专题510三角恒等变换-重难点题型检测（举一反三）（人教A版2019）

专题5.10三角恒等变换重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•安徽月考）已知cos(α+π6)=A．-18 B．18 C．-1【解题思路】结合诱导公式及二倍角公式进行化简，然后代入即可求解．【解答过程】解：sin(2α+5π6)=cos（2α+π3）＝2cos2（故选：B．2．（3分）（2021秋•湖北期中）若tanx＝2，则sin2x-sinxcos2x-sinxsinA．45 B．-45 C．85【解题思路】由已知条件，推得sinx=255cosx=【解答过程】解：tanx=2sin2x+cos2当sinx=25sin2x-sinxcos2x-sinxsin当sinx=-sin2x-sinxcos2x-sinxsin综上所述，sin2x-sinxcos2x-sinxsin故选：C．3．（3分）（2021秋•青岛期中）若tanα＝2，则1+cosA．6 B．3 C．1 D．3【解题思路】由二倍角公式进行化简，再代入tanα＝2，即可求得结果【解答过程】解：1+cos将上式分子分母同时除以cos2α，可得tan代入tanα＝2，得22故选：D．4．（3分）（2021秋•菏泽期中）已知tanα＝2，则cos2α-sinA．-13 B．13 C．-7【解题思路】由已知利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．【解答过程】解：因为tanα＝2，则cos2α-sin故选：D．5．（3分）（2021秋•鼓楼区校级月考）已知tanα=13，则sin2A．45 B．35 C．310 【解题思路】直接利用三角函数的关系式的变换的应用求出结果．【解答过程】解：已知tanα=1所以sin2α=2sinαcosα故选：B．6．（3分）（2021秋•玉林月考）已知α∈（-π2，π2），且12sin2α﹣5cosα＝9，则A．13 B．-79 C．-3【解题思路】利用已知条件求解cosα的值，然后利用二倍角公式求解即可．【解答过程】解：α∈（-π2，π2），且12sin2α﹣5cosα可得12﹣12cos2α﹣5cosα＝9，解得cosα=1则cos2α＝2cos2α﹣1=-故选：B．7．（3分）（2021秋•聊城期中）若sinθ+2cosθ＝0，则sinθcos2θcosθ-sinθA．-25 B．25 C．-3【解题思路】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanθ的值，进而利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可计算得解．【解答过程】解：因为sinθ+2cosθ＝0，所以tanθ＝﹣2，则sinθcos2θcosθ-sinθ=sinθ(cos2θ-sin2θ)cosθ-sinθ故选：B．8．（3分）（2021春•东港区校级期中）黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这一比值也可以表示为a＝2cos72°，则2cosA．2 B．1 C．12 D．【解题思路】根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，即可求解．【解答过程】解：∵a＝2cos72°，∴a2＝4cos272°，∴a4-a2=2cos72°⋅2sin72°=∴则2cos故选：C．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021春•东港区校级期中）下列各式中，值为32A．sin14π3 B．sin215°﹣cos215C．1﹣2sin215° D．3tan15°【解题思路】由诱导公式可得A正确，由二倍角公式可得B不正确，C，D正确．【解答过程】解：A中，sin143π＝sin（5π-π3）＝sinπB中，sin215°﹣cos215°＝﹣cos30°=-32C中，1﹣2sin215°＝cos30°=32，所以D中，3tan15°1-tan215°=32•2tan15°故选：ACD．10．（4分）（2021秋•山东月考）下列等式成立的是（）A．cos215°﹣sin215°=3B．sinπC．12sin40°+32cos40°＝D．tan15°＝2-【解题思路】直接利用和角公式和差角公式及倍角公式的应用判断A、B、C、D的结论．【解答过程】解：对于A：cos215°-sin对于B：sinπ8cos对于C：12sin40+3对于D：tan15°=tan(45°-30故选：AD．11．（4分）（2021春•德城区校级期中）下列计算正确的是（）A．2tan22.5°1-tan2B．1﹣2sin275°=3C．cos4π8-sin4D．cos275°+cos215°+cos75°cos15°=【解题思路】利用三角函数恒等变换的应用逐项化简求值即可判断得解．【解答过程】解：对于A，2tan22.5°1-tan222.5°=对于B，1﹣2sin275°＝cos150°=-对于C，cos4π8-sin4π8=（cos2π8+sin2π8）（cos2π8-sin2π8对于D，cos275°+cos215°+cos75°cos15°＝cos275°+sin275°+cos75°sin75°＝1+12sin150°＝1故选：ACD．12．（4分）（2021•湖南模拟）若sinα2=33，α∈（A．cosα=13 B．sinC．sin（α2+π4）=6+236【解题思路】由已知求解cosα2，再由倍角公式及两角差的正弦逐一分析【解答过程】解：∵sinα2=33，α∈（∴α2∈（0，π2），cos则cosα=1-2sin2αsinα＝2sinα2cosα2=2sin（α2+=33×sin（α2-π4）＝sinα2cos=33×故选：AC．