1）根据极值点为导函数的零点，且在零点两边导函数符号相反，列出方程组，求出和的值，代入检验是否符合要求；（2）在第一问的基础上求出导函数，解不等式，求出单调区间.【详解】（1）因为，由题设知：，解得：，此时，，令得：或或，令得：或，故是函数的极大值点，是函数的极小值点，满足要求，综上：；（2）由（1）知当时，；当时，.因此的单调增区间是，的单调减区间是19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.【答案】(1)f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.（2）【解析】【分析】(1)求f(x)的导函数为f′(x)＝(2ex＋a)(ex－a)，通过讨论a，求函数的单调区间即可.(2)因为f(x)≥0，所以即求f(x)的最小值大于等于0，由第(1)的结果求的f(x)的最小值，解关于a的不等式即可求出a的范围.【详解】(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且a≤0.f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln.当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.故f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.(2)①当a＝0时，f(x)＝e2x≥0恒成立.②若a<0，则由(1)得，当x＝ln时，f(x)取得最小值，最小值为f＝a2，故当且仅当a2≥0，即0>a≥时，f(x)≥0.综上a的取值范围是[，0].20．（2014·山东·高考真题（文））设函数若，求曲线处的切线方程；讨论函数的单调性.【答案】（1）.（2）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增.【解析】【详解】试题分析：（1）由题意知时，，求切线的斜率，即，又，由直线方程的点斜式进一步整理，得到切线方程为.（2）函数的定义域为，，根据的不同情况，讨论导函数值的正负，以确定函数的单调性.其中时，情况较为单一，，函数在上单调递增，当时，令，由于，再分，，等情况加以讨论.试题解析：（1）由题意知时，，此时，可得，又，所以曲线在处的切线方程为.（2）函数的定义域为，，当时，，函数在上单调递增，当时，令，由于，当时，，，函数在上单调递减，当时，，，函数在上单调递减，当时，，设是函数的两个零点，则，，由，所以时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增.21．（2021·全国·高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）.【解析】【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围.【详解】（1）当时，,令得,当时，,当时，,∴函数在上单调递增；上单调递减；（2）[方法一]【最优解】：分离参数,设函数,则,令，得,在内,单调递增；在上,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是.[方法二]：构造差函数由与直线有且仅有两个交点知，即在区间内有两个解，取对数得方程在区间内有两个解．构造函数，求导数得．当时，在区间内单调递增，所以，在内最多只有一个零点，不符合题意；当时，，令得，当时，；当时，；所以，函数的递增区间为，递减区间为．由于，当时，有，即，由函数在内有两个零点知，所以，即．构造函数，则，所以的递减区间为，递增区间为，所以，当且仅当时取等号，故的解为且．所以，实数a的取值范围为．[方法三]分离法：一曲一直曲线与有且仅有两个交点等价为在区间内有两个不相同的解．因为，所以两边取对数得，即，问题等价为与有且仅有两个交点．①当时，与只有一个交点，不符合题意．②当时，取上一点在点的切线方程为，即．当与为同一直线时有得直线的斜率满足：时，与有且仅有两个交点．记，令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减；时，最大值为，所当且时有．综上所述，实数a的取值范围为．[方法四]：直接法．因为，由得．当时，在区间内单调递减，不满足题意；当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减．因为，且，所以，即，即，两边取对数，得，即．令，则，令，则，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以，所以，则的解为，所以，即．故实数a的范围为．]【整体点评】本题考查利用导数研究