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2021秋•浦东新区期末）已知cosθ=-35，则cos2θ的值为【解题思路】由题意利用二倍角的余弦公式，计算求得结果．【解答过程】解：∵cosθ=-35，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝2×故答案为：-714．（4分）（2021秋•安徽月考）已知cosα=35，则sin（5π2+2α）＝【解题思路】直接利用倍角公式的应用求出结果．【解答过程】解：已知cosα=35，则sin（5π2+2α）＝cos2α＝2cos2α故答案为：-715．（4分）（2021秋•徐汇区校级期中）若α∈(0，π2)，且cos2【解题思路】利用三角函数恒等变换化简已知等式可得7tan2α﹣20tanα﹣3＝0，由题意可求tanα的值，进而根据二倍角的正切公式即可求解．【解答过程】解：因为cos可得cos2α+sin2α=co整理可得7tan2α﹣20tanα﹣3＝0，解得tanα＝3，或-1又α∈所以tanα＝3，则tan2α=2tanα故答案为：-316．（4分）（2021秋•秦淮区校级期中）已知sin(3π+α)=2sin(3π2+α)，则sin【解题思路】利用诱导公式，求出tanα的值，然后利用二倍角公式，转化求解即可．【解答过程】解：sin(3π+α)=2sin(3π2+α)，﹣sinα＝﹣2cosα，∴tanα则sin故答案为：43四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2021秋•湖北月考）已知tan（α+π）＝3．（1）求tan2αtan(2021π-α)（2）求sin2α+cos【解题思路】（1）由题意利用诱导公式、二倍角公式，计算求得结果．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系式，计算求得结果．【解答过程】解：（1）∵tan（α+π）＝3＝tanα，∴tan2α=2tanα∴tan2αtan(2021π-α)（2）sin2α+cos18．（6分）（2021秋•葫芦岛月考）已知锐角α满足tan（π+2α）=-（1）求tan（α+3π（2）求sin2α+3cos2α．【解题思路】（1）由题意利用诱导公式，二倍角的正切公式化简可得tanα的值，进而根据两角和的正切公式即可求解．（2）由（1）可得tanα＝2，进而根据二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答过程】解：（1）因为tan（π+2α）=-所以tan2α=-所以2tanα1-tan2α=-43又α是锐角，所以tanα＝2，所以tan（α+3π4）（2）因为由（1）可得tanα＝2，所以sin2α+3cos2α=2sinαcosα+3co19．（8分）（2021秋•上月考）已知π4＜α（1）化简f（α）；（2）若f(α)=-15，求【解题思路】（1）利用诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简得解．（2）由范围π4＜α＜π2，可得sinα【解答过程】解：（1）f(α)=-2sinα⋅∵π4∴f(α)=-（2）∵π4∴sinα＞cosα＞0，由cosα-sinα=-∴tanα=sinα∴tan2α=2tanα20．（8分）（2021秋•丰满区校级月考）已知4sin2α+3cos2α＝0，π4＜α（1）求cos2α的值；（2）若cosβ=255，求cos（α【解题思路】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系式求得tan2α的值，可得cos2α的值．（2）由题意利用二倍角公式求得tanα＝3，可得sinα和cosα的值，再根据cosβ求得sinβ，可得cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ的值．【解答过程】解：（1）∵4sin2α+3cos2α＝0，∴tan2α=-∵π4＜α＜π2，∴2α∈（π2，π），∴tan2α求得cos22α=1625，∴cos2α（2）由已知可得，tan2α=-34=2tanα1-tan2α，求得∵π4＜α＜π2，∴再结合sin2α+cos2α＝1，可得sinα=31010，cos∵cosβ=255，-π2＜β＜0∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=1021．（8分）（2021春•徐汇区校级月考）（1）已知π4＜α（2）已知α+β=π4，证明：（1+tanα）（1+tanβ）＝【解题思路】（1）由已知可求sinα＞cosα＞0，进而根据二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简得解．（2）可得tan（α+β）＝1，由两角和的正切公式的变形公式易得（1+tanα）（1+tanβ）＝2，即可得证．【解答过程】解：（1）∵π4∴sinα＞cosα＞0，∴2+2cos2α+1-sin2α-1+sin2α=4cos2α+sinα﹣cosα﹣（sinα+cosα）＝2cosα+sinα﹣cos（2）证明：∵α+β=π∴tan（α+β）＝1，∴左边＝（1+tanα）（1+tanβ）＝1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝1+tan（α+β）（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ＝2＝右边，得证．22．（8分）（2021春•昌江区校级期中）（1）已知θ为第三象限角，化简1+cosθ1-cosθ（2）求证：（1﹣tan4A）•c